工程经济学第二章现金流量的构成及等值计算

1、主讲教师：朱建国第2章现金流量及资金时间价值2.1现金流量的构成2. 1. 1现金流量、现金流量图(1) 现金流量(Cash Flow)(2) 现金流量图(Cash Flow Diagram)描述现金流量作为时间函数的图形，表示资金 在不同时间点流入与流出的情况。300200 200 200现金流入01234时间现金流出4（0说明：1水平线是时间标度，时间的推移是自左向右，每一格 代表一个时间单位（年、月、日）；2. 箭头表示现金流动的方向向上现金的流入，CIt向下现金的流出,COt3. 现金流量图的三个要素-丄垢鏗舅工（大小现金流量图的三大要素 流 向I时间点4. 现金流标注位置有两种处理方

2、法：一是工程经济分析中常用的，其规定是建设期的投资 在年初，生产期的流出或流入均标在年末；另一种是在项目财务计价中常用的，无论现金的流入 还是流出均标年末。2.2资金的等值计算2. 2. 1资金时间价值概念1含义：资金在扩大再生产及循环和周转过程中，随着时间的推移，能 产生新的价值,其表现就是资金的利息或纯收益。现金流量图中不同 时点等额资金价值上的差别。例如：有一个公司面临两个投资方案A、B ,寿命期都是4年,初始投资也相同,均为10000元。实现利润的总数也相同, 但每年数字不同,具体数据见表2_1。如果其他条件都相同,我们应该选用那个方案呢?表21年末A方案B方案0-10000-1000

3、01+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+70002产生(1) 随着时间推移而产生的增值(利息和投资收益)；(2) 对(他人)放弃现期消费产生损失的补偿。3资金时间价值大小影响因素(1)投资增值速度(投资收益率)；(2 )通货膨胀、资金贬值；(3 )风险因素。2.2.2利息与利率1利息和利率(1)利息、I：占用资金所付代价或放弃使用资金所得补/当Fn=P+ nFn本利和p本金In利息 n计息周期（2）利率i :一个计息周期内利息与本金之比。心护100%设：I利息p本金n 计息期数1利率F本利和2单利和复利(1)单利每期均按原始本金计息(利不生利)I n=

4、 P i nFn=P (1+i- n)例题1:假如以年利率6%借入资金1000元共 借4年其偿还的情况如下表年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还110001000 X 0.06=6010600210601000 X 0.06=6011200311201000 X 0.06=6011800411801000 X 0.06=6012401240（2）复利一利滚利F=P(l+i)nI=F-P=P(l+i)n-lky公式的推导如下:年份年初本金P当年利息1年末本利和F1pPiP(l+i)2P(l+i)P(l+i) iP(l+i)2n1P(l+i)n-2P(l+i)n 2 iP(l+i 严nP(l+i

5、)mlP(l+i)n 1 iP(l+i)n例题2：假如以年利率6%借入资金:L000元共借4年其偿还的情况如下表年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还110001000 X 0.06=6010600210601060 X 0.06=63.601123.60031123.601123.60 X 0.06=67.421191.02041191.021191.02 X 0.06=71.461262.481262.483名义利率和实际（有效）利率“月利率1%, 按月计恵，通常称为年利率12%,毎戶计恵一次”名义利率：每一计息周期利率与每年计息周期数的乘 积实际利率：资金在计息期发生的实际利率。单利计算

6、, 名义利率与实际利率一致;否则不一致，实际利率大小与计 息次数有关。例3：有本金1000元,年利率12% ,若每月计息1次,试计 算实际利率。解：一年本利和F=1000X(1+0.12 / 12严=1126.80元实际利率i= (1126.80-1000) 4-1000X100%=! 2.68%计息次数趣多,则实际利率趣？名义利率为12%,分别按不同计息期计算的实际利率复利周期每年计息数期各期实际利率实际年利率一年112.0000%12.0000%半年26.0000%12.3600%一季43.0000%12.5509%一月121.0000%12.6825%一周520.23077%12.734

7、1 %一天3650.0329%12.7475%连续GO0.000012.7497%一般地：实际利率计算公式(离散式复利)设名义利率为匚一年中计息m次，则每次计息的利率为 r/ m年末本利和为：F=P(1 +r/m)m一年末的利息为：P(1 +r/m)m - P则年实际利率i为：mr1 + -1p m丿例4:现有两家银行可以提供贷款,甲银行年利率17% ,- 年计息一次；乙银行年利率为16% , 一月计息一次,均为 复利计算”问那家银行的实际利率低?解：甲银行的实际利率等于名义利率，为17%,乙银行的实际利率为：l = (1+r/m)m1 = (1+0.16/12 ) 12-1=17.23%2.

