小学奥数―同余问题

1、数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r?0时：我们称a可以被b整除，当q称为a除以b的商或完全商 (

2、1)r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当 一个完美的带余除法讲解模型: 就可以理解为被除数，a如图，这是一堆书，共有a本，这个就是除数的角色，经过打包后b现在要求按照b本一捆打包，那么就是dd本，这个共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余 余数。 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 c的余数。分别除以c的余数之和，或这个和除以ca与b的和除以的余数，等于a,b 的余数等除以53的余数分别是和1，所以23+16=3916例如：23，除以53+1. 4，即两个余数的和于

3、 c的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以的余数，5除以的余数等于除以故4351923例如：，除以的余数分别是和，23+19=4253+4=728 / 1 即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b

4、对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 1234?1898?18922?678967?178902?889

5、923 例如：检验算式1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2 28 / 2 而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。 而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所

6、以这种方法被称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。 四、中国剩余定理： 1.中

7、国古代趣题： 中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 28 / 3 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故

8、其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2.核心思想和方法： 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除

9、以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。 5?7?35，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看先由535?2?70是否可以，很显然707的“下一个”倍数除以3余1 和类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。 最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： 2?70?3?21?2?45?k3,5,7?233?k3,5,7，其中k是从1开始的自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实

10、际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 2?70?3?21?2?45?2?3,5,7?23得到所求 那么我们可以计算如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。 28 / 4 例题精讲： 【模块一：带余除法的定义和性质】 【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和 1992aarr【解析】 因为是的倍还多,得到，得，所以， 14?r43a1992?46?199243?4614?1992?46?43.14ra【巩

11、固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数 11321088【解析】 (法1)因为 甲乙，所以 甲乙乙乙乙； 1088?12?11?32?11?32?32?则乙，甲乙 1000088?188 32)?12?(1088?(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当1056108832是乙数的倍，所以得到乙数，甲数 1000?88?12?881088?10561)(11?【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为

12、整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3713，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91. 【例 2】 (年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、13172003除数、商与余数之和为，则被除数是多少？ 2113【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除?数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）（17+1）=115

13、，所以被除数=2083-115=1968 【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到 x?40y?16x?856?,解方程组得，即这两个自然数分别是856，21. ?x?y?40?16?933y?21? 【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_，_，_。 28 / 5 【解析】 设所得的商为，除数为，由，19?b

14、?3b?b200173a2001)?(31a?b)(19a?b?(23a?b)a可求得，所以，这三个数分别是，。 847b?31a?b?523?23a?ba?27b?1063119a? 【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_ 【解析】 设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，b?739?3b?bba11a?a9)(0?b?(0?a?11)a12?7?84。 只有，所以这个自然数为37?b?a 【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组

15、比第一组多5人如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够问：第二组有多少人? 【解析】 由，知，一组是10或11人同理可知，知，二组是12?5?9.63?1644848?48?412?48?13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人 【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数 【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；786?13?91?(6?1)13?又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为 8

16、35?78? 【模块二：三大余数定理的应用】 【例 5】 有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数. 45,59,101【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，的约数有，所以这个数可1414?45?10145?5659,2,7,14114?(56,14)能为。 2,7,14 【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 28 / 6 【解析】 (法1) ，12的约数是，因为余数为3要小144147?363?39?

17、3,2,3,4,6,12112(36,144)?于除数，这个数是； 4,6,12(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，所以这个数是 10839?39?12?147?514,6,1212(12,108)? 【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次 1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同， 而999198=59，所以共有518+9=99个这样的数

18、 【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？ 【解析】 设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则bnams nb?a?m?19s?17?n?b?ss?a?m，即，得所以根据题意可知，所以是9b8a?18?mb?n16a?b9a?a81的倍数，是8的倍数此时，由知nb?ab?m? a?a?a?n?ma?b? 99由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而， 16m1?a?m?999?100?17s所以，得到，而是9的倍数，所以58

