求图形面积的几种常用方法

1、第十二讲 求图形面积的几种常用方法 在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。 A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。 【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积【分析与解】S则阴影部分面积为：就变成了圆的面积减去正方形的面积，平方32=18.24(24=50.24=S444=S2正方形圆阴影) 厘米

2、厘米，三个圆两【例2】右图中三个圆的半径都是4 两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？如图，三个阴影部分的面积都相等，只【分析与解】需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形， 12（平方厘米）442=25。14则阴影部分的面积=3。 注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形B、加减法： 变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。 厘米，求阴影部分的面积是多少？【例3】如图，正方形的边长为4 如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积 【分析与解】正方形的面积扇形的面积，=而

3、空白c的面积c空白的面积， 即的面积多SSS比S= S= （S=SSS）SSSS即正正扇正扇阴影扇扇正扇扇扇扇2=Sc)b(a a)(bc)(b那部分的面积，即了bb= 阴影部分的面积，442阴 平方厘米)。44=25.1216=9.12(厘米，求阴影部分的面积12厘米，宽为8【例4】如图，长方形的长为 是多少？a b S) = S(SS如图，【分析与解】S= SS= S大扇阴影小扇大扇大扇长a 8=163.2896=67.28（平方厘米）1248412=S22长小扇 在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一C、旋转法： 起，变成另一个比较方便求的图形。D A 5厘米，

4、下底是如图，梯形ABCD的上底是3【例5】E 是梯形的中点。求阴影部分的面积是E厘米，高是4厘米，B C 多少？D A B 为是梯形的中点，若以E【分析与解】如图，由于EE B C CBEC绕反时针方向放置，使圆心，将三角形与点重合，显然可得，阴影部分的面积 点与D=所以阴影部分的面积三角形ABE的面积相等，（平方厘2=82=梯形面积的一半（34）4 米）。 、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从D 而求得阴影部分的面积。 的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角】【例6将三角形ABC 形ABC的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。A 要求六边

5、形的面积，似乎很困难，但通过【分析与解】C B 的三条边对六边形进行等分，C、B、三角形的顶点A （平方厘米）故所求面积为：就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，613=78 平方厘米，1807】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是【例 求甲乙两个小正方形有面积各是多少？ 1，【分析与解】甲的面积占正方形面积的一半的经过等分，可以得到， 24，即乙的面积 2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的一半的即甲的面积为1802 9 4=40（平方厘米）。=18029 ，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小、抓不变量：若甲比乙的面积大aE若两个面而图形发生变化，再

6、通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；不变， 积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。 平方厘米，求直（厘米），阴影比阴影面积大57【例8】如图，已知半圆的AB=20 BC的长？角三角形的高 （平方厘2=1573.141010【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：若阴影和阴影都加上空白部分，则半圆平方厘米”，米），又“阴影比阴影面积大57，平方厘米）（因此可求得三角形面积是15757=100的面积比三角形的面积大57平方厘米， （厘米）220=10高BC为：100 “一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的、F 对边上任意取一

7、点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。 厘米，AE长10BC厘米，宽AB=8厘米，E是上一点，】【例9一个长方形长边为12 互相垂直，DF长是多少厘米？AE和DFA D 的面积是ADEDE，则可得三角形【分析与解】如图，如果连接F ADEDF是三角形DF互相垂直”，可知和长方形面积的一半，由“AEB C E ) 厘米DF=1282210=9.6(的高，则 如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，】【例10平方厘米，则阴影部分的已知其中的三部分的面积分别是17、45、34a 17 b 面积是多少平方厘米？c 45 34 首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的【分析与解】不妨用字

8、为了能比较清楚的表示它们之间的关系，所剩下的部分也是长方形的一半，一半，所以阴影部分的34c4517c=aba来表示其余部分的面积。显然有c、b、a母 34=96（平方厘米）面积b=1745也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于【另解】 34=96（平方厘米）都是外露面积，所以有b=1745、外露面积。b是重叠面积，1745、34 根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而G、等积变换： 使问题解决得到简便。 厘米，求图】如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6【例11 中阴影部分的面积是多少平方厘米？D 根据已知条件，要求阴影部

