机械振动原理

1、第5章 机械振动,振动分类,非线性振动,线性振动,受迫振动,自由振动,本章介绍人们易感知的机械振动。,广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,如：物体在摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。,5.1简谐振动的描述,5.2 简谐振动的合成,5.3 阻尼振动 受迫振动,5.4 非线性振动简介,本章内容：,第5章 机械振动,一、简谐振动,弹簧振子：弹簧 物体系统,平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置,轻弹簧质量忽略不计,物体可看作质点,5.1 简谐振动的描述,1. 受力特点,2. 动力学方程,动力学方程,其中 为 固有频率,其通

2、解为：,3.简谐振动的运动学方程,简谐振动的微分方程,振动方程,速度方程,加速度方程,2、平衡位置是指合外力为零的位置。,1、物体发生振动的条件：物体受到始终指向平衡位置 的回复力；物体具有惯性。,说明：,3、判断物体是否作简谐振动的依据:,（1）物体所受的合外力与位移正比但反向； （2）满足位移与时间有余弦（或正弦）关系。,4、简谐振动位移、速度、加速度都随时间t做周期性变化。,5、任何振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。,二、简谐振动的参量,振幅 A:,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,频率：,角频率 :,周期T ：,物体完成一次全振动所需时间。,单位时间内振

3、动的次数。,弹簧振子：,单摆：,固有周期、固有频率、固有角频率,附：单摆角频率及周期的推导：,结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。,摆球对 C 点的力矩,转动定律：,令,则,比较弹簧振子与单摆的共同特征：,力或力矩的大小与质点的位置坐标或角坐标成正比并反向。,月有阴晴圆缺，,月相变化图,人有悲欢离合，,此事古难全。,相位：,(1) ( t + ) 是 t 时刻的相位,(2) 是 t =0 时刻的相位 初相,但愿人长久，,千里共婵娟。,相位的意义:,相位确定了振动的状态,相位每改变 2 振动重复一次,相位在 2 范围内变化,状态不重复.,相位差 ,同相和反相(同频率振动),当 = 2k 两振动

4、步调相同,称同相。,当 = (2k+1) 两振动步调相反 , 称反相。,同相,反相,超前和落后,若 = 2- 1 0 , 则 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。,由初始条件求振幅和初相位,相位差 小结：,1.当=2k ,k =0,1,2,两振动步调相同,称同相,2.当 = (2k+1) , k = 0,1,2. 两振动步调相反,称反相.,2 超前于1 或 1滞后于 2,相位差反映了两个振动不同程度的参差错落。,3.,底面积为S的长方体木块m浮于水面，水面下a，用手按下x 后释放，证明木块运动为谐振动，并计算其振动周期。,任意位置x处，合力,例,证明：,木块平衡时,此合力

5、为回复力：,例,已知A=0.12m，T=2s，,一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t = 0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。,求,(1)初相；(2) t = 0.5s时，物体的位置、速度和加速度； (3)在x = - 0.06m处，且向x轴负方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。,解,（1）设其运动方程为,则速度和加速度分别为,当t=0时，,（2）当t = 0.5s时,（3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物体在0.06m，且向x轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡位置对应的时刻为t2，则,如图 m = 210-2 kg ,弹簧的静止形变

6、为 l = 9.8cm；t = 0时，x0= 9.8cm， v0= 0, 确定平衡位置： mg=k l 取为原点 令向下有位移 x, 则回复力,例,求,（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；,（2）若取 x0=0，v0 0为计时零点,写出振动方 程，并计算振动频率。,解,该振动为简谐振动，则,由初始条件得,由x0=0.098m知,振动方程为：,(2)按题意,t = 0 时 x0 = 0，v0 0,对同一谐振动计时起点不同,不同，但、A不变,固有频率,(1)试证明物体m的运动是谐振动； (2)求此振动系统的振动周期； (3)写出振动方程。,轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质

7、量为m的物体。弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为J，半径为R。若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。,(1)若物体m离开初始位置的距离为b时受力平衡，则此时有,以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在坐标x处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有,例,求,解,联立式解得,所以，此振动系统的运动是谐振动.,即,(2)由上面的表达式知，此振动系统的角频率,故振动周期为,振动系统的振动方程为,(3)依题意知t0时， ，可求出,三、简谐振动的旋转矢量表示法,在y轴上的投影描述电振动。,在x轴上投影描述机械振动；,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,谐振动的位移、速度、加速度之

