论运动物体的电动力学

1、论运动物体的电动力学A. Einstein 1905 06 30众所周知麦克斯韦的电动力学正如现在通常理解的当应用于运动物体时，会导致不对称，使之无法揭示现象的本质。比如，举个例子，磁体和导体的电动力学互易效应。在这里可观察的现象仅仅依赖于磁体和导体的相对运动。比如，如果磁体是运动的而导体是静止的，在磁体的周围会产生电场，伴随着某种确定的能量，在导体所在的地方就会形成电流。但是如果磁体是固定的而导体在运动，在磁体的周围不会有电场。然而，我们在导体中发现了电动势，虽然在其中并没有相应的能量来产生它，但是它会产生假设所讨论的两种情况下的相对运动是相同的和前一种情况下的电势所引起的相同路径和强度的电

2、流。这个例子，和想要发现地球相对于“光介质”的任何运动的失败尝试一起，表明电动力学现象和机械力学现象不同，并不具有与绝对静止观念相对应的性质。它们其实表明了，正如已被小电荷一级近似所揭示的，同样的电动力学和光学定律在所有的参照系中都成立，对于它们力学方程都仍然有效。我们将这个猜想（它的主旨后来被称作“相对性原理”）确立到基本假设的地位，并且同时引入另一个基本假设，它只是在表面上与前者矛盾，即，真空中的光速总是以确定的速度 c 传播，而与辐射物体的运动状态无关。这两条基本假设足够建立一个简单而一致的，并且基于麦克斯韦的固定物体理论的关于运动物体的电动力学理论。“光以太”的引入将被证明是多余的，因

3、为这里要展开的观点并不需要一个具有特殊性质的“绝对固定的空间”，也不需要给在电动力学过程发生的真空的一点赋予一个速度向量。将要展开的理论是基于正如所有的电动力学刚体的动力学，因此该理论的任何主张都与刚体间的关系（坐标系）、时钟和电动学过程有关。当前的运动物体的电动力学所遭遇的困难的根本点，就在于对这些细节考察得不够充分。I动力学部分?1. 同时性的定义让我们设想一个坐标系，其中牛顿动力方程仍然有效。为了使我们的表述更加精确并在口头上和以后要引入的另一个坐标系区分，我们称它为“固定系”。如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，它的位置可以利用刚性的度量标准和欧几里得几何学来确定，并可以用笛卡尔坐标

4、来表示。1如果我们希望描述一个质点的运动，我们就给出它的作为时间函数的坐标值。现在我们必须记住这种数学上的描述并没有物理意义，除非我们十分清楚我们所理解的“时间”是什么。我们必须深入考察一下，我们的所有与时间相关的判断总是一种同时性事件的判断。比如，举个例子，我说：“那辆火车在 7 点钟到这里。”我的意思是：“我的手表指针指向 7 点和火车的到达是同时性事件。”通过用“我的手表的指针指向”来代替“时间”，就出现了一种克服关于“时间”定义的所有困难的可能。而且事实上当我们关心的是为和手表处于同一空间的时间作专门定义时，这样的定义是足够的，但是当我们必须将处于不同空间的事件序列联系到时间中，或同样

5、的说法评估远离手表的空间所发生的事件的时间，它就不再令人满意了了。当然，我们可以满足于用下述方法定义时间值，一个观察者与一只手表一起位于坐标的原点，用来标志时间的每一个事件所对应的手表指针的指向，以光信号发出并通过真空到达他那里进行校准。但是这种校准方法的缺点是，正如我们从经验中得知的，它并非独立于带手表或时钟的观察者的立场。通过下列的思考我们可以得到一个更实用的论断。如果在空间 A 点有一个时钟，一个位于 A 的观察者就可以对紧邻 A 的事件找到和它同时的指针指向，来确定这些事件的时间值。如果在空间 B 有一个在所有方面都与 A 相似的另一个时钟，在 B 的观察者也可以确定紧邻着 B 点的事

