2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题

1、2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1（ ）。ABCD2100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。A25B15C5D33如图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB=10cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2。A10B12.5C20D254方程x2-2 006=2 007所有实数根的和等于（ ）。A2 006B4C0D-2 0065已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如图所示，则阴影

2、三角形的面积等于（ ）。A8B10C12D146是（ ）。AiBiC1D17一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ）。AcmBcmCcmDcm8P (a，b)是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如图所示，则的最大值与最小值依次是（ ）。A，B，C，D，9一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（

3、）升。A2.55B3C2.45D410如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于，那么光线与地平面所成的角度是（ ）。A15B30C45D6011某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别是48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比。A8B9C10D1212在平面上给定线段AB=2，在上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则动点C所有可能的位置必

4、定在某（ ）上。A抛物线B椭圆C双曲线D直线13桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）。ABCD14设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。A(1+n) B(1+n)nC(1+n)2nD(1+n)3n15设二次函数f (x)=ax2+bx+c的对称轴为x=1，其图像过点（2，0），则=（ ）。A3B2C-2D-316设f (x)0，且导数存在，（ ）。A0BClnf (a) D17（ ）。A2个极值点，3个拐点B2个极值点，2个拐点C2个极值点，1个拐点D3个极值

5、点，3个拐点18设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r。在正圆锥的体积最大时，=（ ）。ABCD19（ ）。A0B1C2D3 20如图所示，曲线P=表示某工厂十年间的产值变化情况。设是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）。A前两年越来越慢，后五年越来越快B前两年越来越快，后五年越来越慢C前两年越来越快，后五年越来越快D前两年越来越慢，后五年越来越慢21（ ）。AB1CD 22的第一行的行向量是（ ）。ABCD23（ ）。A-2B-1C2D324（ ）。ABCD25（ ）。ABCD2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1【答案】C【解析】原式=+=，故应选

6、C。2【答案】D【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有人，既有电脑又有手机的共有人。则由已知得：，解得：=3，=73。故正确答案为D。3【答案】B【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。因为AB/MN，则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离，又因为AB与小半圆相切，则这个距离为。得到。阴影部分面积=cm2。故应选B。4【答案】C【解析】方法一，直接求解。原方程等价于方程组由得：（舍去），=2 007；由得：=1（舍去），。实数根之和=2 007+（-2 007）=0，故应选C。方法二，函数为偶函数，则方程的根关于轴对称，且成对出现，故这些根的和为0 。5【答案】B【解析】

7、如图所示。根据图形对称性得：因为所以。在ABE中，=，即=解方程得：AE=3。阴影BED的面积ABED= AABD- AABE。故应选B。6【答案】A【解析】因为，所以。复数，故其共轭复数，应选A。7【答案】D【解析】设取出球后容器中水面的高度为，则水的体积。取出球前。因为取球前后水的体积不变，即，得：。故应选D。8【答案】A【解析】的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增大而增大。因此从右图中可以看出：当P点与A点重合时，OP斜率最大，即；当P点与C点重合时，OP斜率最小，即。故应选A。9【答案】B【解析】量杯中剩余的酒精量为1049%=10，整理得。解方各得或（舍

8、去），故应选B。10【答案】B【解析】过线段AB的中点O在木板半圆面内作OCAB交半圆于点C，则OC=。同理在椭圆面内作ODAB交椭圆于点D，连接CD。OD是椭圆的半长轴，长度设为，且D点是C点的投影点，则CD平行于光线，即ODC为光线与地平面所成的角。因为ABOC，ABOD，所以COD为两面夹角，又木板面垂直于地面，则COD=90。半圆面积为，半椭圆的面积为，因为，则。在RtCOD中，ODC=30，故应选B。11【答案】A【解析】当主动轴的齿数为48时，变速比为共4种。当主动轴的齿数为36时，变速比为，共4种。当主动轴的齿数为24时，变速比为，共4种。其中变速比相同的有四对，故变速比的种数为

9、4+4+4-4=8，应选A。12【答案】C【解析】因为A、B、C恰为三角形的3个顶点，所以。又线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则是一个正整数且它的值小于2，所以，=2，符合双曲线的定义，故动点C必在某双曲线上，即应选C。13【答案】C【解析】从桌上所有的书（共15本）中任取3本的方式有种，3本中每样各一本的取法共有种，则所求概率为。故应选C。14【答案】A【解析】设这个数组成的等比数列的公比为，数列记为，则。其中，故。这个数均为正数，则。所插入的n个正数之积即，又，所以。故应选A。15【答案】D【解析】因为二次函数的对称轴为，且图象过点（2，0）。所以得到即。又 则，故应选D。16【答案

10、】D【解析】因为且导数存在。另一种方法：令，由且导数存在知可导。=因为，所以，故应选D。17【答案】A【解析】当时，则，。当时，则，。因为和是初等函数，所以是原函数的极值点，是原函数的拐点。当时，原函数连续，且时，时。，故点不是原函数的极值点。又原函数的导函数在处连续，即，且时，。时，则知处是原函数的拐点。综上所述，曲线在（0，2）区间内有2个极值点，3个拐点。即应选A。18【答案】C【解析】正圆锥的母线长、高和底面圆半径满足勾股定理，即。因为25=，所以（当且仅当时等号成立）。圆锥体积，此时，故应选C。19【答案】B【解析】令。则。且，。因为和中的被积函数和上均大于0，且和的积分上限大于积分

11、下限0。所以又，即在上严格单调递增，所以方程在上只有一个根，故应选B。20【答案】A【解析】该厂产值的增长速度是曲线的斜率。因为，即图形下凹时，增大；，即图形上凸时，减小。观察图形的凸凹性得到答案A。21【答案】B【解析】是线性函数且过和（0，1）两点，故。=。因为函数是以2为周期的连续周期函数，且在一个周期内积分的值为三角形的面积。所以一个周期内积分为，区间1，7共包括3个周期，则。即，故应选B。22【答案】C【解析】，则，。由得：，即：。用的最后一行（1 0 0）与的乘积所得的结果（2 0 1）即为的第一行的行向量，故应选C。23【答案】D【解析】因为矩阵A是三阶矩阵且秩=1。所以方程组=0的解只有两个