2009年天津市高考数学试卷理科答案与解析

1、实用标准文档 2009年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 是虚数单位，=（ ） 2009（5分）（?天津）i1A1+2i B12i C12i D1+2i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可 解：，【解答】 故选D 【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题 满足约束条件：，则目标函数yz=2x+3y?天津）设变量x，（2（5分）2009的最小值为（ ） A6 B7 C8 D23 【考点】简单线性规划的应用 【专题】不等式的解法及应用 【分析】本题考查

2、的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值 解：画出不等式表示的可行域，如图，【解答】 让目标函数表示直线在可行域上平移， 知在点B自目标函数取到最小值， 解方程组得（2，1）， =4+3=7所以z，min B故选 文案大全实用标准文档 找出约束条件和目标函数是分析题目的已知条件，【点评】用图解法解决线性规划问题时，关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约即可最后比较，束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入， 得到目标函数的最优解 22x，R ）”的否定是（ 1

3、020093（5分）（?天津）命题“存在x0222x，2xRR0 0 B存在xA不存在x110000220 1xD对任意的R，2xC对任意的xR，2x10 【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑 【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆20 1【解答】解：结论的否定形式为：2x 原命题的否定为：D 故选D 【点评】本题考查了命题的否定，注意它与否命题的区别 ）x）（ y=flnx（x0），则（天津）设函数4（5分）（2009?f（x）=x e）内均有零点，（lA，在区间（，1） ）内均无零点e（lB，在区间（，1）， ）内有零点l，Ce在区间（，1）内无零点，在区间（ ）内无零点，e在

4、区间（，1）内有零点，在区间（lD 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【考点】 导数的概念及应用【专题】）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答（x先对函数【分析】f 案 ；x30，令f（x）得【解答】解：由题得 ，=0得x=3x；0x3f（）得）（f令x0 ）为增函数，+330xf故知函数（）在区间（，）上为减函数，在区间（， 文案大全实用标准文档 ，；又ln30x=3在点处有极小值1 故选C 【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减 5（5分）（2009?天津）阅读程序框图，则输

5、出的S=（ ） A26 B35 C40 D57 【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+14的值 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+14的值 S=2+5+8+14=40 故选C 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数

6、据进行分析管理）?建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 ba 的最小值为与是330b0a?（56（分）2009天津）设，若的等比中项，则 （ ） 文案大全实用标准文档 D 4 C1 A8 B【考点】基本不等式；等比数列的性质 【专题】不等式的解法及应用 2+中，将其变为由题设条件中的等比关系得出a+b=1，利用基本，代入【分析】 不等式就可得出其最小值ba 3?3=3，所以a+b=1，【解答】解：因为 ， 即时“=”当且仅当成立，故选择B 【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力 天津）已知函数的最小正（2009?7（5分）周期为

7、，为了得到函数g（x）=cosx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ） 向右平移个单位长度BA 向左平移个单位长度 向右平移C向左平移个单位长度D 个单位长度 【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质 由周期函数的周期计算公式：，算得=2接下来将f（【分析】x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可 【解答】解：由题知=2， 所以 ， 故选择A 【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题 2，则实数a）fa）（5分）（2009?天津）已知函数若f（28（a的取值范围是（ ） A（，1）（2，+） B（1，2） C（

8、2，1） D（，2）（1， +） 函数单调性的性质；其他不等式的解法【考点】 函数的性质及应用【专题】 文案大全实用标准文档 【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式 解：【解答】 2由f（x）的解析式可知，f（x）在（，+）上是单调递增函数，在由f（2a）f（a），2得2aa 2 即a+a20，解得2a1 故选C 【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关 2 ，0（的焦点为F，过点M）的直线与抛物线相（95分）（2009?天津）设抛物线y=2x 的面积之比ACFBCF，则与交于A、B两点，与抛物线的准线

9、相交于点C，|BF|=2=（ ） D B CA【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程 =，根据抛物线【分析】，进而根据两三角形相似，推断出根据= 的定义求得 代B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=，根据|BF|的值求得入，即可求得A的坐标，进而求得 的值，则三角形的面积之比可得 的垂线，垂足分别为A，B， 解：如图过【解答】B作准线l：x=11 =， 又BBCAAC、 11 =， =由拋物线定义= ，=y=知|=2由|BF|=|BBx， BB1 文案大全实用标准文档 ）0=（xAB：y x=代入上式，求得y=2，x把=2，

