函数的性质—奇偶性

1、悟空数学五讲 函数的性质奇偶性1. 如何判断函数奇偶性2. 函数奇偶性的应用1. 函数奇偶性的定义：（1）对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x)= f (x) (或f ( x)=1或f ( x) f (x)= 0 ）f (x) 函数 f (x) 是偶函数；（2）对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x)= f (x) (或f ( x)= 1 或 f ( x)+ f (x)= 0）f (x) 函数 f (x) 是奇函数；2判断函数奇偶性的步骤： 判断定义域是否关于原点对称； 比较 f (x) 与 f ( x) 的关系；

2、 依据定义，得出结论.3奇偶性的判定方法：（1）定义法（2）图像法： 图像关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图像关于 y 轴对称的函数是偶函数.（3）运算法，如：函数 f (x) 变形后的奇偶性.及 f (x ), g ( x) 在公共定义域内的奇偶性.函数奇偶性的相关性质1奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是:奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；2定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.3常用的结论：若 f (x) 是奇函数，且 x 在 0 处有定义，则 f (x) = 0 ;4（1）奇函数在关于原点对称的区间上

3、若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反；知识改变命运 奋斗换来自由1悟空数学函数 f ( x) 在区间 a, b (0 a b) 上单调递增(减)，则 f ( x) 在区间b, a 上也是单调递增(减)；（2）偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同；偶函数 f (x) 在区间 a, b (0 a 0)0,( x = 0) f ( x ) = x (1 + x ), ( x f (p) f (2)B f (2) f (p) f (p )22C f (p ) f (2) f (p)D f (p) f (2) f (p )22知识改变命运 奋

4、斗换来自由3悟空数学2）若偶函数 y = f (x)在 0,4上是增函数，则 f ( 3) 与 f (p ) 的大小关系是（）A f() f (p)B f() 0 ，则实数 a 的取值范围_题型三 函数性质的综合考查例 9设函数 f ( x) = 1ax+ +xb2 是定义在 (1, 1)上的奇函数，且 f ( 12 ) = 52 ，（1）确定函数 f (x) 的解析式；（2）用定义证明 f (x) 在 (1, 1)上是增函数；（3）解不等式 f (t 1) + f (t) 0 .知识改变命运 奋斗换来自由5悟空数学：187353838051下列函数中，既是偶函数又在

5、 (0, +) 单调递增的函数是（）A. y = x3B. y =| x | +1C.y = x 2 +1D.y = 2| x|2若函数 f ( x) =x为奇函数，则 a 为（）(2x +1)( x a)A. 1B. 2C. 3D.12343已知函数 f (x ) = x 3 + ax + bx 8 ，且 f (2 ) =10 ，则 f (2)=_4已知函数 f (x) = ax 2 + bx + 3a + b 为偶函数，其定义域为 a 1,2a，求 f (x)的值域.5已知 f (x) , g (x) 都是定义在 R 上的奇函数，若 F ( x ) = af (x ) + bg ( x)

6、+ 2 在区间 (0, +) 上的最大值为 5 ，求 F (x) 在区间 ( ,0) 上的最小值。知识改变命运 奋斗换来自由6悟空数学后作业1设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x ) =2x 2 x ，则 f (1) = （）A.-3B.-1C.1D.3)(2若 y = f (x) 在 x 0,+上的表达式为 y = x (1 x) ，且 f (x) 为奇函数，则 x , 0 时 f (x) 等于A x (1 x)B x (1 + x)C x (1 + x)D x ( x 1)3定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足：对任意的 x1, x2 0, + ) ( x1 x2 ) ，有f (x2 ) f (x1 ) 0 .则（）x2 x1A. f (3) f (2) f (1)B. f(1) f (2) f (3)C. f (2) f (1) f (3)D. f(3) f (1) f (2)4已知 f ( x) = ax 2 + bx + 3a + b 是偶函数，且定义域为 a 1, 2a,则 a =_, b =_.5已知 f ( x) = ax 7 bx + 2 且 f (5) =17 ，则 f (5) =_.6已知偶函数