8、2.3资金的等值计算为了将计算期内不同时点的资金收支进行分析计算,需要将不同时点的现金流换算成某一固定试点等值的资金 额，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等 值的。例5 :在年利率6%情况下f现在的300元等值于8年末 的300 x (1+0.06)8=47&20元。这两个等值的现金流量 如下图所示。300i=6%0 12345678 年478.20 Ai=6%012345678 年同一利率下不同时间的货币等值1基本概念(1) 现值P:将不同时点资金折算到某一特定时点所得的资 金额。经常折算到0时点,称为折现或贴现。(2) 终值F：将不同时点资金折算到时间序列终点所得的资 金额。(

9、3) 年金A：每年等额收入或支出的金额。(4) 时值W：某笔资金在某时点上的值。(5) 等值：两笔资金折算到某一时点时值相等称之为等值。例2.1某人现在借款1000元，在5年内以年利率6%还清全部本金和利息，有如下4种偿付方案。1.在五年内每年年底仅偿付利息60元，最后第五年末在 付息时将本金一并归还。偿还方案年数(1)年初所欠金 额年利息(3)二(2)X6%年终所欠金 额(4)二(2)+(3)偿还本 金年终付款总 额11100060106006021000601060060310006010600604100060106006051000601060100010603001300偿还方案年数

10、(1)年初所欠金 额年利息(3)二(2)X6%年终所欠金 额(4)二(2)+(3)偿还本 金年终付款总 额1110006010600602106063.61123. 606031123.667.41191.006041191.071.51262.506051262.575.71338.210001338. 2338. 31338. 23.将所借本金作分期均匀摊还，每年年末偿还本金200元,同时偿还到期利息，至第五年末全部还清。偿还方案年数(1)年初所欠金 额年利息(3)二(2)X6%年终所欠金 额(4)二(2)+(3)偿还本 金年终付款总 额11100060106020026028004884

11、820024836003663620023644002442420022452001221220021218011803.将所借本金作分期均匀摊还，每年年末偿还本金200元,同时偿还到期利息，至第五年末全部还清。偿还方案年数(1)年初所欠金 额年利息(3)二(2)X6%年终所欠金 额(4)二(2)+(3)偿还本 金年终付款总 额11100060106020026028004884820024836003663620023644002442420022452001221220021218011802资金等值计算公式(1)次支付F=?1n 1i1IIIL231) 一次支付终值计算公式P (已知)F

12、 = P(l+i)n 二 P(F/P, i,n)(l+i)n一次支付终值系数, 记作 “(F/P,i,n)”例6:在第一年年初f以年复利利率6%投资1000元,计算第LL!年年末可得之本利和。解:F=P(1+i)n=1000 (1+6%)4=1262.50元例7:某投资者购买了 1000元的债券,限期3年,年利率10% , 到期一次还本付息,按照复利计算法,贝嗨年后该投资者 可获得的利息是多少？i=10%解:1000l=P(1+i)n-1=1000(1+10%)3-1=331 元例题2.2自学11123p=?P = F_ 1 _(1 + /T2）一次支付现值计算公式0F(P/Fn)n 1 nF

13、 （已知）（P/F，i，n）称为一次支付现值系数例年利率为6% ,如在第四年年末得到的本利和为1262.5元f则第一年年初的投资为多少?解：P = F (1 +沪=1262,5 (1 + 6%)“= 1262.5x0.7921例题23自学F=?n 1ntop（2）等额分（支）付1）等额支付终值公式0123&UA（已知）123A （已知）年末等额支付值累计本利和（终值）1AA2AA+A(l+i)3AA+A(l+i)+A(l+i)2nAAl+(l+i)+(l+i)2+.+(l+i)n=F即 F= A+A(1 +i)+A(1 +i)2+.+A(1 +i)n*1 根据等比数列求和公式可求得FF = A

14、(1 + ff-l1= A(F/A,i,n)(F/A,i,n)称为一次支付现值系数例9:连续5年每年年末借款1000元,按年利率6%计算z第5 年年末积累的借款为多少？解：F = A(1 + /) -1=A(F/Au,n)= 1000(1 + 6%)5 -16%= 1000x5.6371= 5637.1(元)2)等额分付偿债基金公式0123An 1njPA = F1= F（AIF 丄 n）(A/F,i,n)称为等额支付偿债基金系数VA=?3）等额支付现值公式A （已知）AJ J012:3n 1np=?P=A11+0-1i(l + iyA(P/An)（P/A,i,n）称为等额支付现值系数由于 r

