二次函数( 含答案)

1、.二次函数一、 知识梳理1. 二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2. 二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数yxn是定义域上的增函数()(5)若函数f(x)(k21)x22x3在(，2)上单调递增，则k.()(6)已知f(x)x24x5，x0,3)，则f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.()二、 基础自测1设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为()A. B.C1 D1答案D解析因为b0，故对称轴

2、不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a210，a1，又a0，所以a1，故选D.2 已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析yx22x3的对称轴为x1.当m1时，yf(x)在0，m上为减函数 ymaxf(0)3，yminf(m)m22m32.m1与m2时，ymaxf(m)m22m33，m0或m2，与m2矛盾，舍去综上所述，1m2.3. (2014江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案(，0)解析作出二次函数f(x)的草图，

3、对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得mxk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解(1)由题意得f(1)ab10，a0， 且1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1， 单调增区间为1，)(2)f(x)xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增f(x)minf().6分当1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右

4、侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.9分(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.11分综上所述，f(x)min【提示】(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.变式 求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值

5、解：f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.(1) 当a0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a(2)当0a1时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a. (3)当12时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.综上，(1)当a0时，f(x)min1，f(x)max34a；(2)当0a1时，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)当12时，f(x)min34a，f(x)max1【课堂总结】方法与技巧1二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与

6、最大(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便2二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解【失误与防范】1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内

7、，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.专项训练（A组）1如果函数f(x)x2ax3在区间(，4上单调递减，则实数a满足的条件是()Aa8 Ba8Ca4 Da4答案A解析函数图象的对称轴为x，由题意得4，解得a8.2一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象可能是()答案C解析若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.3若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B1

8、C2 D2答案B解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.4. 对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_答案(4,4)解析由题意得解得4a4.5. 设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)解函数yx22x(x1)21.对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a2x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的单调区间解f(x)2x0的解集为(1,3)， 设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，f(x)a(x1)(x3)2xax2(

9、24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.方程有两个相等的根， (24a)24a9a0，解得a1或a.由于a0，舍去a1.将a代入式得 f(x)x2x(x3)2，函数f(x)的单调增区间是(，3，单调减区间是3，)专项训练（B组）7设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.8.

10、对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是_答案(0，)解析由题意得f(x)(2x1)*(x1)即如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2. f(x) (x1)2. F(x) F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又x(0,1时，x的最小值为0，x的最大值为2.2