圆的一般方程2(求轨迹方程)ppt课件

1、4.1.2圆的一般方程,x,y,a,P(x,y),P(x,y)是直线a上任意一点,点P的坐标 (x,y)满足的关系式,C,M(x,y),M(x,y)是圆C上任意一点,点M的坐标 (x,y)满足的关系式,求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系.,三.求与圆有关的轨迹问题：,如果某条曲线C是由动点M运动产生的，我们就称曲线C是点M的轨迹，曲线C的方程称为M的轨迹方程。,注意：“轨迹”、“方程”要区分：,(2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出 方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。,(1)求轨迹方程，求得方程就可以了；,轨迹和轨迹方程：,求轨迹方程方法,1、直接法（直译法） 2

2、、相关点法 3、定义法 4、几何法 5、交轨法,问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？,x,y,O,C(a,b),M(x,y),P = M | |MC| = r ,圆上所有点的集合,(x-a)2+(y-b)2=r2,设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。,例1、设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。,例1、设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。,一、直接法 动点具有的几何条件比较明显时，由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这

3、等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法,适用范围:任何情况,直译法求曲线方程方程的一般步骤:,设曲线上任意一点M的坐标为(x,y),建立适当的坐标系,根据数量关系列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0,化方程f(x,y)=0为最简形式,检验：多退少补,例2. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.,举例,直译法,练习：已知两个点是(-1, -1) 、(3,7) ，求到这两个点距离相等的点C的轨迹方程,答案：x+2y7=0,变式：已知等腰三角形底边的两个端点是 (-1, -1) 、(3,7) ，求第三个顶点C的轨迹方程,x+2

4、y7=0，且不过点（1,3）,注：求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来限制),不足的点要补充.,例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,题目特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化 方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0),然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程. 步骤：1、设出所求点坐标(x,y)，以及相关的点的坐标(x0,y0), 2、找出(x0,y0)所满足的关系式 3、用 (x,y)表示出(x0,y0) 4、把(

5、x,y)代入(x0,y0)的关系式，结论,相关点法,解.设M的坐标为(x,y) A的坐标为(x0,y0),因为M是AB的中点,即,又点A在圆,上,代入得,即,主动点,被动点,设主动点为(x0,y0),被动点为(x,y),所以M的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆,x0=f(x),y0=g(y),代入主动点方程,整理得轨迹方程,主被动点法,练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.,分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标表示,利用代入法,代入圆的方程即可.,解:解法1:设点M的坐标为(x,y). M为线段AB的中点

6、, A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y). l1l2,且l1、l2过点P(2,4),例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.,PAPB,kPAkPB=-1.,整理得x+2y-5=0(x1). 当x=1时,AB的坐标分别为(2,0)(0,4), 线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.,解法2:l1l2,OAOB, O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M. |MP|=|MO|. 点M的轨迹为线段OP的中垂线. 的中点坐标为(1,2), 点

7、M的轨迹方程是 即x+2y-5=0.,在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做几何法。,例3已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。,解：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上任意一点，,点M在曲线上的条件是,由两点间距离公式，上式用坐标表示为,两边平方并化简，得曲线的方程是x2+y2+2x3=0.,配方得(x+1)2+y2=4，,所以曲线是圆心为(1，0),半径为2的圆。,例4已知ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程.,解：由题意，以A

8、B中点为原点，边AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图，则A(a，0)，B(a，0), 设C(x，y)，,则BC中点为E,因为|AE|=m，所以,化简得(x+3a)2+y2=4m2.,由于点C在直线AB上时，不能构成三角形，故去掉曲线与x轴的两个交点，,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2. (y0),C,曲线的方程,解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合,由两点间的距离公式，点M所适合 条件可表示为：,将上式两边平方，整理得： x+2y7=0 ,例1：如果A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹

9、是什么吗？如何证明你的结论？,例2 已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程,解：设PBr 圆P与圆A内切，圆A的半径为10 两圆的圆心距PA10r， 即PAPB10(大于AB) 点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆 2a10， 2cAB6， a5，c3 b2a2c225916 即点P的轨迹方程为 1,解：,例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？,设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：,因为,所以,即,1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。 2）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法；,练习：1.三角形ABC的三边a、b、c 成等差数列， A、C的坐标分别为（-1，0），（1，0）， 求顶点B的轨迹。,变题,（1）,（2）,（3）,（4