数列的综合问题

1、最新 料推荐10数列的综合问题突破点 (一 ) 数列求和1公式法与分 化法：(1)公式法； (2)分 化法； 2倒序相加法与并 求和法：(1)倒序相加法；(2) 并 求和法： 在一个数列的前n 和中，可两两 合求解， 称之 并 求和形如an ( 1)nf (n)类型，可采用两 合并求解例如，Sn 1002 992 982 972 22 12 (1002 992) (982 972)(2 2 12) (100 99) (98 97) (2 1) 5 050.3裂 相消法：(1)把数列的通 拆成两 之差，在求和 中 的一些 可以相互抵消，从而求得其和(2) 常 的裂 技巧： 111.1 nn n

2、1n1n n 21 1111111n2.2n2n1. n 1 n.4 位相减法2n2n1121nn 12n分 化法求和例 1已知数列 an， bn 足 a1 5， an 2an1 3n1(n 2， n N* )， bn an 3n(n N* )(1) 求数列 bn的通 公式； (2)求数列 an的前 n 和 Sn.解 (1) an 2an 1 3n 1(n N* ， n 2)， an 3n 2(an 1 3n 1)， bn 2bn 1(n N* ， n 2) b1 a1 3 2 0， bn 0(n 2)， bn 2，bn 1 bn是以 2 首 ，2 公比的等比数列n1nbn 22 2 .n1n

3、nn2n2nn 1 37(2) 由 (1) 知 an bn 3 2 3 ， Sn (22 2 )(3 3 3 ) 2 .22方法技巧 分 化法求和的常 型(1)若 an bn cn，且 bn， cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前 n 项和bn， n为奇数，(2)通项公式为 an的数列，其中数列 bn ，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和cn， n为偶数 位相减法求和例 2 (2016 山 高考 )已知数列 an的前 n 和 Sn 3n2 8n， bn是等差数列，且an bnbn 1.an 1 n 1(1) 求数列 bn的通 公式； (2)令 cn bn 2 n ，求数

4、列 cn 的前 n 和 T n.解 (1) 由 意知，当n 2 ， an Sn Sn 1 6n 5，当 n 1 ， a1 S1 11， 足上式，a1 b1 b2 ，112b1 d，所以 an 6n 5. 数列 bn的公差 d.由即所以 bn 3n 1.a2 b2 b3，17 2b1 3d，6n 6 n 1n1，又 T n c1 c2 cn，(2) 由 (1) 知 cn3n 3(n 1)23n得 T n 3 2 22 323 (n 1) 2n1 ， 2Tn 3 2 23 324 (n 1) 2n 2，两式作差，得T n 3 2 22 23 24 2n 1 (n 1) 2n 2 3n2n 2，所以

5、 T n 3n2n 2.方法技巧 位相减法求和的策略1最新 料推荐(1)如果数列 an是等差数列，bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解 (2)在写 “S ”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐 ”以便下一步准确写出 “ qS ”的表达式 (3)在应用错位相减法求nqSn1 和不等于1 两种情况求解Snn和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于裂 相消法求和n1 2，数列 bn是首 a1，公差 d(d 0)的等差数列， 且 b1，例 3 数列 an的前 n 和 Sn 2b3 ， b9 成等比数列(1) 求

6、数列 an与 bn的通 公式；(2)若 cn2(n N * )，求数列 cn的前 n 和 Tn.n 1 bn解 (1) 当 n 2 ， an Sn Sn 1 2n 1 2n 2n，又 a1 S1 21 1 2 2 21，也 足上式，所以数列 an的通 公式 an 2n.则 b1 a1 2.由 b1， b3， b9 成等比数列，得 (2 2d)2 2 (2 8d)，解得 d 0(舍去 )或 d 2，所以数列 bn的通 公式 bn 2n.2111111(2) 由 (1) 得 cn nn1，所以数列 cn的前 n 和 T n n 1 bn n n 11 2 23 3 41 11 1 1 1 1 1

