相交线与平行线复习及练习题

1、二、知识点梳理 一、知识定义 邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 同位角、内错角、同旁内角： 同位角：1与5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：2与6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：2与5像这样的一对角叫做同旁内角。 命题：判断一件事情的语句叫命题。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平

2、移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 三、定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错

3、角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 三、经典例题 题型一 互余与互补 例1 一个角的余角比它的补角的少20.则这个角为（ ） xxx，补角是180，则这个角的余角是90于是构造分析 若设这个角为，出方程即可求解. xxx.，补角是180，则这个角的余角是90 解 设这个角为 xxxB.20.解得：(180 )(9040.故应选)则根据题意，得说明 处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解. 题型二 平行线的性质与判定 例2 判断题： 1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

4、 ( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。 ( ) ) ( 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。4)答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。 (4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 ll，150，则2的度数是（ 1，） 例3 已知：如图21 ll可知1+2180，于是由150，即可要求2的度数，由分析 21求解. ll，所以1+2180， 解 因为21B.又因为150，所以2180118050130.故应选 说明 本题是运用两条直线平行

5、，同旁内角互补求解. ll，140，那么2 度.，已知直线例4 如图2 21 ll，得3，要求2的大小，只要能求出3，此时由直线21分析 如图21即可求解. ll，140，所以1340.解 因为 21又因为23，所以240.故应填上40. 说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解. FE 图2 图1图3 ABCD，130，290，则3等于（ ，已知如图3） 例5 EFAB， 分析要求3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过2的顶点作AEFCEF .，再由130，290求解，3由有1AEFABEF . 如图3，过2的顶点作所以1，解CEFCDABCDEF ，所以3又因为，所以，A

6、 而130，290，所以3903060.故应选. 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解. 说明CDEFBEFABCD EFABCD的平分线交例6 如图4，于，直线分别交两点，EGFGEFG ，若72，则）等于（于点 EGFBEFEFGEGFABCD 分析 要求+的大小，由于，则有180，EGFEFGBEGEGBEF 72，所以可以求得，而，平分54.BEGEGFABCD BEFEFG ，所以+，180，解 因为BEFGBEFBEGFEGEG ，72，所以54.故应选又因为.平分求解有关平行线中的角度问题， 只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活说明E 运用对顶角、角平分线等知识

7、就能简洁获解.AB CD GF 图4 课堂作业：FD，上一点，于如图，已知，为于ABC?BC?EFAD?BCEAB G.求证.交CA于 BADG/21? 例7 已知：如图，ABCD，求证：B+D=BED。 分析：可以考虑把BED变成两个角的和。如图5，过E点引 一条直线EFAB，则 有B=1，再设法证明D=2，需证EFCD，这可通过已知ABCD和EFAB得到。 证明：过点E作EFAB，则B=1（两直线平行，内错角相等）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 D=2（两直线平行，内错角相等）。 又BED=1+2， BED=B+D（等量代换）。

8、 变式1已知：如图6，ABCD，求证：BED=360-（B+D）。 分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的BED都是指小于平角的角，如果把BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。 证明：过点E作EFAB，则B+1=180（两直线平行，同旁内角互补）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 D+2=180（两直线平行，同旁内角互补）。 B+1+D+2=180+180（等式的性质）。 又BED=1+2， B+D+BED=360（等量代换）。 BED=360-（

9、B+D）（等式的性质）。 变式2已知：如图7，ABCD，求证：BED=D-B。 分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。 证明：过点E作EFAB，则FEB=B（两直线平行，内错角相等）。 ABCD（已知）， ，又EFAB（已作） EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 FED=D（两直线平行，内错角相等）。 BED=FED-FEB， BED=D-B（等量代换）。 变式3已知：如图8，ABCD，求证：BED=B-D。 分析：此题与变式2类似，只是B、D的大小发生了变化。 证明：过点E作EFAB，则1+B=180（两直线平行，

10、同旁内角互补）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 FED+D=180（两直线平行，同旁内角互补）。 1+2+D=180。 1+2+D-（1+B）=180-180（等式的性质）。 2=B-D（等式的性质）。 即BED=B-D。 例8 已知：如图9，ABCD，ABF=DCE。求证：BFE=FEC。 证法一：过F点作FGAB ，则ABF=1（两直线平行，内错角相等）。 过E点作EHCD ，则DCE=4（两直线平行，内错角相等）。 FGAB（已作），ABCD（已知）， FGCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 又EHCD （已知）， FG

11、EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 2=3（两直线平行，内错角相等）。 1+2=3+4（等式的性质） 即BFE=FEC。 证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。 ，ABCD（已知） 1=ABF（两直线平行，内错角相等）。 又ABF=DCE（已知）， 1=DCE（等量代换）。 BGEC（同位角相等，两直线平行）。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）。 。H相交于点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）如果延长CE、AB 。证法三：（如图12）连结BC ， ABCD（已知） 。 ABC=BCD（两直线平行，内错角相等） ， 又ABF=DCE（已知） 。-ABF =BCD-