10、 AA |= |AF|=|AA1 = 故=故选A 【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力 22的解集中的整ax）xb）（，若关于（2009?天津）0b1+ax的不等式（10（5分） ）数恰有3个，则（ 3 2aC1 1a3 D0 A1aB0a 其他不等式的解法【考点】 不等式的解法及应用【专题】22个，那么此不等式）ax的解集中的整数恰有3的不等式（xb）（x【分析】要使关于 的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，22 （ax）解：由题得不等式（xb）【解答】222 0，它的解应在两根之间，+2bxb1即（a）x2 1，从而

11、b1+aa 因此应有a10，解得a1或a1，注意到022222 0，=4aa（1）b+4b故有=4b （舍去）或不等式的解集为 不等式的解集为， 文案大全 实用标准文档 得b1+a，又由0 0 1，故，这三个整数解必为，2， ），a11）b3 （2（a 1+ab注意到a1，并结合已知条件0 即可，则a31），即2（故要满足题设条件，只需要2a1）1+a3（a2 b2a3 b3a1+a b0又2 2a故 1+a0 33a 3，综上2a解得1a3 D故选：二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含【点评】本小题考查解一元二次不等式解法， 有两个变量的题目是难题 24分）6小题，每小题4分，满分二、填

12、空题（共名学生，为了调查这些学1200三个专业共有B，C分）（2009?天津）某学院的A，11（4A的样本已知该学院的生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 名学生40 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取380专业有名学生，B 分层抽样方法【考点】 概率与统计【专题】专业的人数，根据总体个数和两个专业的人数，得到CB【分析】根据全校的人数和A，专业的人数乘以每个个体被抽到的要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C 概率，得到结果 ，380420=400【解答】解：C专业的学生有1200 名由分层抽样原理，应抽取40 故答案为：本题考查分层抽样，分层抽样过程

13、中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，【点评】 样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一 分）4（2009?天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=（12 【考点】由三视图求面积、体积 【专题】立体几何 【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可 文案大全 实用标准文档 ，3，底面是底边长为2【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为 的等腰三角形，底边上的高为a 所以有 故答案为：基础题本试题考查了简单几何体的三视图的本小题考查三视图、三棱柱的体积，【点评】 运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力 （t为参数），直线l的方程为y=3x+4（4

14、分）（2009?天津）设直线l的参数方程为1321 与l的距离为 则l21 【考点】直线的参数方程；两条平行直线间的距离 【专题】坐标系和参数方程 【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可 【解答】解析：由题直线l的普通方程为3xy2=0， 1 的距离为 故它与l2 故答案为【点评】本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，属于基础题 2222 ，0）的公共弦的长为a=4+y与圆x+y+2ay6=0（?414（分）（2009天津）若圆x 1则a= 圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【考点】 【专题】直线与圆 【分析】画出草图，不难得到半

15、径、半弦长的关系，求解即可22 ，圆心（0，a）解：由已知【解答】x+y+2ay6=0，的半径为 |a+| ay=1大圆的弦心距为：公共弦所在的直线方程为， 由图可知，解之得a=1 1故答案为： 文案大全 实用标准文档 【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题 ，1，ABCD1中，）=（15（4分）2009?天津）在四边形 的面积是 则四边形ABCD 【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【专题】平面向量及应用 等于边长的BD倍，是菱形，其边长为，且对角线【分析】根据题意知四边形ABCD ，最终可得四边和再由向量数量积运算的应用可得 的面积形ABCD ，可知平行四边形ABCD解：由题的角平分

16、线【解答】BD 等于边长的倍，BD是菱形，其边长为 平分ABC，四边形ABCD，且对角线 =cos所以，BAD= 2 =故sinBAD=，S=）（ ABCD 故答案为： 【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题 16（4分）（2009?天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 324 个（用数字作答） 【考点】排列、组合的实际应用 【专题】排列组合 【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果 【解答】解：由题意知本题需要分