7、1 n.2 23n1n1nnn 1n1突破点 (二 )数列的 合 用 1.等差、等比数列相 合的 是高考考 的重点，主要有：1 合考 等差数列与等比数列的定 、通 公式、 前 n 和公式、 等差 比 中 、 等差 比 数列的性 ； 2 重点考 基本量即 “ 知三求二 ” ，解方程 组 的 算以及灵活运用等差、等比数列的性 解决 .2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交 命 的自然性，是高考命 的易考点，主要考 方式有： 1以数列 体， 考 函数解析式的求法，或者利用函数解析式 出数列的 推关系来求数列的通 公式或前 n 和； 2 根据数列是一种特殊的函数 一特点命 ，考 利用函数的性 来

8、研究数列的 性、最 等 .3.数列与不等式的 合 是高考考 的 点.考 方式主要有三种：1 判断数列 中的一些不等关系，如比 数列中的 的大小关系等. 2 以数列 体，考 不等式的恒成立 ，求不等式中的参数的取 范 等 . 3 考 与数列 有关的不等式的 明 .等差数列与等比数列的 合 例 1在等差数列 an中， a10 30， a20 50.(1) 求数列 an的通 公式； (2)令 bn 2an 10， 明：数列 bn 等比数列； (3) 求数列 nbn的前 n 和 T n.解 a19d 30，(1) 数列 an的公差 d， an a1 (n 1)d，由 a10 30，a20 50，得方程

9、 19d 50，a1解得a1 12，10 22n 4n，所以 an 12 (n 1) 2 2n 10.(2) 明：由 (1)，得 bn 2an 10 22n10d 2.n 1所以bn 1 4的等比数列n 4.所以 bn是首 4，公比 4bn4(3) 由 nbn n 4n，得 T n 1 4 2 42 n 4n， 4T n 1 42 (n 1) 4n n 4n 1，nn 1，得2nn 14 1 4 n 4n 13n 1 4 4.3T n 4 4 4 n 4 3.所以 Tn9方法技巧 等差数列、等比数列 合 的两大解 策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如

10、求和需要先求出通项、求通项需要2最新 料推荐先求出首项和公差(公比 )等，确定解题的顺序(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的数列与函数的 合 例 2 等差数列 an的公差 d，点 (an， bn)在函数 f(x) 2x 的 象上 (n N* )(1) 明：数列 bn 等比数列； (2)若 a1 1，函数 f(x)的 象在点 (a2， b2) 的切 在 x 上的截距 21 ，求数列 anbn2的前 n 和 Sn.ln 2anbn 1an

11、 1and解 (1) 明 ：由已知， bn 2 0.当 n 1 ，2 2 .bn所以数列 bn是首 2a1，公比 2d 的等比数列x1(2) 函数 f(x) 2 在 (a2， b2 ) 的切 方程 y 2a2 (2a2ln 2)( x a2 )，它在 x 上的截距 a2 ln 2.由 意， a2 1 21 ，解得 a2 2.所以 da2 a1 1，所以 an n， bn 2n， anbn2 n4n.ln 2ln 22 3 n 1 n 于是 Sn 1 4 2 4 3 4 (n 1) 4 n 4 ，n1 4n1 4n 12nn14n11 3n 43n 1 4 4因此， Sn 4Sn 4 4 4 n

12、4 n43.所以 Sn9.3方法技巧 数列与函数 的解 技巧(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决数列与不等式的 合 例 3(2016 州 量 郑)已知数列 an的前 n 和 Sn，且 Sn 2an 2.(1) 求数列 an的通 公式；(2)设 bn log2a1 log2

13、 a2 log2an，求使 (n 8)bn nk 任意 n N* 恒成立的 数k 的取 范 解 (1) 由 Sn 2an 2 可得 a1 2.因 Sn 2an 2，所以，当 n 2 ， an Sn Sn 1 2an 2an 1，即 an 2.所以 an 2n(n N* )an 1(2)由 (1) 知 an 2n， bn log2a1 log2a2 log2an 1 2 n n n 1.2要使 (n 8)b nk 任意 n N*恒成立，即n8 n 1 k 任意 n N * 恒成立n2110，所以 k 10.设 cn (n8)( n 1)， 当 n 3 或 4 ， cn 取得最小 ， 2即 数 k

14、 的取 范 ( ， 103最新 料推荐方法技巧 数列与不等式相 合 的 理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法， 如比较法、 综合法、分析法、 放缩法等 (2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了全国卷 5 年真题集中演练 1.(2012 新 全国卷 )数列 an 足 an 1 ( 1)nan 2n 1， an的前 60 和 ()A 3 690B 3 660C 1845D 1 830解析： 选 D不妨令 a1 1，根据 意，得a2 2，a3 a5 a7 1， a4 6， a6 10

