(含详答)上海春考数学试卷

1、最新 料推荐2018 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1不等式 | x |1 的解集为 _2计算： lim 3n1_ n n 23设集合 A x | 0x 2 ， B x | 1x 1 ，则 AB_ 4若复数 z1 i （ i 是虚数单位），则 z2_ z5已知 an 是等差数列，若 a2a8 10 ，则 a3 a5 a7_ 6已知平面上动点P 到两个定点(1,0) 和 (1,0) 的距离之和等于4，则动点 P 的轨迹为_7如图，在长方形ABC D A B C D中，AB 3，

2、BC 4， AA5 ，O是 AC的1 1 1 111 1中点，则三棱锥A AOB1 1 的体积为 _第 12 题图8某校组队参加辩论赛，从6 名学生中选出4 人分别担任一、二、三、四辩若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_999设 aR ，若22与a的二项展开式中的常数项相等， 则 a _ xxxx210设 mR，若 z是关于 x 的方程 x2mxm210 的一个虚根，则| z |的取值范围是 _ 11设 a0，函数 f ( x)x2(1x)sin( ax) ， x(0,1) ，若函数 y2x1与 yf (x)1最新 料推荐的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是

3、 _ 12如图，正方形ABCD 的边长为20 米，圆 O 的半径为1 米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段 PQ 与圆 O 有公共点， 则称点 Q 在点 P 的 “盲区 ”中已知点 P 以 1 5 米/秒的速度从A出发向 D 移动，同时，点Q 以 1 米 /秒的速度从 C 出发向 B 移动，则在点P 从 A 移动到 D 的过程中，点Q 在点 P 的盲区中的时长约为 _ 秒（精确到0 1）二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题 5 分）13下列函数中，为偶函数的是（）（ A ） y x 21（B ） y x3（ ） y1（）3x 2DyxC14如图，

4、在直三棱柱ABCA1B1C1 的棱所在的直线中，与直线 BC1异面的直线条数为（）（ A ） 1（B ） 2（ C） 3（D ） 415Sn为数列 an的前 n an Sn为递增数列 ”的（）记项和 “是递增数列 ”是 “（ A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（ C）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16已知 A 、B 为平面上的两个定点，且 | AB | 2该平面上的动线段PQ 的端点 P 、Q ，满足 | AP |5，AP AB6 ，AQ2 AP ，则动线段 PQ 所形成图形的面积为 （）（ A ） 36（ B） 60（ C） 81（ D） 108三、解答题（本大题共有 5 题，

5、满分 76 分，第 1719 题每题 14 分，20 题 16 分，21 题 18 分）17（本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）已知 ycosx 2最新 料推荐（ 1）若 f ( )1 ，且0, ，求 f () 的值；33（ 2）求函数 yf (2 x)2 f ( x) 的最小值18 （本题满分 14 分，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分）2已知 a R ，双曲线: x2y21a（ 1）若点(2,1) 在上，求的焦点坐标；（ 2）若 a1 ，直线 ykx1 与相交于 A 、 B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为1，求实数 k 的值19（本题满分1

6、4 分，第 1 小题满分7 分，第 2 小题满分7 分）利用 “平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理， 某快餐店用两个射灯 （射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1 所示，图 2 是投影出的抛物线的平面图， 图 3 是一个射灯的直观图，在图 2 与图 3 中，点 O 、A 、B 在抛物线上， OC是抛物线的对称轴，OCAB 于 C ， AB3米， OC4.5米（ 1）求抛物线的焦点到准线的距离；（ 2）在图 3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线SD ， AB 、 DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0 01）图 1图 2图 320（本题

7、满分 16 分，第 1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6分）设 a10 ，函数 f ( x)1 a 2x3最新 料推荐（ 1）若 a1 ，求 f ( x) 的反函数f 1 ( x) ；（ 2）求函数yf ( x)f (x) 的最大值（用a 表示）；（ 3）设 g(x)f (x)f (x1)若对任意 x(,0 ， g ( x)g (0) 恒成立，求 a 的取值范围21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分）若 cn 是递增数列， 数列 an 满足：对任意 n N * ，存在 mN * ，使得 amcn0 ，a

8、mcn 1则称 an 是 cn 的 “分隔数列 ”（ 1）设 cn2n， an n 1，证明：数列 an 是 cn 的 “分隔数列 ”；（ 2）设 cnn4 ，Sn 是 cn 的前 n 项和， dn c3 n 1 ，判断数列 Sn 是否是数列 dn 的分隔数列，并说明理由；（ 3）设 cnaq n 1 ，Tn 是 cn 的前 n 项和，若数列 Tn 是 cn 的分隔数列， 求实数 a 、q 的取值范围4最新 料推荐参考答案一、填空题1 (,1)(1,)2 33 (0,1)4 25 156 x2y217 58 1809 410 (3 ,)43311 (11, 19661提示： 2x1x2(1x)

9、sin( ax)x12(1 x)sin( ax) sin( ax)27 , 11 , 72 ,112 , 74 , 11ax4 ,6666660axa11a726612 4.4提示：以 A为原点建立坐标系，设时刻为t ，则 P(0,1.5t ), Q(20,20t ),040t则 lPQ : x0y1.5t3，化简得 (8t) x8y12t020020t1.5t点 O(10,10) 到直线 PQ 的距离 | (8t ) 108012t |1，化简得 3t216t1280(8 t) 283即 837t8 8 7 ，则 0 t8 8 7t8 8 74.4333二、选择题13 A14 C15 D16

10、 B提示：建系A(0,0), B(2,0) ，则 P( x, y) 的轨迹为线段x3, 4y4 ， AP 扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ 扫过的面积为48，因此和为60三、解答题122；（ 2）317（ 1）625最新 料推荐18（ 1） (3,0) ；（2）51 2119（ 1）；（ 2） 9.59 20（ 1） f1 ( x) log 21 x (0 x 1) ；（ 2） ymax1（ x0 时取最值）；x1 2aa2（3） (0,211a提示： g (x)x1 a 2x 12x21 a 2a23a2xa,(t 2x(0,1)a2 t23at因为 -a0，所以当 x=0,

11、t=1 时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，2221 0a2此时 a tta2t21（ 1）证明：存在m2n ,此时nN* ,cn 2n am 2n 1 cn（2）不是反例：n4 时， m 无解；a0（3）q2提示：因为 aqn 1 为递增数列，因此a0或者a0q10q 1当a0时，nN * , cn0 ，因此T3T2T1c1c20q1因此不存在 c2Tmc3 ，不合题意。a0mTmcn 1qn 1q 1qn当q时， cn1q1qn 1(q 1) 1 qmn( q 1) 1qn 11mn(qq( q 1)qn 1 qq两边同时取对数得：n1 log q ( q1)1n1 mnlog q( q1)q12n2证毕c311) qn 1qn 6最新 料推荐记 f (x)log q ( q 1)1x , x0q则 n 1 f (n 1) m n f ( n)下面分析函数f (n 1), f (n) 的取值范围：显然 q1时， f ( x)log q( q1)10 为减函数，qx , x因此 f ()f (x)f (0)，即 logq (q1)f ( x) 1( )当 q2时， log q ( q 1)0 ，因此总有 0f ( n)f ( n1)1n1f (n1)n11此时n f ( n) n+0