15、 (1 + i)11lim = 一s Z(l + Z) i当n足够大时，可近似认为:P = A / i例10：某建筑公司在未来3年内每年年末收益均为 20万元f年复利率10% ,这三年收益的现值是多 少？解:P =+= 200000(1 + = 497380元1(1+ 00.1(1+ 0.1)34）等额支付资本收公式A=?P（已知）A = P_ i(l + i)n （A/F,i,n）称为等额分付资本回收系数例11:某建设项目投资为1000万元,年复利率为8% ,欲在10年内收回全部投资,每年应等额f(l+ zy (1 + zT-l收多少？ 解：= 149.03万元100Q 0.08(1+ O.

16、O8)10(1 + 0.08)1例12：某施工企业购买了_台施工机械，购买成本为10000 元，估计能使用15年f 15年末的残值为1000元#运行费用固定为每年800元f此外每使用5年后必须大修一次#大修费用每次2000元f设年利率为12% f试求机器等值年费用？并画出现金流量图。解：A = 800+ 10000+2000(P/F, 12%, 5)+2000(P/F,12%, 10) X(A/P, 12%, 15)-1000(A/F, 12%,15)=800+(10000+1134.85+643.95) XO.1468-1000 X 0.02600+1729.4-26.=2502.6 元增力

17、n：等额还本利息照付系列现金流量的计算每年的还款额At按下式计算： At=Pi/n + Pixix1 (t1 )/n式中：At第t年的还本付息额；Pi 还款起始年年初的借款金额例：某借款人向银行借款500000元借款，期限10 年，年利率为6%.采用等额还本利息照付方式，问 第5年应还本付息金额是多少？解：由公式得：At=PI/n+PIXiX1-(t-1)/n=500000/10 + 500000 X 6% X 1 - (5 -1 )/10= 68000 兀FJ例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。0123n-i n解:0123A =A (1+i)+ V-1讹+沖P = A(P/A,

18、z=A(l + z) ,(M例:有如下示现金流量，解法正确的有（)F=? 01234567I1I1II 8AA.F=A(P/Aj,6)(F/P 丄 8)B.F=A(P/Aj，5)(F/P 丄 7)C.F 二 A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F 二 A(F/A,i,5)(F/P,i,2) LB:E.F=A(F/A 丄 6)(F/P丄 1)答案：AC例：下列关于时间价值系数的关系式，表达正 确的有()A(F/A,i,n) =(P/A,i,n)X(F/P,i,n)B(F/P,i,n) =(F/P,i,n1) X (F/P,i,n2),其中C (P/F,i,n ) =(P/F,i,nx)+(

19、P/F,i,n2),其中 nx+n2=nD (P/A,i,n ) =(P/F,i,n) X (A/F,i,n)E. 1/ (F/A,i,n) =(F/A,i,l/n)答案：AB例：若n1=n2/25则当P相同时有（）oA(F/P, iiv 叫) (F/P, in?)C(F/P, iiv 叫)=(F/P, in?)D无法确定两者的关系答案:a总结:计 算 公 式公式名称已知项欲求项系数符号公式一次支付终值PF(F/P, i, n)F=P (1+i ) n一次支付现4白FP(P/F, i, n)P=F(l+i)-n(1 + 八1等额支付终 值AF(F/A, i, n)F = A1 7 1i偿债基金

20、FA(A /F, i, n)/i r /(i+D -1年金现值PA(P/A, i, n)A = P(1 +厅-1(1亠-1资金回收AP(A/P, i, n)尸=冶i(l + i)n例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%,每季度F=?解:计息一次，求10年末的将来值。40 季度每季度的有效利率为8% *4=2%,用年实际利率求解:年有效利率i为：上（1+2%） 41=8.2432%F=1000 (F/P, 8.2432%, 10) =2208 (元) 用季度利率求解：F=1000 (F/P, 2%, 40) =1000X2. 2080=2208 (元)F=1000(F/P, 1%,4X

21、3)=1000 (F/P, 1%, 12)答案:c例:某企业向银行借款1000元，年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为（）元。A. 1125 B. 1120 C. 1127解:01231000D. 1172F=?12 季度=1127元例：已知某项目的计息期为月，月利率为8%。，则项目 的名义利率为（）oA. 8% B 8%o C 9.6% D 9.6%o解:（年）名义利率二每一计息期的有效利率X 一年中计息期数所以 r=12 X 8%o =96%o =9.6%例：假如有人目前借入2000元，在今后2年中每月 等额偿还，每次偿还99.80元，复利按月计算。试求月有 效利率、名义

