抽象代数复习题及问题详解

1、实用标准文档 抽象代数试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 2xx+1,则（fg）(x)等于（是有理数集，规定f(x)= B +2；g(x)=） 设1. Q2222?x?5xx?3x3?4xx?2x?1 D. B. C. A. gBgffCAA到的 （的单射， A 是到）2. 设的单射，则是 到是BCA. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S= （1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 33

2、 4 D. 1 B. 2 C. 3 A. )。Z中，可逆元的个数是( B 在整数环4. 无限个个2个 C. 4 D. A. 1个 B. 。剩余类环Z的子环有( B )5. 10 C. 5个 D. 6个个A. 3个 B. 4 8a?( B ) 中元素的阶为a的阶|a|=12, 则G6. 设是有限群，aGG, 且2 B. 3 C. 6 D. 9 A?( A ) ，以下结论正确的是G7设G是有限群，对任意a,b1?1?1ab)(ab? 的阶的阶不一定整除G B. b A. D. G中消去律不成立的单位元不唯一 C. G( A ) 是循环群，则以下结论不正确的是8. 设G B. G的任何子群都是正规子

3、群 A. G的商群不是循环群 D. G的任何子群都是循环群 是交换群 C. G?( C ) A的子集为等价关系的是9. 设集合 A=a,b,c, 以下AR = (a,a),(a,b),(a,c),(b,b) A. 1R = (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c) B. 2R = (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b) C. 3R = (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b) D. 4gBgffCAA 是 B 到到的的满射，则10. 设 是（到的满射，）是BC C. 可逆映射D. 双射 A. 单射 B. 满射 。中与元素，则S

4、（1 2）能交换的元的个数是( ) B ，= 设11. S（1）（1 2）（1 3）（2 3）（1 2 3）（1 3 2）33 4 D. 3 A. 1 B. 2 C. Z 12. 在剩余类环中，其可逆元的个数是( )。 D 8 4个D. 3C. 2B. 个 A. 1 个 个 设（13. RC ，则下面结论不正确的有 ）是环，+，( ) 。 文案大全 实用标准文档 ax?0x?a?R B. 若A. ，则的零元惟一Ra?accb?a?b?a? D. 若 ，则C. 对的负元不惟一32a?( B ) 的阶为G, 且a的阶|a|=12, 则G中元素是群，14. 设Ga2 B. 3 C. 6 D. 9 A

5、?( A ) G15设G是有限群，对任意a,b，以下结论正确的是|G|abax? G中无解在 A. C. G的单位元不唯一 D. 方程 B. |b| = ( B ) 是交换群，则以下结论正确的是16. 设G D. G的任何子群都是循环群A. G的商群不是交换群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是循环群2?aa? 。( B, A , )aA，则是从A到B的17. 设A=1，-1, i，-i，B = 1, -1, : A B. 单射而非满射 C. 一一映射 D. 既非单射也非满射 A. 满射而非单射 a?10R 。 是从A B=到（正实数集）， B:a的， aA，则( C )设18.A=R

6、（实数域）， 单射而非满射A.满射而非单射 B. C.一一映射 D.既非单射也非满射 ( C )。 19.设A=所有实数x，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是 A.x10x B.x2x -x D.x C.x|x| ( C ) 20. 数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法 构成一个交换环 D. C. 构成一个群 A. 构成一个交换群 B. 构成一个循环群 ） D 中，可逆元的个数为（21.在高斯整数环Zi 个D. 4 2个 C. 3个 A. 1个 B. )。Z22 . 剩余类加群的子群有( B 8 D. 6个B. 4个 C. 5个 A. 3个 B ）

7、23. 下列含有零因子的环是 （Z 剩余类环Zi B.数域P上的n阶全矩阵环 C. 偶数环 2Z D. A. 高斯整数环5 D ）24 设(R,+,)是一个环，则下列结论正确的是（ 的理想一定是子环 A. R中的每个元素都可逆 B. R的子环一定是理想 C. R一定含有单位元 D. R ）设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（ A 25 个4个 B. 5个 C. 6个 D. 7A A到集合B的满射的个数为 ( D )。26. 设A = a, b, c，B = 1,2,3, 则从集合6 D. 3 A. 1 B. 2 C. AA ( C ) = a, b, c, 则以下集合是集合27. 设集合