9、分的面积是比较难的。【分析与解】C ，BD但是，如果我们连接，再仔细观察三角形ACD与三角形ABC的高不难得出它们都是以小正方形的对角线AC为底，以梯形ABDCB A 小正方形面积的的面积=为高，所以三角形ACD的面积三角形ABC （平方厘米）。一半，所以阴影部分的面积=662=18 2，求阴影部分的面积BCABC的面积为60平方厘米，AE=ED，BD= 【例12】三角形 3 是多少平方厘米？A F ”可得AE=EDDC就是1份，由“【分析与解】BC看成3份，E C B 为底的三角形=三角形ABE的面积三角形BDE的面积。又以BDD则会，如果连接ECEC或DF，所以需要连接的线有在图上有三角形

10、BDE和三角形BDF，EFDAEF与三角形如果连接DF，则有三角形发现三角形AEF与三角形BED的联系不大；的面的面积。这时我们把三角形FDC的面积相等，阴影部分的面积变变成为三角形BFD的面积，所BDF=三角形份，三角形BDF的面积就是2ABF的面积份，三角形积看作1，阴影（份）22=5ABCABF以三角形的面积也为2份，三角形的面积就被平分成了1 （平方厘米）。5部分的面积为：602=24 构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。就是根据已知数据的特殊性，构造法：H、6 6 6 在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方这种方法在以后的学习中应用得更加广泛， 形来计算的题型。 厘米，求它的

11、面积？13】一个等腰直角三角形的斜边长6【例这个正如果我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成一个正方形，【分析与解】倍。所求直角三角形的面4方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的 。4=9（平方厘米）积是66 厘米，求它的面积？厘米，两直角边相差6【例14】一个直角三角形的斜边长10 如果我们用四个同样的直角三角形就可以构造成一个空【分析与解】心正方形，正方形中阴影部分的面积=大正方形的面积小正方形的面积，小正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积=（1010 。6）4=16（平方厘米）6 如果两个三角形的高相等，则它们面积的比等于它们底的比；如果两个三、比例

12、法：I如果两个长方形的宽相等，则它们面积的比等于它们高的比；角形的底相等， 则它们面积的比就等于长的比。A D 12 O 3O，下底是上底的ABCD【例15】如图，在梯形，两条对角线相交于C B 平方厘米，那么梯形的面积为多少平方厘米？倍，三角形AOD的面积是12A D a 三角形=中，容易得出三角形AOB的面积在梯形【分析与解】ABCD12 12 O b C B ，OC=OBAO：OD=AB：DC=1：3=12DOC的面积平方厘米；又 。36=644（平方厘米）1212:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,则梯形的面积为：12 】如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中

13、三个长方形的面积【例16 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？、分别是：4、6216 4 ，则阴216=x平方厘米，则有4：x【分析与解】设阴影部分的面积是21 x 的面积影部分x=216=144（平方厘米）。 32rr有解有关圆和圆柱的题目时，如果没有告诉半径以及没有给出代换：、利用和J32rr 和求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出即可。 20平方厘米，求圆环的面积是多少？【例17】如图，阴影部分的面积为 2222而rr=(R=【分析与解】圆环的面积=大圆面积小圆面积R);222(RR所表示的意义为小正方形的面积，所表示的意义为大正方形的面积，r22220=62.