8、间的相位关系,由图可见：,o,超前,超前,例,由图可知,求,一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t = 0时，位移为 0.06m，且向 x 轴正方向运动。,（2）在x = - 0.06m处，且向 x 轴负向方向运动时，物体从 这一位置回到平衡位置所需的最短时间,（1）初相；,(1) 根据题义作图如下,解,(2)所转角度MON,例,如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm的两点E和F，历时2s，并且在E，F两点处具有相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过F点。,解,质点运动的周期和振幅。,求,由题意可知，EF的中点为平衡位置，周期为,T =

9、42 = 8 (s),设平衡位置为坐标原点，则,设 t = 0 时，质点位于平衡位置，且向 x 轴正方向运动，则由旋转矢量可知：,t = 1 时, 质点位于F点, 所以,已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示.,例,求,振动方程。,解,用旋转矢量法辅助求解:,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,以弹簧振子为例,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,四、简谐振动的能量,机械能,（简谐振动系统机械能守恒）,一个与时间有关的物理量F(t)在时间间隔T 内的平均值,定义为：,则：,谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。,由起始能量求振幅,动能,势能,情况同动能,机械能,简谐振动系统

10、机械能守恒,（1）E1/4；,（2）E1/2；,（3）2E1；,（4）4E1。,一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为,课堂练习：,一、同频率同方向简谐振动的合成,分振动 :,合振动 :,结论：合振动 x 仍是简谐振动,5.2 简谐振动的合成,合振动是简谐振动,其频率仍为,合振动 ：,旋转矢量法处理谐振动的合成,若 A1=A2 , 则 A=0,讨论：,若两分振动同相：,若两分振动反相:,合振动加强,合振动减弱,（1）0 ；,（2）4cm；,（4）8 cm。,两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为,则其合振动的振幅为谐

11、振动,振幅为：,课堂练习：,（3） ；,二、同方向不同频率谐振动的合成,1. 分振动 :,2. 合振动 :,当 时,当 时，,合振动振幅的频率为:,A 有最大值,A有最小值,结论：,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,拍: 合振动忽强忽弱的现象,拍频: 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|,3. 拍的现象：,2.当 时：,消去参数 t 得轨迹方程,分振动,三、同频率互相垂直的简谐振动的合成,讨论：,1.当 时：,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,3.当 时：,4.当 时：,质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,相互垂直、频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律:,(1)一般情况下轨迹为椭圆; (2)

12、 时,退化为直线; (3) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化 为圆. (4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5) 时,椭圆顺时针方向转; 椭圆逆时针方向转.,当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周期性的，这些图形称为李萨如（J. A. Lissajous 1822-1880 法国）图形。,相互垂直但频率不同的简谐振动的合成,振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。,5.3 阻尼振动 受迫振动,一、 阻尼振动,形成阻尼振动的原因：,振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；,振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。,1. 阻尼振动的微分方程,(

13、以液体中的水平弹簧振子为例),弹性力:,粘滞阻力:,牛顿第二定律：,（固有频率）,（阻尼系数）,（阻尼振动的微分方程）,（方程的解及其物理意义）,2. 几种阻尼振动模式,（1）小阻尼,（3）大阻尼,（2）临界阻尼,X,t,O,X,t,O,大阻尼,临界阻尼,常用于灵敏仪器的回零装置。,与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置 。,幅 值,二、受迫振动,系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。,角频率,弹性力,牛顿第二定律：,令,则,此方程的解为：,1、受迫振动的微分方程（以弹簧振子为例）,2、方程解的物理意义,开始振动比较复杂,经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。,自由

14、振动的能量是外界一次性输入,受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量,无阻尼：能量守恒，等幅振动,有阻尼：有能量损耗，减幅振动,由谐和策动力所维持的稳定受迫振动。,由初始能量所维持的固有项， 当其衰减完毕时，与初始条件相关的 也就不存在了。,3、稳定的受迫振动,a.说明此时振动方程的位相与初始条件无关，其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差；,b.说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题,与此对应的极值现象，称为位移共振。,稳定受迫振动的频率等于策动力的频率,稳定受迫振动的振幅A和位相（用待定系数法可得）,三、共振,（受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。）,1、位移共振(振幅取极