6、件的时间值。但是如果没有进一步的假设，对在 A 和 B 的事件作关于时间的比较就是不可能的。我们至此仅仅确定了一个“A时间”和一个“B 时间”。我们还没有找到一个 A 和 B 的通用“时间”，后者是根本无法确定的，除非我们在定义上确立起光从 A 到 B 所需的“时间”与它从 B 到 A 所需的“时间”相等。设一束光线在“A 时间”tA 从 A 向 B 出发，设它在“B 时间”tB 在 B 被反射回 A，并且在“A 时间”tA 重新到达 A。根据定义如果tB - t A = tA - tB则两时钟同步。我们假定这种同步的定义是无矛盾的，并且对任意多的点都适用；那么下列的关系就是普遍成立的：1如果

7、 B 的时钟和 A 的时钟同步，那么 A 的时钟与 B 的同步。2如果 A 的时钟与 B 的时钟同步同时也与 C 的时钟同步，B 与 C 的时钟也相互同步。这样在这种假想物理实验的帮助下，我们已经有了对不同地点的固定时钟的同步的理2解，而且显然得到了关于“同时”或“同步”和“时间”的定义。一个事件的“时间”就是位于该事件地点的固定时钟所给出的和该时间同时的事件。这个时钟对于所有的时间测定点，都需要和一个特定的时钟保持同步。根据经验我们进一步推论出等式2 AB = ctA - t A译注 1作为一个普适常数真空中的光速。这就是将时间定义为依赖于固定系的固定时钟的要点，这种适用于固定系的时间定义我

8、们称之为“固定系的时间”。?2. 论长度与时间的相对性以下的推断是基于相对性原理和光速恒定原理。我们定义的这两个原理如下：1. 改变物理坐标系的状态，定律不受影响，不论这些状态的改变涉及到两个匀速平移运动的坐标系中的那一个。2. 任何“固定的”坐标系中的光线都以确定的速度 c 运动，不论这光线是由固定或运动的物体发出。因此光程速度间隔时间这里的间隔时间由?1 给出定义。设有一根固定的刚性棒；设它的长度 I 由一根也是固定的测量棒来测量。我们现在假定棒的轴沿着固定坐标系的 x 轴，然后赋予棒一个沿着平行于 x 轴正方向的，速度为 v 的匀速运动。我们现在研究一下这个运动中的棒的长度，假设它的长度

9、由下面两种方法来确定：(a)观察者带着测量棒一起运动，同时进行测量，直接将测量棒与被测棒重叠来测量它的长度，就像这三者都静止时一样。(b)依靠固定系中设置的时钟，并和?1 一样进行同步，观察者要得到棒的两个端点在一个确定的时间时位于固定系中的两个点。这两个点之间的距离，由先前的测量棒在静止状态下测量，这个长度也可以被视为“棒的长度”。依照相对性原理，由方法(a)得到的长度我们称为“运动系中的棒长度”必然3与固定的棒长度 I 相同。由方法(b)得到的长度我们可以称为“固定系中的（运动的）棒长度”。我们可以基于我们的两个原理来确定它，而且我们发现它与 I 不同。当前的运动学默认的假设是这两种方法确

10、定的长度是精确相等的，或换句话说，一个在时刻 t 的运动刚体可以在几何上由一个相同的处于确定位置的静止物体来描述。我们进一步设想在棒的两端 A 和 B，放置着和固定系同步的时钟，就是说它们处在自己的位置上，其指示在任何时候都与“固定系的时间”相协调。这些时钟因此是“与固定系同步的”。我们进一步设想每一个时钟各有一个运动的观察者，这两个观察者都按照?1 建立的时钟同步准则使用时钟。设一束光线在时间 tA 从 A 出发，设它在时间 tB 在 B 被反射，并且在时间 tA 又到达 A。考虑到光速恒定原理我们发现t- t=rAB和 t- t=rAB译注 2BABc - vAc + v这里 rAB 表示

11、运动的棒的长度在固定系中测量到的。随着运动棒一起运动的观察者会发现两个时钟不再同步了，然而观察者在固定系中就会明白时钟是同步的。所以我们看到我们对同时的概念不能得到任何绝对的含义。从一个坐标系看来是同步的两个事件，当从另一个相对该坐标系运动的坐标系考察时就不再视为是同时的。?3. 坐标变换理论以及时间从一个固定系到相对于前者作匀速运动的另一个系的变换让我们在“固定的”空间设想两个坐标系，也就是，两个坐标系的三条刚性线相互垂直，并且从一点发出。设两个坐标系的 X 轴重合，它们的 Y 和 Z 轴相对平行。设每个坐标系都有一个刚性测量棒和许多时钟，并设这两根测量棒和所有的时钟都是完全相同的。现在对两

