2001考研数二真题及解析

1、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) (2) 设函数由方程所确定,则曲线在点处的法线方程为 .(3) (4) 过点且满足关系式的曲线方程为 .(5) 设方程有无穷多个解,则 .二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设则等于 ( )(A)0 (B)1 (C) (D)(2) 设当时，是比高阶的无穷小，是比高阶的无穷小，则正整数等于 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(3) 曲线的拐点个数为 ( )(

2、A)0. (B)1. (C)2. (D)3(4)已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且则 ( )(A)在和内均有.(B)在和内均有.(C)在内，.在内，.(D)在内，.在内，.(5)设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数 的图形为 ( )三、(本题满分6分)求四、(本题满分7分)求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型.五、(本题满分7分)设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值.(在直角坐标系下曲率公式为)六、(本题满分7分)设函数在上可导，且其反函数为.若，求.七、(本题满分7分)设函数满足，且，求 八、(本题满分9分)设是一条平面曲

3、线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的的截距，且经过点(1) 试求曲线的方程(2) 求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形面积最小.九、(本题满分7分)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？十、(本题满分8分)设在区间上具有二阶连续导数,(1) 写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2) 证明在上至少存在一点，使十一、(本题满分6分)已知矩阵且矩阵满足其中是3阶单位阵，求.十二、(本题满分6分)设为线

4、性方程组的一个基础解系，试问实数满足什么关系时，也为的一个基础解系.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】(2)【答案】 x2y+2=0.【详解】在等式两边对x求导, 其中视为的函数，得，即将x=0, y=1代入上式, 得，即 故所求法线方程斜率，根据点斜式法线方程为： 即 x2y+2=0.(3)【答案】【分析】根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设在有界闭区域上连续，则有 ，【详解】由题设知在区间上，是奇函数，是偶函数，故，所以，原式(4)【答案】【详解】 方法1：因为，所以原方程可改写为 两边直接积分，得 又由代入上式，有 ，解得故所求曲线方程为

5、 方法2：将原方程写成一阶线性方程的标准形式由一阶线性微分方程通解公式：这里，代入上式得： 又由解得 故曲线方程为：(5)【答案】 -2【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有 由非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件：设是矩阵，方程组有无穷多解. 可见，只有当a =2 时才有秩，对应方程组有无穷多个解.方法2: 设是矩阵，方程组有无穷多解，则方程组有无穷多解. 从而有，即则，.当时，可见原方程组无解.当时，有 可知，故当时，原方程组有无穷多解.二、选择题(1)【答案】(B)【详解】因为，所以在整个定义域内，所以，于是，从而(2)【答案】(B)【详解】根据高阶无穷小的定义：如果，就说

6、是比高阶的无穷小，由题设当时，是比高阶的无穷小，所以从而应满足；又由是比高阶的无穷小，所以根据高阶无穷小的定义有：，从而应满足综上，故正整数，故选(B)(3)【答案】(C)【详解】，所以 令，即，因为判别式：，所以有两个不相等的实根，且，所以两个实根不为2，因此在使这两点处，三阶导数，(一般地，若，且，则点一定是曲线的拐点)，因此曲线有两个拐点，故选(C)或根据是一条抛物线，且与轴有两个不相同的交点，所以在两个交点的左右符号不相同，满足拐点的定义，因此选(C)(4)【答案】(A)【详解】方法1：令，则由于严格单调减少，因此当时，则；当时，则，且在处，根据判定极值的第一充分条件：设函数在处连续，

7、且在的某去心领域内可导，若时，而时，则在处取得极大值，知在处取极大值，即在在和内均有，也即. 故选(A)方法2：排除法，取，则，所以满足题设在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且当时或时，均有，因此可以排除(B)、(C)、(D)，选(A)(5) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在轴的左侧，曲线是严格单调增加的，因此当时，一定有，对应图形必在轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又的图形在轴右侧靠近轴部分是单调增，所以在这一段内一定有，对应图形必在轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).三【详解】作积分变量变换，令则原式 四【分析】应先求出的表达式，再讨论它的间断点，首先明确间断点

8、的类型分为两大类：第一类间断点和第二类间断点，第一类间断点又可分为：可去间断点(左右极限存在且相等的间断点)和跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点)；第二类间断点又可分为：无穷间断点(有一个极限为无穷的间断点)和振荡间断点(极限值在某个区间变动无限多次).【详解】由 又 所以 由的表达式，可以看出自变量应满足，从而当时，所以为的第一类间断点(左右极限相等，又进一步可知是可去间断点)；对于非零整数，故为的第二类间断点(无穷间断点)五【解答】由，有 抛物线在点处的曲率半径若已知平面曲线的显式表示为，则弧长为，其中在有连续的导数.根据上述结论，所以抛物线上的弧长故 因此 六【详解】的反函数是，根

9、据反函数的性质有，两边对求导，有又，所以， 两边积分 .由于题设在上可导，所以在处连续，故，所以，于是， 七【详解】由，得，即此为二阶常系数线性非齐次方程，且右端呈型(其中)，对应的齐次方程为，特征方程为，对应的特征值为，于是齐次方程的通解为：，因为，所以设特解为(为实数)，代入，所以，即，从而特解，非齐次方程的通解为，又，所以，又，所以，所以原方程的解为：以下计算积分，有两个方法：方法1：方法2：八【详解】(1)设曲线过点的切线方程为，令，则，即它在轴上的截距为，根据两点距离公式，所以原点到点的距离为，由题设到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在轴上的截距，所以：， ，即 ， 此为一阶齐次方程

10、，按规范方法解之，命，则，代入，方程变为：积分得 把代入上式，得.由题设曲线经过点，代入得，则，故所求方程为：，即(2) 由(1)知，则，点，所以在点处的切线方程为：，分别令，解得在轴，轴上的截距分别为和.此切线与两坐标轴围成的三角形面积为：由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记，于是题中所要求的面积为：求最值点时与无关，以下按微分学的办法求最值点.令得，当时，；当时，根据极值存在的第一充分条件：设函数在处连续，且在的某去心领域内可导，若时，而时，则在处取得极大值，知：是在处的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为：，即九【详解】方法1：半球形雪堆在时刻时设其半径为，则半

11、球体积，侧面积. 由题设体积融化的速率与半球面面积成正比，知：，由于是的函数，代入上式，得：，即，从而，.积分得，把代入，得，所以.又半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，即，其中表示时的. 以的公式代入上式，为将代入上式，两边约去，得：，即从而求得：，于是，当时，雪融化完.方法2：半球形雪堆在时刻时设其半径为，则半球体积，侧面积，联立，消去，得：由题设体积融化的速率与半球面面积成正比，知：，从而推知分离变量，积分：，把代入，所以，.又由，代入上式，得，故 .命，解得：，即雪堆全部融化需6小时.十【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理：设在上连续，则对之间的任何数，必存在()，使得

12、.【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中，把函数在零点展开.的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：，其中位于和为端点的开区间内，.(2)方法1：将从到积分 而 从而有 因在上连续，故有在上存在最大值，最小值(由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值)，即易得 因此 同理 因此 .由连续函数介值定理知，存在，使，即.方法2 ：观察要证的式子，做变限函数：，易得，(变限积分求导)则有 将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式： 其中，由于在上连续，则由连续函数介值定理，存在，使 (因为)于是有，存在，使把代入有：，即 即 十一【详解】题设的关系式即 其中， 因为 ，故由阶矩阵可逆的充要条件，知矩阵可逆，用初等行变换求：故而 于是，等式两边左、右乘 可得十二【详解】由题设知，均为的线性组合，齐次方程组当