19、16a5?100?17a?m?17a?999?17a1?17a?m?aa最小为9，最大为54 1当时，54?a，而，所以，故此时最大为； 930?18?54m?12?1217ns6m?a?n 91当时，9a?，由于，所以此时最小为 154?11?17?9m?s1a?n?m? 9所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154 baab ，求都余】 1两位自然数，并且与 除以7【例 6ba?abba?ab 那么，能被 即7整除所以只能有【解析】能被7整除，7?abbaab?（10?ba(10?)b?a)?9?（a?b） 28 / 7 可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求， 2668?92

20、?29?29 ?ab?ab?92baba 【巩固】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？ 【解析】 所求班级数是除以余数相同的数那么可知该数应该为和 118,67,3334?67?118?67?5133的公约数，所求答案为17 【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_ 13903?13511?39214589?13903?686， 因为, 【解析】 由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那

21、么，它们两两之差必能被同一个(392,686)?98，所以所求的最大整数是98数整除 22003的和除以7的余数是_与 【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032【解析】 找规律用7除2，23456，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,222222的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4因为20033?667?22003除以7余4又两，所以2?22个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同而2003除以7余1，所以22003除以7余1故22003的和除以7的余

22、数是与 200351?4?2 【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组 【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5 因为， 9?6?75?0?2?3?3022?5?5?72?5?6?2003,20002003,20001998 ， ，4所以这样的数组共有下面个：?19952001,200320001998,2000200320011995,， 28 / 8 【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个

23、整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_ 【解析】 ，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能16.2?350290?(70110?160)?5052?50，所以除数不是，58 是29和58，1.52?5811012?23?15?50，所以除数是， ，295.152970?29?2.12?11029?3.23?160? 【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为 25，那么n=_ 63?91?129?25?258因为，所以n【解析】 n能整除是258大于8的约数显然，n8.13?25?不 能

24、大于63符合条件的只有43 【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。 【例 9】 (2002年小学生数学报数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其

25、中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本这种成语大词典的定价是_元 【解析】 六名小学生共带钱133元133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1易知，这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是 (元) 3226)211817(14?3? 28 / 9 【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克 【解析】 两个顾客买

26、的货物重量是的倍数 3，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能39.22)?119?3?18?19?20?31)?(1?(1516是20 千克 【例 10】 求的余数 11?6047?2461?135【解析】 因为，根据同余定理(三)， 549.812.3?6047?112461?11?223.811135?的余数等于的余数，而， 1928?8?38?3?8?11?2461?135?6047?11，所以的余数为5 11?11?17.560472461?135192 【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数 351?296478【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因

27、数除以17的余数，再求余数之积除 以17的余数除以17的余数分别为2，7和11， 478,296,3519.1?11)?17(2?7? 【巩固】 求1997的最后两位数 3【解析】 即考虑199739除以25余8余2，所以， 除以100的余数由于，由于除以253?2733254?100102022020能1；即除以4余余1；又因为余除以41，则除以25余24，那么25除以1?33333被4 和25整除，而4与25互质，所以2020除以100余1，由于 能被100整除，即3?316171997除以100100除以100的余数即等于的余数，而除以，所以33729?317?20?99?1997余29

28、，176255173)3?(3除以100，所以余除以10043，的余数等于除以3243?343?2929100的余数，而除以100余63，所以36163?2929?4319971997的最后两，即63除以100余33位数为63 28 / 10 【巩固】 222?2除以13所得余数是_. ?2000个2【解析】 我们发现222222整除13，20006余2，所以答案为2213余9。 【巩固】 求89除以7的余数 143【解析】 法一： ? (143被7由于除余3)， 7mod143?3?所以89898989被7除所得余数与除所得余数相等 () 被773143mod?3143 而?6（729除以7