12、个坐标系中的一个（k）的原点赋予一个恒定的速度 v，沿着另一个固定系（K）的 x 正方向，并且设这个速度传递到了坐标轴、相应的测量棒和时钟上。对于固定系 K 的任意时间，对于运动系的三个轴都有一个特定的位置相对应，从对称的道理出发，我们有理由 k 的运动作这样的假定：运动系在时间 t（“t”总是表示固定系的时间）时它的轴和固定系的轴平行。我们现在假定在固定系 K 中用固定测量棒测量空间，同时在运动系 k 中用运动测量棒测量；这样我们就分别得到坐标 x、y、z 和x、h、z。进一步，设固定系的时间 t 由位于所有点上的时钟利用光信号按照?1 指出的方式来确定；类似的，设运动系的时间t由位于所有4

13、点上的相对于该坐标系静止的时钟按?1 给出的方法，利用这些放置了时钟的点之间的光信号来确定。对于任何的坐标系值 x、y、z、t，完全由固定系中的事件的空间和时间来确定，相对应的x、h、z、t由 k 系对应的事件确定，现在我们来尝试找出这些量之间的等式关系。首先，显然这些等式必然是线性的，这是由于我们归结到空间和时间上的属性是一致的。如果我们设 x=x-vt，显然 k 系中的一个静止点必然有独立于时间的坐标系值 x、y、z。我们先将t定义为 x、y、z 和 t 的函数。为了做到这一点我们必须仅仅用 k 系中的静止时钟的数据来表达t的等式，这些时钟已经按照?1 给出的法则进行了同步。从在时间t0

14、从 k 系的原点发出一束光线沿着 X 轴到 x，在时间t1 被反射回坐标原点，在时间t2 到达；我们必然有 12 (t 0 +t 2 ) = t1 ，或者，代入t的函数表达式并利用固定系中的光速恒定原理：1xx x 译注 3t (0,0,0, t )+t 0,0,0, t+= t x,0,0, t +2c - v c + v c - v 译注 4因此，如果选择 x进行最小化，1 1+1 t=t+1 ttxc - v t2 c - v c + v 或t+vt= 0xc 2- v 2t要注意的是我们可以选择坐标原点之外的任何其它点作为光线的起点，这样就得到对所有 x、y、z 值都适用的等式。对 Y

15、 和 Z 轴有类似的考虑，可以允许光沿着这两个轴传播，从固定系看来，结合速度c 2 -v 2 我们有ty = 0 ， tz = 0因为t是线性函数，它服从下列等式vt = at -c 2 - v 2x译注 5这里 a 是现在还未知的f(v)译注 6 的函数，再有，这里简要地说一下在 k 的原点，设 t=0 时t=0。5在这些结果的帮助下，利用光（正如光速恒定原理结合相对性原理所要求的）在运动系中测量时也是以速度 c 传播的等式表达，我们很容易地确定x、h、z。对于在时间t=0 发出的沿x正方向的光线vx = ct 或x = act -xc 2 - v 2但是在固定系中测量到的光线相对于 k 的

16、原点的速度是 c-v 译注 7，所以x= tc - v如果我们在x的等式中代入 t 的值，得到x = ac 2xc 2 - v 2考虑沿另两个轴运动的光线也用同样的方法vh = ct = act -xc 2 - v 2当y = t ， x = 0 译注 8c 2 - v 2则h = acy ，V = aczc 2 - v 2c 2 - v 2代入 x的值，我们得到t = f(v)b (t - vx / c 2 )x = f(v)b (x - vt)h = f(v) yV = f(v)z这里b =11 - v 2 / c 2而f仍然是一个关于 v 的未知函数。如果关于运动系的起始位置和t的零点没