15、值),共振频率 :,共振振幅 :,2、速度共振(速度振幅取极值),共振频率 :,共振速度振幅 :,位移共振曲线,3、 共振的利用与防止,(1)位移共振,(2) 速度共振调谐（能量输入处于最佳状态）,防止过桥、机床、海堤,利用振动筛、打夯、核磁共振,5.4 非线性振动简论,一、非线性振动的原因,由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。,从动力学角度来看，发生非线性振动的原因有两个方面：,2、系统外部的非线性影响：如受迫振动中，驱动力F为位移或速度的非线性函数时，引起非线性振动 。,1、系统内在的非线性因素：如不限制摆角的单摆或复摆,二、自激振动,以单方向的力激励的振动称为自激振动或自振。

16、,例如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声， 自来水管突如其来的喘振。,1、广义坐标 广义速度,在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6个变量（x，y，z，vx ，vy ，vz）描述，,一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标qi 和n个相应的广义速度pi 共2n 个变量描述。,2、相平面 相空间,以(qi，pi)为坐标，可以构建一个2n（n 为力学系统的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间称为相空间.,相空间:,三、相图 相平面,当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为相平面。,相平面:,相平面、相空间中的“相”是指物体的运动状态。相空间的每一点称为相点，对应力学

17、系统的一个状态；状态空间的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变化过程。,以位置和速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间。,如某质点作直线运动，其坐标为x、速度,为坐标,建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面,以（x，y ）,相平面中的一个点M（x,y ），对应一个运动状态，M 称为相点。,在相平面中相点的运动轨迹就是相图，一般是一条光滑的曲线。,相点,相轨迹,例：以简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。,简谐振子的位移、速度和加速度分别为,常数C由初始条件决定。,以x和y为轴，可建立相平面Oxy。,简谐振子的相图,研究谐振子的位移、速度随时间的

18、变化，就可以得到一系列点，继而可描绘出一条曲线相轨迹。,对于一定的C值，相轨迹是一个椭圆，如图所示。,从位移、速度公式中消去时间t ，得,按C值的不同，可得到一族大小不同的椭圆。,从相轨迹中，可以看出：,简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动状态,因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动，其周期是一个有限值。,在相平面上的O点处，物体运动的速度和加速度均为零，相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动使系统偏离O点，它将一直停留在该点。,3、奇点,相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点，奇点对应着动力学系统的平衡状态，因此奇点也称为平

19、衡点。,奇点的分类,中心,焦点,结点,鞍点,单摆的线性振动：,单摆,例：以单摆的振动为例，来分析讨论相图。,小角度下单摆的运动是,单摆的非线性振动:,简谐振动，其周期为,随着的增大，单摆的周期变为,两边积分得,单摆线性振动的相图,即,T/T随摆幅m变化关系,单摆无阻尼线性振动的相图,可见，线性振动的相轨迹为椭圆,中心点是稳定的奇点。初始条件确定后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定。,当摆幅增大到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称之为鞍点,如上图。,单摆无阻尼非线性振动的相图,单摆非线性振动的相图,如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方

20、程，可以证明其相图不再是一椭圆，相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，表示运动仍是周期性往复摆动。,鞍点和中心点一样也是一个奇点，但是在鞍点上,说明鞍点是不稳定的平衡点，因为与之相连的四条相轨迹中两条指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状。,从势能曲线和相图上可知,处势能最大，,势能曲线、相图、鞍点,双曲点的存在，预示着混沌运动的可能,假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，双曲点就成了敏感区能量稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。,四、非线性振动系统的混沌行为,仍以单摆为例, 前面已经讨论过它的自由振动,下面分析其阻

21、尼振动和受迫振动,有阻尼、无策动力的振动,小摆幅时运动方程为,单摆阻尼振动的相图(小摆幅),取0.25，01，用软件MathLab给出数值解。,有阻尼、并有策动力的振动,大摆幅时运动方程是非线性的,单摆阻尼振动的相图(大摆幅),此时,从其相图上可以看出, 相平面被分成不同的区域, 相轨迹都收敛与该区域中心的吸引子.,振动方程为,这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相图来分析.,取0.25，01， D2/3，f的变化范围为0.5,1.98,每一个相图相差0.02，用软件MathLab给出数值解。,(1)f=0.5,1.0 f较小，是的相图都收敛在一个规则的极限环内。,（2）f=1.00,1.48 1.00,1.14内似乎有较规则的极限环。 1.16,1.26内图形有界，但是“极限环”形状已经非常不规则，出现奇异吸引子。 1.28,1.48内相图呈振荡状，随时间变化角位移是无界的。即单向旋转,（3）f=1.50,1.98: 1.5