17、类来解： +=90种；当个位、十位和百位上的数字为3 个偶数的有： 个奇数的有：2个偶数种， 当个位、十位和百位上的数字为1+=234根据分类计数原理得到 共有90+234=324个 故答案为：324 【点评】本小题考查排列实际问题基础题数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏 三、解答题（共6小题，满分76分） AC=，sinC=2sinA 中，?分）（2009天津）已知：ABCBC=11217（1）求AB的值 ）求的值2（ 文案大全实用标准文档 【考点】正弦定理的应用 【专题】解三角形 【分析】（

18、1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案 （2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到ABC是Rt且ABC=90，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案 【解答】解：（1）在ABC中，sinC=2sinA 由正弦定理得AB=2BC 又BC=1 AB=2 222 ABC=90ABC是Rt且在ABC中，AB=2，BC=1，AB+BC=AC）（2 ， = = =【点评】本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用属基础题 18（12分）（2009?天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件

19、，求： （I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率 【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计 【分析】（）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取33件的结果为C，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果10k3k数为CC，写出概率，分布列和期望 73（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到

20、结果 【解答】解：（）由题意知本题是一个古典概型， 3 C，3由于从10件产品中任取件的结果为10kk3 ，件一等品的结果数为kCC从10件产品中任取3件，其中恰有73 ，1k=0=，（其中恰有10那么从件产品中任取3件，k件一等品的概率为PX=k） 2，3 X随机变量的分布列是 0 x 1 2 3 文案大全实用标准文档 p XEX=的数学期望 ，”为事件A（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数 A件三等品”为事件“恰好取出1件一等品和21 ，为事件A2“恰好取出件一等品“2 彼此互斥，A3件一等品”为事件A由于事件A，A”恰好取出3231 而，且A=AAA312 ，=（A3）=

21、P（）P（A）=P（X=2=X=3），P2 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为取出的3 =（A）=+PP（A）=P（A）（A）+P312这种类型是近几年高考题中经常出现的，【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望， 考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目 ，ADBCFEABCDEF12分）（2009?天津）如图，在五面体中，FA平面ABCD，19（ ，的中点，AF=AB=BC=FE=AD，ABADM为EC 所成的角的大小；BF与DE（1）求异面直线 ；平面CDE（2）证明平面AMD E的余弦值（3）求二面角ACD 与二面角有关的立体几何综合题异面直线及其所

22、成的角；平面与平面垂直的判定；【考点】 【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何所成的角，DE平移到CE，则CED（或其补角）为异面直线BF与BF【分析】（1）先将 中求出此角即可；在三角形CED，根据线面垂直的判定定理可知只平面CDE，即证CE平面AMD）欲证平面（2AMD ；MPCECE需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM，的平面角，在直EEQPQ，易证EQP为二面角ACDCD3（）设Q为的中点，连接 中求出此角即可角三角形EQP 1（）解：由题设知，BFCE，【解答】 所成的角BF与DECED所以（或其补角）为异面直线 EPP设为AD的中点，连接，PC ，同理EP，所以

23、AP因为FEFAABPC= 文案大全实用标准文档 又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD 而PC，AD都在平面ABCD内， 故EPPC，EPAD由ABAD，可得PCAD设FA=a， CD=DE=EC=，故CED=60， 则EP=PC=PD=a所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 （2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点， 所以DMCE连接MP，则MPCE又MPDM=M， 故CE平面AMD而CE?平面CDE， 所以平面AMD平面CDE （3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ 因为CE=DE，所以EQCD因为PC=PD， 所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角 可得， 【点评

24、】本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力 22x RR），其中a=（x+ax2a+3a）e（x）20（12分）（2009?天津）已知函数f（x ）处的切线方程；1，f（1（）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（ x）的单调区间和极值（）当时，求函数f（【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】导数的综合应用 【分析】（）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f（x），因为曲线的切点为（1，f（1），所以把x=1代入到f（