17、有别的假定，这些等式右侧就会有一个附加的常数。我们现在必须证明，在运动系中测量的任何光线，也是以速度 c 传播的，就像我们已经6假设的，这正是固定系中的情况；因为我们还没有对光速恒定原理和相对性原理的一致性提供证明。在时间 t=t=0，这时坐标原点对于两个坐标系是相同的，设从这里发射一个球面波，以速度 c 在 K 系中传播。如果（x,y,z）是这个波所到达的一点，则x2 + y 2 + z 2 = c2t 2利用我们的变换公式变换上式，在一些简单计算后，我们得到x 2 +h 2 + V 2 = c2t 2因此被考察的波在运动系中看来也正如一个以 c 速度传播的球面波。这表明我们的两个译注 9基

18、本原理是一致的。在已经导出的变换公式中有一个未知的关于 v 的函数f，我们现在来确定它。为了这个目的我们引入第三个 K系，它相对于 k 系处于沿X轴平移运动的状态，这样K系的原点就沿着X轴以-v 的速度运动译注 10。在时间 t=0 时设三个原点重合，并且当 t=x=y=z=0时设 K系的时间 t为 0。我们将在 K系中的坐标称为 x、y、z，再次应用我们的变换公式得到t = f(-v)b (-v)(t + vx / c 2 )x = f(-v)b (-v)(x + vt )y = f(-v)hz = f(-v)V= f(v)f(-v)t= f(v)f(-v)x= f(v)f(-v) y= f

19、(v)f(-v)z既然 x、y、z和 x、y、z 之间的关系中不包含时间 t，K 系和 K相互之间是静止的，很清楚从 K 到 K的变换必然是同样的变换，这样f (v)f(-v) = 1我们现在来研究一下f(v)的含义。我们注意到 k 系的 Y 轴中在x=0，h=0，z=0 和x=0，h=l，z=0 之间的部分。Y 轴的这部分是一根垂直于它的轴、相对于 K 以速度 v 运动的棒。它的两个末端在 K 中的坐标为：x = vt ， y =l， z = 0f(v)111和x2 = vt ， y2 = 0 ， z2 = 0因此在 K 中测量的棒长度为 l/f(v)；它给了我们f(v)函数的意义。出于对称

20、性的理由，7很明显一根给定的垂直于它的轴运动的棒的长度，必然仅依赖于速度而与运动的方向与感受无关。运动棒的长度在固定系中不变。因此有 l/f(v)= l/f(-v)，或f (v) = f(-v)从这个关系和前一个关系可以发现 l/f(v)=1，所以我们已经得到的变换公式变成了t = b (t - vx / c 2 )x = b (x - vt)h = yV = z这里b =11 - v 2 / c 2?4. 得到的公式对于运动的刚体和运动的时钟的物理意义我们考虑一个半径为 R 的刚体球，相对于运动系 k 静止，它的中心处于 k 的坐标的原点。这个相对于 K 以 v 速度运动的球面有等式x 2

21、+h 2 + z 2 = R2这个等式在时间 t=0 用 x、y、z 表示为(x 21 - v 2 / c 2 )2 + y 2 + z 2 = R 2因此，一个在静止状态下测量到的球型刚体，在运动状态下从固定系看来具有一个旋转椭球的形状，它的轴为R1 - v2 / c 2 ， R ， R这样，虽然球体（以及不论什么形状的刚体）的 Y 和 Z 的尺度不会因为运动而改变，而 X 的尺度会以1: 1 - v 2 / c 2 的比例显得缩短，即，v 越大，缩短的越多。对于 v=c 所有的运动物体从“固定”系看来收缩成了一个平面。对于大于光的速度我们的认知就显得无意义了；然而，我们应该认识到，在我们的

22、理论中光速就是物理上的极限速度。很清楚，在一个匀速运动的坐标系看来，处于“固定”系中的静止物体会发生同样的现象。进一步，我们设想这些用于标记相对于固定系静止的时间 t，以及相对于运动系静止的时间t的时钟中的一个，被置于 k 系的原点，因此它是用来标记t的。当从固定系看去，这个8时钟的速度是怎样的呢？在数值 x、t 以及与时钟位置有关的t之间，我们显然有 x=vt 和t =1(t - vx / c 2)1 - v 2 / t 2所以t = t 1 - v2 / c2 = t - (1 - 1 - v2 / c2 )t由此，这个时钟标记的时间（从固定系看来）会每秒慢1 - 1 - v2 / c2