29、的余数为1）， ，7mod729?17293? 所以8966655?mod7?3?L3?33?33?5?434421414个故89除以7的余数为5. 143 法二： 计算89被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表： 3 L 76234513333333 L 35mod736 142 ?为周期变化所以 于是余数以6589 7?3mod?53 【巩固】 （2007年实验中学考题）2222除以7的余数是多少？ 2002?L1?2?32001?2002?2003?4005于由【解析】 22222，而1001是7的倍13352003?1?23?1001?L?20012002? 6数，所以这个乘积

30、也是7的倍数，故22222除以7的余数是0； 2002?20011?2?3L? ? 巩固】【3130 被除所得的余数是多少？3031?13L，1813除所得余数分别是5，12，当被【解析】 3113除所得的余数为5n取12，3被时5nL为周期循环出现，所以，14以85，12，230，12除的余数相同，余被13除的余数与被1355则30 ；的余数为除以13123128 / 11 L时，被13除所得的余数分别是4，3，3，12，430被13除所得的余数是，当n取1，2，4nLL以，6为周期循环出现，所以，312，9，109，10，1，4，311被除所得的余数等于被134413除所得的余数，即4，故

31、31除以13的余数为4； 30?所以3130 13除所得的余数是被30?313?12?4?13 已知2008年奥数网杯)巩固】 (【 13所得的余数是多少？，问：除以2008?20082008Laa34414442420082008个【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到； 200810000?20082008?2008?； 200810000?200820082008?20082008?； 200810000?2008200820082008?200820082008?LL 根据这样的递推规律求出余数的变化规律： 20082008除以13余，2除以13余，即2是13的

32、倍数 0?1136?3?6?13?11?6?39?而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6. 20082008200820082008L?a3442414442008个2008 【巩固】 除以41的余数是多少？77777?142431996个7【解析】 找规律：， 28?7777?41777?41?39?7?41?7?77?41?36可以，所以77777是41的倍数，而，所以1399?0L?5?199677777?41?77777?142431996个7分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7 【巩固】 12342005除以10所得的余数为多少？ 2005

33、2L?3?4?1L?【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的 首先计算12342020LL?421?3?的个位数字， 28 / 12 为的个位数字，为4， 940?7?4?9?39?0?1?6?6?5?651?4?7?6?6?3?6?由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是的个位数即0，400?100?4另外5个数为2001200220032004200

34、5，它们和的个、位数、字、是、20052003200220012004的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3 231?4?7?6?5? 22也是质数，使得 与 11】 求所有的质数P【例1p?1?64p【解析】 如果，则5?p22都是质数，所以5符合题意如果P不等于，5，那么P151?p1?1?1014p6除以5的余数为1、2、3或者4，22222除以5、或者、的余数，除以5的余数即等于p3421即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况如果22那么1，除以5的余数为?pp14除以5的余数等于除以5的余数，为0，即此时51?4?1?22大于5，被5整除，而1?1p

35、p?44所以此时222不是质数，所以P不等的余数为4不是质数；如果，同理可知除以51p4p1?p6于5，22至少有一个不是质数，所以只有满足条件与 1?1?6p4p5p? 【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所9889得的余数都是3 9897 95 96 91 92 93 94 90因数 89 因数 的余数，等于因为两个数的乘积除以11 【解析】 11的余数之积因此原题中的两个数分别除以9889 3就容易计算了我们得到下面的结果：，这样上下两数的乘积除以11余可以改换为101 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数3 7

36、 1 9 5 6 2 10 4 8 进而得到本题的答案是： 因数 9291 9089 96 95 9493 9897 因 数 94 93 89 95 919792 98 9096 因28 / 13 数 在， 个三位数乘积的算式 (其中) (2000年“华杯赛”试题)3【巩固】c?a?b234235286cab?abc?bca? 是6是正确的，问原式中的校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位abc 多少？，由于【解析】 8(mod9)?8?63?5?2?2234235286?2?3?4? 3 ，(mod9)?c)cab?(a?bbcaabc?于是3) (用代入上式检验，从而8(