15、， ，所以当 n 奇数 ， an 1，当 n 偶数 构成以a2 2 首 ， 以 4 公差的等差数列 所以前60 和 S60 30 2 30 30 30 1 4 1 830. 22 (2015 新 全国卷 )Sn 数列an 的前 n 和已知2an0， an 2an 4Sn 3.(1) 求 an的通 公式；(2) 设 bn1，求数列 bn的前 n 和anan 1解： (1) 由 a2n 2an 4Sn 3，可知 a2n 1 2an1 4Sn1 3. ，得 a2n 1 a2n 2(an 1 an) 4an 1，即 2(an 1 an) a2n 1 a2n (an1 an)(an1 an)由 an0，

16、得 an1 an 2. 又 a21 2a1 4a1 3，解得 a1 1(舍去 )或 a1 3.所以 an 2n 1.(2) 由 an 2n 1 可知 bn11111.则 T nn.nn22n 12n 3133a a2n1 2n3 2n3 (2014 全国卷新)已知数列 an 足 a1 1， an 1 3an 1.(1) 明 an 1是等比数列，并求an的通 公式；(2) 明：1 1 1 3.2a1a2a2n解： (1) 由 a 3a 1 得 a1 3an113，所以n 1是首 3，公比 3 的等比n 1nn 122 .又 a12 2a22nn1 n2数列所以an 1 3 ，即 an 3 1.(

17、2) 明：由 (1) 知.因 当 n 1 ， 3n 1 2 3n1，222an3 1所以112111 1 111313nn1，即n n 1.于是 n 11 n .31233 1312an33232a a4 (2013 新 全国卷 )已知等差数列 an的前 n 和 Sn 足 S3 0， S5 5.(1) 求 an的通 公式； (2) 求数列1的前 n 和aa2n 12n 1解： (1) 设 an的公差 d， Sn na1 n n 1d.由已知可得3a1 3d 0，解得 a1 1， d 1.25a1 10d 5，故 an的通 公式 an 2 n.(2) 由 (1) 知11 1(11) ，从而数列1

18、的前 n 和 n.2a2n1a2n 11a2n132n12n2n3 2n112na2n 高考能力一、 4最新 料推荐n 1321， n ()1 (2017 皖西七校 考 )在数列 an中， an 2 n ，若 an的前 n 和 Sn264A 3B 4C 5D 62n 113211解析： 选 D由 an2n 1 2n则 Sn 64 n1 2n ，将各 中的 代入 得n 6.2在数列 an中， a1 1， a2 2，an 2an 1 ( 1)n，那么 S100 的 ()A 2 500B 2 600C 2 700D 2 800解析： 选 B当 n 奇数 ， an 2 an 0，所以 an 1，当 n

19、 偶数 ， an2 an 2，所以 an n，故 a 1 n 奇数，于是 S50 2 100 50 2 600.nn n 偶数 ，10023已知数列 an的前 n 和 Sn，a1 1，当 n 2 ， an2Sn1 n， S2 017 的 ()A 2 017B2 016C 1 009D 1 007解析： 选 C因 an 2Sn 1 n，n2，所以 an 1 2Sn n 1，n 1，两式相减得 an 1 an 1，n 2.又 a1 1，所以 S2 017 a1 (a2 a3) (a2 016 a2 017) 1 009，故 C.4 Sn 是公差不 0 的等差数列 an的前 n 和，S1，S2，S4

20、成等比数列，且 a3 5， 数列12n 1 an2的前 n 和 Tn ()AnB.nC2nD.2n2n 12n 12n 12n 1解析： 选 C515 ，公差 d 0 不符合 意，舍去；当a11 ，公差 da1 或 a1.当 a12222 a3 a1 1，所以 an 1 (n 1) ( 1) n 1 1(2n 1)，故 C.2222二、填空 5已知数列 an 足 an1 1an an2，且 a1 1， 数列的前2 016 的和等于 _22解 析 ： 因 为 a1 1 ， 又 an 1 1 an an2 ， 所 以 a2 1 ， 从 而 a3 1 ， a4 1 ， 即 得 an 2221， n 2k 1 k N*，2 016 的和等于 S2 016