8、的分类的是PPa A. c B. 21PP c D. C. 43 ?0a?Z?,ba = ，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A 设R )。 28. ?0b?A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环 29. 设S=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S的子群的个数是( D )。 33A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 文案大全实用标准文档 30. 在高斯整数环Zi中，单位元是( B )。 i?i D. 1 C. A. 0 B. 31. 设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G

9、的子群的结论正确的是 ( B )。 A. 任意两个子群的乘积还是子群 B. 任意两个子群的交还是子群 C. 任意两个子群的并还是子群 D. 任意子群一定是正规子群 32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 33. 设A=a,b,c，B=1,2,3, 则从集合A到集合B的映射有( D )。 A. 1 B. 6 C. 18 D. 27 ?,GG,?G?a?b?kG?:a?bk中的单位，这里是实数集，而乘法中固定的常数。那么群为群，其中34. 设为ex的逆元分别是（ D 和元）元 ?x?(x?2k)kk?x?2k ； C.和A.0和 D.和； B.1和02

10、?1xa?bxc,acx?xacx?xcb,a,G（ A 35. 设）都是群中的元素，且，那么 和?1?1?1?1?1?1?1cabcbbcacaa ； D.A.； C.； B.。 ）36. 下列正确的命题是（ A 主理想环必是欧氏环；A.欧氏环一定是唯一分解环； B. 唯一分解环必是欧氏环。C.唯一分解环必是主理想环； D.? cHaH,bH,H,?G?H|GGGH B 6是群，那么的子群，且）有左陪集分类。如果（37设的阶 。 C.10； D.12A.6； B.24； A 是有限群，则以下结论正确的是（）38. 设G 的阶 B. G的任何子群都是正规子群 A. G的子群的阶整除G D. G

11、的任何子群都是循环群 C. G是交换群G?f:G ）是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（39设 D 21GGGf B.的正规子群；A.的正规子群的原象是的同态核是的正规子群；112GGGG C.的正规子群的象是的子群的象是的子群； D.的正规子群。2211 ） 40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A 半群一定有一个右单位元A. 半群可以有无穷多个右单位元 B. C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元 D. 半群一定至少有一个左单位元二、填空题(每空3分) mn . ）个 （ 的映射共有元集，那么元集，设1. A是mB是nA到B Sn. ）！2. n次对称群的阶是（ n. ）个元素 3

12、.一个有限非交换群至少含有（ 6 )p?1个 ，则G的生成元有（ . 是素数）（pG4.设是阶群，p5.除环的理想共有（ 2 ）个. 文案大全 实用标准文档 Z. ）S的单位元是（ 4S=0,2,46.剩余类环，则的子环62?3i?. Q上的代数元 7.在 i+3, ）是有理数域, e-3中，（ 222x?. ）8. 在有理数域Q上的极小多项式是（ ).b,3(a,3),(1),(a,2),(b,2),(a,1）（,b,? B=1,2,3A =a,b， B=（，则A）9. 设集合.?Z| r?R,mRa?ra?ma)(a =（ 10. 设R是交换环，则主理想 ）1?).?(1345?),31?

13、(54 则11设 . 9阶有限域，则F的特征是（ 3 ）12 . 设F是2134?)?(351?(),2154）13设）（是两个循环置换，则 1122FF. 的特征是 （14 . 设 5 是125阶有限整环，则）AA?. 9 A含有3个元素，则 ）个的元素共有（ 15. 设集合. ）H的商群所含元素的个数是（ 2 的正规子群，其阶是的阶是 2n,子群H是Gn, 则G关于16. 设群G1?11? )ab(ab. ）17.设a、b是群G的两个元，则 =（ Z93,7,1,. ）的可逆元是（ 环18. 10. 但欧式环一定是主理想环）19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环，?1?