37、mod9)c)?(a?b?,2,.,8(mod9)0,1a?b?c? (1)，对进行讨论：2,5,8(mod9)?c?a?ba，的个位数字为4的个位数字是，又6，所以如果，那么(2)c?c?ab?a9?b2,5,8(mod9)?b?c有验只(2)，经检，、其中只有符合能可为(4,1),(8,3)?(b,c)43?7?c268?b?14? 符合题意328245326?398983?839、7，则可能为那么(3)，又的个位数字为2或如果，1?23b?ca?84?b?c3,6,0(mod9)b?c 不合题意符合(3)，经检验，、，其中只有821abc?(2,1)?(b,c1?27?6?76 (4)的

38、，则可能为、，其中没有符合(4)如果，那么24?37c6?b?a?4,7,1(mod9)b?c?)(b,c，因此，如果，那么4c?5a?6?b222334586?500210000000?abc?bca?cab?700?600 是本题唯一的解这时不可能符合题意综上所述，983?abcabc ，则这个自然数是多少？290，235，200时，得余数分别为】【例 12 一个大于1的数去除5aa?2aa ），233195时，得到相同的余数（都为【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290那么这个既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余057因为38的公约数,因此就是的约

39、数，自然数是又是的约数，57和38233?290233?57195 19，所以这个自然数是的公约数只有19和1，而这个数大于1和38 后所得的余164、后所得的两个余数的和等于这个自然数去除22010】【巩固 一个大于的自然数去除90 数，则这个自然数是多少？后所得的余164个自然数去除90、后所得的两个余数的和等于这个自然数去除这【解析】 25416490?28 / 14 数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是的约34?254?220数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16

40、，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17 【例 13】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，AAA除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少？ AA【解析】 根据题意，这三个数除以都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来： A rLKL393?A939?A?KLLrL603?A?KLr?322131由于，要消去余数, , ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减 rr2rrr?2r?r3312221这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余

41、数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4 于是我们可以得到下面的式子：? r2KL?2L?A?2939rLKL603?A?2211?这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数，意味着能被整除 r?2KLL?39344?AA33?51?31275,969?17， 969?6031275?393?4603939?2?51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以等于A17 【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、，求这个自然数和的值. a2a?5aa?，的数：、，这样【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为8482429?5?1000?

42、7912a2500这些数被这个自然数除所得的余数都是，故同余. a2将这三个数相减，得到、，所求的自然数一定是和的公约数，15215257?791?57?1000848?848?，所以这个自然数是的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是而19.经过验1957,152?1911、，时成立,所、时，除证，当这个自然数是、所得的余数分别为1266?a19429791500以这个自然数是，. 619?a 【模块三：余数综合应用】 28 / 15 【例 14】 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？ 【解析】 斐波那契数列的构成规

43、则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0 第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0. 【巩固】 （2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？ 【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以

44、5的余数 所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数由于，所以前2009个数中，有401个是54L52009?401的倍数 【例 15】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数现知这三余数的和是15试求该数除以18的余数 2?5?8?15，所以这三个余数的和永远不超过 53除以、6和9的余数分别不超过2，8【解析】 既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8所以该数加

45、1后能被3，6，9整除，而，设该数为，则，即（为非零自然数），所以它除1ma?18?173,6,9?18(m1)?18a?ma以18的余数只能为17 【巩固】 (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 28 / 16 【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是型的数，又是质数只1?3k有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁， 岁妹7 小明像玩跳棋)，(不到100个 16】 (

46、华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔【例A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回那样，从BA孔孔跳一步，结果只能跳到B孔他又试着每隔4到A孔他先试着每隔2孔，你知道这个圆圈上共有孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A跳一步，也只能跳到B? 多少个孔吗 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号【解析】 ，B孔的编号就是圆圈上的孔数，3，4，为2上，也就是，4，7，10?我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上很容易看出应在1的倍孔，因此总孔数是3小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1按题意，小明最后跳到B说， 数加1 同样道理，每隔4孔跳一步最后

