线性代数与解析几何：1.3 行列式依行（列）展开_第1页
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文档简介

1、1.3 行列式按行（列）展开,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式 来计算？,定义1.6,在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,例如：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。,引理1.1 假定行列式D的第一行除,外都是 0 ，则,证明 由行列式定义，D 中仅含下面形式的项,其中,恰是,的一般项。,所以，,引理1.2设 D 的第 i 行除了,外都是 0 ，则,把D转

2、化为引理1的情形,证明把 D 的第,行依次与第,行，第,行，,第2行，第1行交换；再将第,列依次与第,列，,第,列，,第2列，第1列交换，这样共经过,次交换行与交换列的步骤。,由性质1.4，行列式互换两行（列）行列式变号，,得，,行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,定理1.2,例如，行列式,按第一行展开，得,证毕。,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即,定理1.3,证明：,由定理1.2，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。,在,中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素,则，,

3、第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。,综上，得公式,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。,利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。,例1.13 计算n阶行列式 解 将D按第一行展开得,例1.14 设 （1）计算D的值； （2）计算 （3）计算,解 （1）将行列式D的第2,3,4行分别乘以（-1）都加到第1行，则有 （2）注意到行列式一行（列）元素的代数余子式与该行（列）元素无关，因此,解 （1）将行列式D1的第i行分别乘以（-1/i）都加到第1行，则有 (3) 由于D的第1列元素均为1，所以由定理1.3得,例1.15,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证明：,用数学归纳法,(1) 当n=2时,结论成立。,(

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