一元二次不等式恒成立问题

1、微专题不等式一元二次不等式恒成立问题、备考基础一一查清1、解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式 的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像， 理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效 果、热点命题一一，悟通考点1 形如f(x) 0(x R)例1、若关于x的不等式ax2 + x 1W0的解集为R,则常数a

2、的取值范围是解析由题意得aa 3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为()A. 1, 4B. (a , 2 U 5 ,+)C. ( a , 1 U 4 ,+)D. 2, 5解析思路点拨由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x轴没有交点；方法一：原不等式可化为x2 2x a2+ 3a+ 50,要使不等式对任意实数x恒成立，则 =(2)2 4( a2+ 3a + 5) 0,即卩 a2 3a 4 0,解得一K aa 2 3a对任意实数 x恒成 立，只需a 3aw4,解得1w aw 4,故选 A考点 2 形如 f(x) 0(x a ,b)例3、设对任意实数 x 1,1

3、，不等式x2 + ax 3av 0恒成立，则实数a的取值范围是( )A. a 0D. a0 或 av1B. a212解析思路点拨由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。设 f(x) = x2+ ax 3a.因为对任意实数 x 1, 1，不等式x2+ ax 3av0恒成立,所以f ( 1) 0,f (1) 0,(1) a 3a0,1 + a 3a2,即实数a的取值范围是a2，故选B总结反思(1) 一元二次不等式在指定范围内恒成立(或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间.(2) 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等

4、式两端，则问题转化为求主元函 数的最值，进而求出参数范围考点3 形如f(x) 0(参数 m a , b)例4、已知a 1, 1，不等式x + (a 4)x + 4 2a0恒成立，求 x的取值范围.思路点拨可把x当作a的系数，把原不等式化为关于a的不等式，则原问题转化为一次函数在区间1, 1恒成立问题.解：把原不等式化为(x 2)a + x2 4x + 4 0,设f(a) = (x 2)a + x2 4x + 4,则f(a)可看成为关于 a的函数.由f(a)0 对于任意的a 1, 1恒成立，得2f ( 1) 0, x 5x + 60,即2解得x3,f (1) 0,x 3x+20,即x的取值范围是

5、(一a, 1) U (3 ,+s).总结反思此类问题的求解有两种方法：(1) 直接求解，应用分类讨论思想；(2) 应用函数思想，以参数为主元，“反客为主”，构造关于参数的函数.考点4元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x的不等式ax2 + 3x+ c0的解集为1 , 2，贝U a=, c =解析：由题意得方程ax + 3x+ c= 0的两根为xi= 1, X2= 2,3c由根与系数的关系可得 1 + 2= , 1 x2=-，解得a= 1, c = 2.aa2例 6、设 a1,若 x0 时，(a 1)x 1(x ax 1) 0 恒成立，则 a=.思路 本题若直接求解，需分类讨论

6、，过程较复杂.可考虑根据不等式对应的函数f(x)、方程f(x) = 0和不等式f(x) 0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0 ,+)上的关系2 . .解析 设函数y1 = (a 1)x 1, y2 = x ax 1，则这两个函数图像都过定点P(0， 1)，问题可转化为两个函数在区间(0,+)上的符号相同.1在函数 y1 = (a 1)x 1 中，令 y1 = 0,得 x=0,a 1一 1即函数y1的图像与x轴的交点坐标为 M , 0 ,a I2 .而函数y2 = x ax 1的图像过点M,贝U丄2a 1宀1 = 0，解得a= 0或a= |.又a1,所以a = |.三、

7、迁移应用一一练透1.已知关于x的不等式x2 ax + 2a0在R上恒成立，则实数 a的取值范围是 解析(1) t x2 ax+ 2a0 在 R上恒成立，A = a2 4X2 a0,解得 0a0对任意实数x恒成立，所以 A = a24X 3x 10, 解得2 . 3a0，则a的取值范围是()A. (0 , 4)B. 0 , 4)C. (0,+s) D . ( s, 4)解析先分类讨论二次项系数，再由 f(x) 0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a = 0时，f(x) = 10对？x R成立；当a0时，要使？x R, f(x) 0恒成立，则 a 2解得 0a4.A = a 4a1的解集为()A

8、. ( s, 1) U (0,+)B. ( 3 0) U (1 ,+)C. ( 1 , 0)D (0 , 1)2 2 2解析(1) Vf (x) = ax (a + 2)x + 1, A= (a + 2) 4a = a + 40,函数f(x) = ax (a + 2)x + 1必有两个不同的零点.又 f(x)在(2, 1)上恰有一个零点，.f ( 2)f( 1)0 ,3 5即(6a + 5)(2a + 3)0 , a1 即为一x2 x0,解得1x0在区间1 , 5上有解，则a的取值范围是()C. (1 ,+s)解析由A = a2 + 80,知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负,

9、 所以方程必有一正根、一负根.23于是不等式在区间1 , 5上有解的充要条件是f (5) 0,解得a,23故a的取值范围为 一,+s ,故选A.1，一个大于1,则实数m的取值范围是()A. ( ,2,2)B. ( 2, 0)C. ( 2, 1)D. (0 , 1)5 .若关于x的方程x2 + (m 1)x +吊一2= 0的两个实根一个小于2 2解析设 f (x) = x + (m- 1)x + m 2,由关于x的方程x2+ ( m- 1)x+ m 2= 0的两个实根一个小于1, 一个大于1,得f (1) v 0,2 2即 1 + (mn 1) + m 2 v 0,2化简得m + n 2v 0,

10、解得2 v mv 1,即实数m的取值范围是(一2, 1).27.已知函数f(x) = x + ax + b(a , b R)的值域为0 ,+)，若关于x的不等式集为(m m+ 6)，则实数c的值为()A 0 B . 3C. 6D. 92 22a 由不等式x + 2X+ 2 | a 2|对于一切实数x均成立，得| a 2| v 1,解得 1 v av 3,实数a的取值范围是(1 , 3).9 .已知 f(x) = x2 2ax + 2(a R)，当 x 1 ,+)时，f (x) a 恒成立，求 围.22.解：方法一：f (x) = (x a) + 2 a ,此二次函数图像的对称轴为直线x= a.当a ( g , 1)时，f (x)在1,+)上单调递增，且 f ( 1) = 2a+ 3，所以要使 f (x) a, x 1,+)恒成立， a解析由题意知 f (x) = x + ax+ b= x+ b4.2 2aa f (x)的值域为0 ,+s) , b 4 = 0，即 b =-,a 2 f (x) = x +,2aa l a l f(x)c, 即 卩 x + 2 c,解得一2 , cx |a 2|对于一切实数x均成立，则实数 a的取值范围是.2 2f (x) 1,只需2a + 3a即可，故一3w av 1.2当 a 1 ,+)时，f(x)min = f(a)