22、利率和年有效利率。解：99.80=2000 (A/P, i, 24)(A/P, i, 24)=99.8/2000=0.0499查表，上列数值相当于i =1.5%月有效利率 贝！I 名义利率r=1.5%xl2=18%年有效利率 i= (1 + 1.5%)121 = 19.56% 八 I.輕总跑辰 2逵续貳复在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计 算，车有效莉率另：n式中：e自然对数的底，其数值为2.71828名义利率的实质：当计息期小于一年的利率化为年利率 时，忽略了时间因素，没有计算利息的利息。3名义利率和有效（年）利率的应用：1）计息期与支付期相同可直接进行换算求得2）计息期短于支付期运

23、用多种方法求得3）计息期长于支付期按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计 息期分界点处的支付保持不变。例4:假定现金流量是：第6年年末支付300元,第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各获得80元。按年利率5%计息，与此等值的现金流量的现值P为多少？08067 89 10 11 12 13 1411I3001 1 1 16015 16 17210p=?解：P=-300(P/F,5%,6) 一 60(P/A，5%,4)(P/F5%,8) -210(P/F,5%3) +80(P/A,5%，3)(P/F,5%4)=

24、-300x0.7162-60 x3.5456 x0.6768-210 x0.5303+80 x2.7232 x05051= -369.16也可用其他公式求得P=-300(P/F,5%,6) 一 60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12) -210(P/F,5%,13) +80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)= -300x0.7462-60 x4.3101 x0.5568-210 x0.5303+80x3.153 x0.4363= -369.16习题1.某债券面值为100元，期限为3年，年利率为10%, 按单利计算，则到期后的本息和为（）。A. 133元B. 130元C. 330元

25、D. 121元标准答案：B2.在利率、现值相同的情况下，若计息期数n=l,贝愎利 终值和单利终值的数量关系是（）。A.前者大于后者B.前者等于后者C.前者小于后者D.无法判断标准答案：B3. 假如以复利方式借入1000元，年利率8%,第四年末 偿还，则第二年年末利息之和为()元。 1080 C. 166.4 D. 1166.4A. 80 E标准答案：C4. 在利率为5%,复利计算情况下，欲在第四年末得到 100万元钱，现在应向银行存入()万元3.33 C. 86.3D. 92.24A. 82.27标准答案：A 5.某企业贷款50000%,利率为9%,期限5年，每年末 应等额偿还()元 A. 1

26、2000 B. 13535C. 14500D.标准答案:D6.下列是回收系数表示符号的是()。 A. (A/F, i, n) B. (A/P, i, n) C. (F/A, i, n) D. (P/A, i, n)标准答案：BA.B.C.10.下列表述中，正确的有（）。复利终值系数和复利现值系数互为倒数 年金终值系数和年金现值系数互为倒数 年金终值系数和偿债基金互为倒数D. 年金现值系数和资本回收系数互为倒数E. 年金现值系数和偿债基金系数互为倒数标准答案：ACD13. 若年名义利率为12%,每季计息一次，则年有效利 率为（）。A.1% B. 3% C. 12% D. 12.55%标准答案：D

27、14. 若年有效利率为12%,则季有效利率为（）。A. 2% B. 3% C. 3%标准答案：C （名义利率小于有效利率）15. 若年名义利率为12%,每月计息一次，则计息周期 有效利率为（）。 3% C. 12% D. 12.68%A. 1%标准答案：A公式名称農2-5六个常用卑需值计H：公式 形表达式已知未知i 公 式 轅付终值公式蜃付现值公式Ff PFP (1 + i)1 =P F/P, it )*P=F(l + i) =F P/Ft- i, n)(1 + iF付終值利率系数|7 i|i r ;.暑(l + i)-“一整付现值利車系 数.等额分付琳值公式零顿分付偿债基金公式F-A(F/X, i, n) F (4/F, i； n)(!.冲三! _等额分付绻值利率系敷L(l*i偿债基金利Pf(P/儿 i, n)(j4/P, i、n)恍制鄒詁族值利*応资本回收利古H皐系数/ULLJ(3)等差序列现金流计算n-111AiA144；1Ai + 2；Ai+(n1-2)G i10123 n-1 nAiAiAiAi Ai3 n-1nn-1