14、a)fa?(faAfAA 与的一个元，则是间的一一映射，。是20如果nea?nm整除nammG ），那么，如果21.设群存在整除关系为（中元素与的阶为。1?).52413?()31425?( 。是一个5-循环置换，那么22设 ）群。 G是（ 循环23有限群G的阶是素数p，则aRII 生成的主理想，那么24若的由是有单位元的环中的元素可以表达为?Rx,y有限和?xay| （。）iiiii)?(Z, ）个。 的子群有（ 25群 6 12GG ）同构。的变换群26由凯莱定理，任一个抽象群 都同一个（ 群nm、|?B|A 。 ） =（ 27设AmB分别是 n个元组成的集合，则 ）个不同的等价关系。A的

15、分类 =设Aa,b,c，则可定义A的（ 5 28)a(c,(a,c),),(b,b),(c,c),a?(,a b确定的等价关系是R。M=a,c） ）个。 2 阶循环群，则29. 设G是6G的生成元有（ 1?,1,i,?i 。 ） 非零复数乘群30. C*中由-i生成的子群是（ 。 ）0 31. 剩余类环Z的零因子个数等于（ 7 ）。 G32. 素数阶有限群的子群个数等于（ 2 3 ）。 则S的单位元是（ 的子环33. 剩余类环ZS=0,3,6? ?GG)e( ）。的单位元34群 :G是（，e是G的单位元，则. ） 0 35. 复数域的特征是（)?,?,(Z676?. ） 36. 在剩余类环=（

16、 中， 12S)123(. ） （的阶为： 37. 在3-次对称群 中， 元素 3 3nn?:ZZ?Z,fZm为核同态的则环， 环同态模整38. 设和分别表示数环和类剩余mm?Z|?mrrmZ ） （ 332?2x ） 39. 在有理数域上的极小多项式为（ (Z,?) 40. 无限循环群一定和（ 整数加群 ）同构. 文案大全实用标准文档 三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“”，错误的请打“”，每小题3分) ? ） 是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（1. 设G2. 群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。 ） （x

17、?G. 则f是G, x到G的3. 设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 f: GG是一个映射，且f(x) =7? ） 同态映射。（? ） 4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（ ） G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（5. 设G是群，则群Z ） 。 （ 设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群 6. n?GGG?:? 设）的单位元不一定映射为 的单位元。（是群同态，则 将G7. B?A， ） 也是环ARB是R的任意两个理想，则的理想。（ 8. 设R是环，? ） 9. 域的特征可以为任何自然数. （ （） 10. 群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.

18、AS? ） 次交错群（在4次对称群 中的指数为4. 11. 444 ） （ 12. 复数域是实数域的单代数扩张。 ? ） （ . 13. 除环一定是域 S(1) ）（ 14.3-次对称群 的中心是 . 3 ） （ 15. 整数环的商域是有理数域. ） （ 16. 无限循环群和整数加群同构. 2?3x? ） 17. 多项式 （ 在有理数域上可约。 ppp.?F?a?a,?bb,(a?b)pF ） （18. 在特征为的域 中始终有 iZ ） （ 19. 高斯整数环 是唯一分解环. ? ） （20有限集合到有限集合的单射不一定是满射。 ） （ 21. 有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。 ?GG

19、?GG到群:G)Ker( ） （是群 的同态， 则同态核 是 设22. 的正规子群. 12121? ） （ 23.素数阶群不一定是循环群。 p)?,(),(pZ,?),(Z?Z? 的极大理想。 24.设为素数，为整数环，则是（ ） 文案大全 实用标准文档 四、证明题?Qa?b2|a,bT?QT 6， 则1. 设分）为有理数域，设按数的乘法和加法构成一个域.（T且，而乘法封闭是显然的实数域的一个子集。T关于数的加法、证明： ，非空且T是1?,T,(a?b2)?0?a?b2?TTT按数的乘法，这样我们就得因此关于加法、乘法构成实数域的一个子域. 。和加法构成一个域.F分）（： 6F）=1，则E=F