47、跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数 如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为，则（为非零自然数）而且能被7整除注意15被71?15ma?ama除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除我们还可以看出，15的其他(小615?于的7)倍数加1都不能被7整除，而已经大于1007以上的倍数都不必考虑，因此，105?7?15总孔数只能是 91?115?6? 【巩固】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字，组成一123456789101112

48、13.个1997位数，那么此数除以9的余数是 _ 【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和 共有9个数字，共有90个两位数，共有数字： (个), 共900999919910290?10018028 / 17 个三位数，共有数字： (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，27003?900?每三个数字表示一个数，即有602个三位数，第603个三位数只602.2?(1997?9?180)?3写了它的百位和十位从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，

49、702个数能分成的组数是： (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出78?702?9来，所以余数为 7 9-2?222被除所得的余数各不相同，】 设是质数，证明： ，【例 1712n2n?1?n21【解析】 假设有两个数、，()，它们的平方n?a?1?bba22被除余数相同那么，由， ba1n?2同余定理得22，即，由于是质数，所以1)b?0(mod(2an?1)n?b)?0(mod(2(a?b)(a1?2n由于，可知，或，均小于且大于0，1)?0(mod(2n?1)na?b?0(mod(2a?b?a?b1?ba?b2n?a与互质，也与互质，即，都不能被整除，产生矛盾，所以假设

50、1nb?12a?b12n?a?ba2n?不成立，原题得证 【巩固】 试求不大于100，且使374nn能被11整除的所有自然数n的和 ?【解析】 通过逐次计算，可以求出被11除的余数， 3n依次为：12345为1，5， ，为3为为9，4为33333因而被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；类似地， 3n可以求出被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，； 7n于是374nn被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，； ?这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意， 即时374

51、3,4,6,13,14,16,.,93,94,96n?nn能被11整除，所以， ?所有满足条件的自然数n的和为： 1480?283.4313969493.161413643? 28 / 18 【巩固】 若为自然数，证明a 20051949 )(aa?10【解析】 ，由于5?210 2005194919492005 与的奇偶性相同，所以)?aa2(aa19495656194920051949 ；如果不能被5整除，如果能被5整除，那么那么1)(a5a?1)(aa?aa?aaa被5除的余数为1、2、3或者4，44444被5除的余数，即为5除的余数为、1、被3a41216、81、256被5除的余数，而

52、这四个数除以5均余1，所以不管为多少，a4被5除的余数a为1，而5641445656能被5，则均余个1相乘，所以整除，有除以5，即14)aa?(1?aaa 56194920051949所以 1)?(a5a)?5(aa 由于2与5互质，所以 20051949 )?10(aa n，k被7除余数为2，k被11 设n为正整数，除余数为3，求n的最小值 】【例 182004k?【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以被7除余数为2，被11除余数为3 2n由于31被7除余1，所以n除以3被7除余2，而的余数为1； 8?22?2由于810被11除余1，所以n除以除余3，10的余数为8 被1

53、1102422256?，所以n的最小值为28 可见是3和10的公倍数，最小为303,10?2?n 【巩固】 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数 【解析】 设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为， 2n?n?1?2|?n?1n1917|，根据整除的性质对这三个算式进行变换：， 依题意可知：，n|15?15?2n?15|n|15n?15|2? ?1515,17,19|?|22n?1517|nn?1?17|22n?17?1524n?19|19|n?2?19|2n?从上面可以发现应为15、17、19的公倍数

54、 15?2n?1k?4845?22n?15 (因为是奇数，所以由于)，可得 2415k?n?4845152n?4845?15,17,19当时，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432 2432?k1n2430n12431n2? 28 / 19 【例 19】 (2008年西城实验考题)从1，2，3，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？ 【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余x?序列当中不可能有两个数的差

55、为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，?x? 2?使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个 nn?基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，1? 1313?要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为时，可以取出57109?9?58?8?个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108 【巩固】 从1，2，3，4，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除N最大为多少？ 【解析】 取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是