25、x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可； （）令f（x）=0求出x的值为x=2a和x=a2，分两种情况讨论：当2aa2时和当2aa2时，讨论f（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值 2x2x =3e，）e，故f（1）（x）=xe，f（x）=（x+2xf【解答】（）解：当a=0时， ，f（1）=ef所以曲线y=f（x）在点（1，（1）处的切线的斜率为3e ，（x1）所以该切线方程为ye=3e 3exy2e=0整理得：x22 2a+4aef（x）=x+（a+2）x（）解： 22由a2a知，x=ax令f（

26、）=0，解得x=2a，或 以下分两种情况讨论 ）a2当x变化时，f（x，f（x）的变化情况如下表：若a，则2ax a（，2） 2a 22a（，a）2 a 2，+）（a f（x）+ 0 0 + ）（Fx 极大值 极小值 （），）在（所以fx2a，a2a，2a+，）内是增函数，在（）内是减函数2 文案大全实用标准文档 2a 2a）=3ae（2a），且f（函数f（x）在x=2a处取得极大值f2a ）e）=（43af（a2），且f（a2x函数f（）在x=a2处取得极小值 （x）的变化情况如下表：（x），f，则2aa2，当x变化时，f若ax （，a2）2 a （a2，2a） 2a ）（2a，+ f（x）

27、+ 0 0 + x） F（ 极大值 极小值 ）内是减函数2，2a）内是增函数，在（），（2a，+af所以（x）在（，a22a ，（）=43a）e处取得极大值x=a2f（a2），且f（a2函数f（x）在2a ，且f（2a）=3ae函数f（x）在x=2a处取得极小值f（2a）会利用导数研究函数的单调【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率， 性以及根据函数的增减性得到函数的极值灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题 ）F（c，0?21（14分）（2009天津）以知椭圆的两个焦点分别为1 和F（c，0）（c0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且FAFB，221|FA|=2|FB|

28、21（1）求椭圆的离心率； （2）求直线AB的斜率； （3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线FB上有一点H（m，n）（m0）在AFC12 的外接圆上，求的值 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】（1）由FAFB且|FA|=2|FB|，得，从而，由此2211可以求出椭圆的离心率 222，设，设直线AB的方程为）由题意知椭圆的方程可写为（22x+3y=6c x，y），By（Ax，），（2121 222222再）（整理，则它们的坐标满足方程组得2+3kx6ccx+27k18kc=0 由根的判别式和根与系数的关系求解 文案大全实用

29、标准文档 ，线段AF时，得（III的垂直平）解法一：当1 是与xAF分线l轴的交点的方程为C外接圆直线l1 由此可以推导出的值的圆心，因此外接圆的方程为 解法二：由椭圆的对称性可知B，F，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AFCH为12 等腰梯形由此入手可以推导出的值 【解答】（1）解：由FAFB且|FA|=2|FB|， 2121 ，从而 得 22 ，故离心率整理，得a=3c2222（2）解：由（I）得b=ac=2c， 222所以椭圆的方程可写为2x+3y=6c 的方程为，即y=k（xAB设直线3c） 由已知设A（x，y），B（x，y）， 2211 则它们的坐标满足方程组 222222消去y

30、整理，得（2+3k）x18kcx+27kc6c=0 依题意， 而 由题设知，点B为线段AE的中点，所以x+3c=2x 21 ，解得 联立 中，解得代入 x将x，21 ）解法一：由（IIIII）可知 ，由已知得时，得当 文案大全实用标准文档 轴的交点x直线l与线段AF的垂直平分线l的方程为1 C外接圆的圆心，是AF1 因此外接圆的方程为 的方程为，直线FB2 ）的坐标满足方程组，n 于是点H（m 故0 ，解得由m 时，同理可得当 ）可知II 解法二：由（ 时，得当，由已知得 由椭圆的对称性可知B，F，C三点共线， 2因为点H（m，n）在AFC的外接圆上， 1且FAFB，所以四边形AFCH为等腰梯形 112 的方程为，B 由直线F2 的坐标为知点H ，或 因为|AH|=|CF|（舍），所以，解得m=c1 时同理可得则当，所以【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆性质的综合应用，难度较大，解题要注意公式的正确选取和灵活运用，避免不必要的性质 22（14分）（2009?天津）已知等差数列a的公差为d（d0），等比数列b的公比为qnnn1anbn+（q1）设s=ab+ab+ab，T=abab+（1），nN， 212n2n