20、2. 设E是. 的扩域，且（E：2)?x?F(E:Fx?E,F?E 矛盾！， 则存在证明 用反证法：若这样， 8分）3. 证明：交换群的商群是交换群.（G：G?H 关于正规子群，则H 证明为交换群，设G 且的商群，且对GHG,bH?aH, 任意, 有H)bH)(aH(ba)H?()(aH)(bH?(ab)H? HG. 故是交换群11,?i,B?A?1,1,i,?）是设B，。（这里“”表示（A，）与（”是数的乘法，证明：（A，）（B，），“4. 分）（8满同态） 的同态),?)到（B(A,1,?i?1Af:?B,1?1,?1?1,i?. ，则容易验证证明：构造映射：f 是映射?a0?22?,RR

21、a?G|关于矩阵乘法构成（6分） 则， 5. 证明：设G=）的子半群.?00?00aba0ba0b0?G,?,?GG关于矩阵乘法构证明：对任意的， 故由子半群的判定知，?0000000000?2?2?,R. 成（）的子半群，得证1?aaa? 6分）.是群G的任一元素，若|a|=2的阶，求证： （ 6.设a21?,ea?a 证明：由题设我们知道： 对这个式子的两边同时乘以得1?1?1?12a(aaa?aa?a)e,? 1?a?a. 利用群G中逆元和单位元的性质，即得，?1?3i?23?Z,1,1?）（G，），这里，证明：有如下的群同构：，即（G=1，07. 设=（，）=1， 322?。（8分）

22、=2）（1=，（）证明：容易验证下述映射 文案大全实用标准文档 2?,2?1,1?ZG,0 ：3?保持运算， 即：是双射，且 ?(j),?i,i)j?(ij)?Z(. 3Z?）（G，）. 由同构映射的定义，即得（ ，322中所有可逆矩阵组成的集合，是R 8. 设G（i）. 证明G关于矩阵的乘法成群。（6分） 10 ? 的阶是多少？（4(ii). 分） ?-1 0?11 ?(iii). 分） 的阶是多少？（4? 10?(iv). 证明G不是交换群.（6分） 解：（i）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零， 而且两个方阵的乘积的行列式等于它们?1?G,AB?G,A?G?A,B,

23、 由此故G关于矩阵的乘法成群. 行列式的乘积，1100 ?G，经过简单计算，我们可知的单位元是： 注意到此时群的阶是3. (ii). ?001-1 ?11 ?. 的阶是(iii). ?0 1?01111101?通过简单计算，得(iv). 故G是非交换群。 ， ?011?10010?解答题： 1. 设Q是有理数集，“+”是数的加法，找（Q，+）的所有不同的自同构映射。（8 分） 解：f:Q?Q,a?ax,对?a?Q,f|x?Q,但x?0(Q,?)x?Q的所有自同构 定义对任意则集合为，xx映射. 1 0?1 0?1 0?A,?A,A,A,A?,A?, = 设G 中=，其?8211320 10 -

24、10 1?1 0i 0?i 0i 0?i 0?AA?,A?A?A, =?74856i 0-0 0i0-1-0 ii ?列出G的乘法（矩阵乘法）运算表。 解：运算表如下： 文案大全 实用标准文档 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8 A1 A1 A2 A3A4A5A6A7A8 7S 的所有元素；（分）（）写出次对称群3S 中所有元素的阶； 求出（分） （）3S （）求出（分）中所有元素的逆元 . 3 解：1111123233232?)(?S ，的全部元素为： ， ， ，?3423103212133331122?13223? ，?532112?.,|?|1|?2,?|?3|?| （）各元素的阶为：032451? （） ， ， ，的逆元分别为：，305035424121Z （分） 找出中的所有零因子12解： 2,3,4,6,8,9,10为所有的零因子 3322 ）中，求（分）1+的逆。（ 在有理数域的扩域Q解：3?32x? 在Q-2，因此由定理4.3.3上的最小多项式是p(x)= 由于，得到332?(Q2),a,a4?2a?aaQa 201120 文案大全 实用标准文档 3333322334?aa2a)