12、DCE（等式的性质） ABC 即FBC=BCE。 BFEC（内错角相等，两直线平行）。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）。 题型三 尺规作图BcABC腰长使其底角如图5所示，求作等腰三角形，例9 已知角和线段cAB ，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹. A cc c PB C 图图56ABCBABcB可以先作出底角腰长，分析 要作等腰三角形，使其底角，BAcAcBP于，再在底角的一边截取为圆心，线段为半径作弧交，然后以点C，即得.点 BPPBQ；，再作作法（1）作射线 BQBAc；2（）在射线 上截取AcBPC ；于点为半径作弧交为圆心，线段）以点3（ABCAC 6.）

13、连接如图.则为所求（4AOBBAOAOBOB（要7，已知和射线，用尺规作图法作如图例10 A 求保留作图痕迹）.A C C B O OB DD 7图 AOBABAOOO ，使得即可 分析只要再过点.作一条射线DOOAOBC 、）以作法（1；为圆心，任意长为半径，画弧，交、于点DBOO ；于点）以（2为圆心，同样长为半径画弧，交CDCD （3）以为圆心，长为半径画弧与前弧交于点；BAOCOAO ）过点（4作一条射线.如图7即为所求作.中的 在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了. 说明 课后作业: 一、选择题 ） 下列说法中，正确的是（1 A一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做

14、这个角的平分线; BP是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P?到L的距离一定是1; C相等的角是对顶角; D钝角的补角一定是锐角. 2如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（ ） A3对 B4对 C5对 D6对 (1) (2) (3) 3若1与2的关系为内错角，1=40，则2等于（ ） A40 B140 C40或140 D不确定 4如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（ ） 5a，b，c为平面内不同的三条直线，若要ab，条件不符合的是（ ） Aab，bc; Bab，bc; Cac，bc; Dc截a，b所得

15、的内错角的邻补角相等 6如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）1=5；（2）1=?7；（3）2+3=180；（4）4=7，其中能判定ab的条件的序号是（ ） A（1）、（2） B（1）、（3） C（1）、（4） D（3）、（4） 7如图3，若ABCD，则图中相等的内错角是（ ） A1与5，2与6; B3与7，4与8; C2与6，3与7; D1与5，4与8 8如图4，ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分BEF若1=72，?则2的度数为（ ） A36 B54 C45 D68 (4) (5) (6) 9已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6c

16、m和4cm，?则符合条件的直线L的条数为（ ） A1 B2 C3 D4 10如图5，四边形ABCD中，B=65，C=115，D=100，则A的度数为（? ） A65 B80 C100 D115 11如图6，ABEF，CDEF，1=F=45，那么与FCD相等的角有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 12若A和B的两边分别平行，且A比B的2倍少30，则B的度数为（ ） A30 B70 C30或70 D100 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案填在题中横线上） 13如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即ABDC）?如果C=60，那么B的度数是_ 14已知，如图，

17、1=ABC=ADC，3=5，2=4，ABC+BCD=180将下列推理过程补充完整： ）1=ABC（已知）， （1 AD_ ， （2）3=5（已知） AB_, _） （ ）ABC+BCD=180（已知） （3， _, （_） 16已知直线AB、CD相交于点O，AOC-BOC=50，则AOC=_度，?BOC=_度 17如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CDAB，若A=105，B=40，则ACE为_ (7) (8) (9) 18如图8，已知1=2，D=78，则BCD=_度 ，若E与L相交于点BC，直线LL，ABL，垂足为O，19如图92112 则2=_度1=43，?则1?与2?的大小关系是?20

18、如图，ABD=?CBD，?DF?AB，?DE?BC， _ 证明过程或演?40分，解答应写出文字说明，三、解答题（本大题共6小题，共 算步骤）与B?D，B分）如图，ABAB，BCBC，BC交AB于点22（7 有什么关系？为什么？ 要求给?分）如图，已知ABCD，试再添上一个条件，使1=2成立（623（ 出两个答案） 平分EBF的道理：23，说明BA（246分）如图，ABCD，1：2：3=1： 且1=2，E，于上任意一点，是点DCDAB分）（257如图，于，FBCFEAB ?3=80求BCA的度数 26（8分）如图，EFGF于FAEF=150，DGF=60，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由

19、课堂作业答案： o 90ADB?EFB?BC,QAD?BCFE?3?2?AD?EF/?AF.DGF（对顶角相 22. 1 1?3?DGQ/BA,?2.?1?DGFDBEC（同位角相等，两直线平行） 等）又12 2DBACCDDBAD （两直线平行，同位角相等） 又 DFACAF(两直线平行,内错角相等（内错角相等，两直线平行）). 课后作业答案: 1D 2D 点拨：图中的邻补角分别是：AOC与BOC，AOC与AOD，COE与DOE，BOE与AOE，BOD与BOC，AOD与BOD，共6对，故选D 3D 4C 5C 6A 7C 点拨：本题的题设是ABCD，解答过程中不能误用ADBC这个条件 8B 点拨：ABCD，1=72， BEF=180-1=108 ED平分BEF， 1 BED=BEF=54 2 ABCD，2=BED=54故选B LL两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，LC 9点拨：如答图，321 这种情况容易被忽略10B 11D 点拨：FCD=F=A=1=ABG=45 故选D ?A?B,?A?B?180?,?12C 点拨：由题意，知或 ?A?2?B?30?A?2?B?30?解之得B=30或70故选C 13