14、8)=3.14(Rrr)恰好表示阴影部分的面积，所以圆环的面积= （平方厘米）。 立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高与正方体的棱长】一个正方体的体积50【例18 都相等，求这个圆柱体的体积？=50,r=h=a,V=ah，则有高为【分析与解】设正方体的棱长为a,圆柱体的底面半径为r，3 50=157（立方厘米）rh=a=3.1432 12 解法练习题 、割补法：A 1、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 24 3 1图2 一1图1 1图 6 4 6 4 5 1图1-6 图 20 4 1图 4 6 16 6 8 1-9 图1-7 图1-8 图 a b 2 2 2 2 小圆半径为 1-12

15、图1-11 1-10 图图 10 2 每个扇形的半径都为1-15 图 3 小圆半径为 1-14 图1-13 图 5 每个扇形的半径都为1-16 图 B、加减法： （单位：厘米）2、求下列图形中阴影部分的面积。 8 6 0 60 10 3 2-1 图 2-2 图 6 4 14 2-4 图10 2-3 图 3 10 4 6 0 455 2-6 图6 、2-5 图 5 6 2-8 图 6 8 4 8 4 2-10 图 2-9 图 5 4 2-12 图 4 A 4 D B AC=2 2-14 图 C 2-13 图 A 乙 O O12 甲 B 12 =10 OO AB=17 2-15 图21 2-16

16、图= 24 3222.45 2-17 图 求两阴影的面积之差 2-18 图 C、旋转法： 、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）3 10 10 29 49 正方形 3-1 图3-2 图 13 13 2 12 12 4 3-3 图3-4 图 、等分法：D 36、下列每个正六边形的面积都是平方厘米，求图形中阴影部分的面积。4 4-2 图4-3 图4-1 图 。平方厘米，求图形中三角形的面积65、四个相同的正六边形，每个面积都是 、如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形拼成一个长方形，已知正方形的面积6 。平方厘米，求长方形的面积是5 是长方形的中点，求阴影部分的面积与长方形的面积的比。7、

17、E D A E F C D 是中点，求阴影部分的面积。、的长是15厘米，宽是8厘米，EF、长方形8ABCDB A E C D F 分别是中点，求阴影部分的面积。、平方厘米， EF、GH12正方形9的面积是、ABCDE B A H F C D G 、下面是两个等腰直角三角形组成的图形，求阴影部分的面积占整个图形的几分之10 几？ 、抓不变量：E 平方厘米，求的面积大5厘米，CEF的面积比ABE11、正方形ABCD的边长为5 CE的长。 B A F E D C 平方10.5厘米，宽是6厘米，阴影比阴影面积小12、已知长方形ABCD，长是8CE的长？厘米，求线段 B A F E D C 13、在平行

18、四边形BCDG中，BC长10厘米，直角三角形ABC的直角边AB的长是8厘米，已知阴影部分的面积比AEF的面积大10平方厘米。求BF的长？ A E F G D C B 14、已知半圆的半径是4，阴影部分比阴影部分面积大4.44平方厘米，求BC的长？ C A B ，BE=5ABC与三角形DEF是两个完全一样的三角形，已知AB=1215、如图三角形 DG=4，求阴影部分的面积？ D A G B F E C 0的面积厘米，圆心角为90OBC的扇形分成两部分，扇形16、如图，OB把半径为6 是长方形，那么图中甲的面积比乙的面积大多少？面积的2倍。ODBE是扇形OABC 甲 B E 乙 A D O F、“

19、一半”的应用： 厘米，宽为6厘米，求阴影部分的面积？17、已知长方形的长为8 6 8 、303个三角形，已知其中个三角形有面积分别为11、18、已知平行四边形被分为4 平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？43 43 11 30 平方厘米，那92、19、如图所示，已知平行四边形中的3个三角形的面积分别为7 么阴影部分的面积为多少平方厘米？ 7 7 2 9 20、如图所示，已知正方形图中的五块面积分别为65、20、50、 平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？、7015 65 20 70 50 15 ，那，三角形PBC的面积为341521、在平行四边形ABCD中，三角形ABP的面积为

20、 么阴影部分的面积为多少平方厘米？ A D P C B ？DE=厘米，DG=5、ABCD厘米，求宽是正方形，EDGF是长方形，CD=422 E A D F C B G ，那么阴21，三角形PBC的面积为、在长方形ABCD中，三角形ABP的面积为1223 影部分的面积为多少平方厘米？ A D P B C PFBG=26被两条直线分成四个平行四边形，中，已知平行四边形24、平行四边形ABCD 平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？平方厘米，平行四边形DHPE=16 G A B E F P D C H 25、正方形外面有A、B两点，图形内所标数据分别为各小三角形的面积，那么阴影部 分的面积为多

21、少平方厘米？ 0.6 1.5 2 B A 3 0.8 0.5 26、如图，ABCD为平行四边形，三角形DCE的面积是97 平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？ A B E D F C DG=24为正方形，ADEB为梯形，DE=30厘米，27、如图，在四边形ABCD中，DCFG 的面积？ABEDAB=39厘米，求梯形厘米，C D E F B A G ，另一28、如图，长方形被分成四个小三角形，其中一个三角形占长方形面积的21% 平方厘米，求长方形的面积？87个面积为 21% 87 的长？厘米，求AD、在四边形29ABCD中，AB=BC=10厘米，BE=8 A E D C B 的长？厘米，

22、求中，AB=8厘米，AF=10DEABCD30、在正方形 A D E B C F 平方厘米，黄色三角形4ABCD分成4块，红色三角形面积是CF31、BD、将长方形 平方厘米，绿色四边形的面积是多少平方厘米？6面积是F A D 红色 绿色 黄色 E B C 32、AED和BFC是两个相等的等腰直角三角形，面积都是2003平方厘米，求平行四 的面积？边形ABCDA F B D E C 。比较红色与蓝色面积的大小。：4，33、AE：ED=9：5BF：FC=7 E A D 蓝 红 蓝 红 B C F 、等积变换： G2 ，求阴影部分的面积。的面积为1，AE=ED，BD= BC34、三角形ABC 3A

23、F E B C D 2平方厘米，求阴影部的面积是14AE=ED，若三角形ABCBD=35、如图所示， BC， 3A 积。分的面F E B C D ，则阴影部分的面积是多AE=ED40平方厘米，DC=2DB36、三角形ABC的面积是 米？少平方厘A F E B C D 是中点，则阴影部分的面积是FEC=2AE，ABC、三角形的面积是12平方厘米， 37 方厘米？少平多A E F B C D 38、由大小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，则阴影部分的面积是 少平方厘米？多 厘米，则阴影部分的面积是多少平方、由大小两个正方形的边长分别是10厘米、639 米？厘 平方厘米，的面积是厘米，

24、四边形EFGH1240、已知长方形的长是15厘米，宽是8 求空白部分的面积？A D E F 12 H C B G 41、已知长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形EFGH的面积是3平方厘米，求 阴影部分的面积？ G D A F H E B C 、构造法：H 、如图，求四边形的面积是多少？（单位：厘米）42 3 0 45 7 43、一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？ 44、一个正方形的对角线长5厘米，求这个正方形的面积。 45、一个直角三角形的斜边长是10厘米，两直角边的差是3厘米，求这个直角三角形的面积？ 46、一个直角三角形的斜边长是15厘米，两直角边的差是4厘米，求这个直角三角

25、形的面积？ 求阴影部分的面积是3厘米，大正方形的边长是5厘米，47、如图，小正方形的边长是 多少？ I、比例法： 已知其中三个三角形的面积分48、四边形的两条对角线，将四边形分为四个小三角形， 平方米，求阴影部分的面积？平方米、65别是15平方米、75 15 75 65 平平方米、2549、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20 平方米，求阴影部分的面积？30方米、 25 20 30 54、2、3、一个长方形被四条直线分成九个长方形，其中五个的面积分别是501、 平方厘米，求阴影部分的面积？ 1 3 2 4 5 那么大长方形的面积是多少？、51如图所示，图形内所标数据分别为各小长方形的面积， 30 20 12 16 36 52、如图所示，已知梯形中的两个小三角形的面积为3、9平方厘米，那么梯形的面积 是多少？ 3 9 53、如图所示，已知梯形ABCD中，三角形CDE的面积为20平方厘米，AE：ED=2：B A E 20 C D ，那么梯形的面积是多少？5 ：CD