23、秒，或者忽略四阶以上的级数慢 12 v 2 / c 2 译注 11。从这里可以得出以下不寻常的推论。如果在 K 的 A 和 B 点有两个时钟，在固定系看来是同步的；如果在 A 的时钟以速度 v 沿 AB 运动到 B，当它到达 B 时两个时钟不再同步，而那个从 A 到 B 的时钟将滞后于停留在 B 的时钟 12 tv 2 / c 2（略去四级以上的阶数），t 是从A 到 B 运动的时间。很显然，当时钟沿着任意折线从 A 运动到 B，以及当 A 和 B 点重合时，这个结论仍然成立。如果我们假设这个对于折线已被证明的结论对于一条连续曲线仍然有效，我们就得到这个结论：如果在 A 点的两个同步时钟之一以

24、恒定速度沿一条封闭曲线运动直到它返回 A，旅程持续 t 秒，那么以保持静止的那个时钟为准，到达 A 的运动时钟将会慢 12 tv 2 / c 2 秒译注12。由此我们肯定在其它条件不变下，一个在赤道上的平衡式时钟译注 13 较之于位于两极上的同样精度的时钟走时必然要慢一个非常小的量。?5. 速度的合成在以速度 v 沿着 K 系的 X 轴运动的 k 系中，设一个点按照下列等式运动x = wxt,h = wht,z = 0这里 wx 和 wh 为常数。必然的：该点的运动与 K 系相关联。如果在?3 导出的转换公式帮助下，我们将 x,y,z,t引入到该点的运动方程中，我们得到9x =wx + vt,

25、1 + vw/ c 2xy =1 - v 2/ c 2w t,1 + vw / c 2hxz = 0这样对于我们的理论速度的平行四边形法则只有对于一级近似才成立译注 14。我们设V 2w2a = d x2 d y2= + d t d t= wx2 + wh2-1t a n wh / wxa 则被看作是 v 和 w 之间的角度。在一些简单的计算之后我们得到译注 15V = (v 2 + w2 + 2vwcos a)- (vwsin a / c)2 1 + vwcos a / c 2一个有用的说明是，这个最终速度的表达式中的 v 和 w 是对称关系。如果 w 也是沿着X 轴的方向，我们有V =v

26、+ w1 + vw/ c 2从这个等式得出，两个小于 c 的速度的合成，结果总是一个小于 c 的速度。比如如果我们令 v=c-k，w=c-l，k和l是正的并且小于 c，那么V = c2c - k - l c2c - k - l + kl / c进一步得出，不可能通过将光速与一个小于它的速度合成来改变光速。在这种情况下我们得到V =c + w= c+ w / c1当 v 和 w 在同一方向时，我们也可以将按照?3 的两个变换合成来得到 V 的公式。如果在?3 中的 K 和 k 之外，我们再次引入另一个与 k 平行运动的 k系,它的原点以速度 w 沿X轴运动，我们得到 x、y、z、t 变量和相应的

27、 k变量的关系式，与在?3 中得到的区别仅仅是“v”的地方被替代为v + w1 + vw/ c 2译注 16从中我们看出这样的平行变换必然地构成了一个群。我们现在已经推导出了符合我们的两个原理所必需的动力学定律，我们接下来要展示它10们在电动力学上的应用。II 电动力学部分?6. 真空中的麦克斯韦赫兹公式变换。论在运动的磁场中产生的电动力的性质设真空中的麦克斯韦赫兹公式在固定系中成立，所以我们有1 X=N-M,1L=Y-Z,c tyzyz c t1 YL N 1 MZX译注 17=-,=-,c tzxctxz1 Z=M-L,1N=X-Y,c txyxy c t这里的(X,Y,Z)表示电势向量，

28、而(L,M,N)表示磁势译注 18。如果我们在?3 中创建的以速度 v 运动的坐标系中，对于电磁过程运用其中导出的公式，译注 19我们得到等式1 Xvv=b N -Y -b M +Z c thczc1 vLvbY -N =-b N -Y cxzcc t 1 vvLb Z +M =b M +Z -cchc t x 1 Lvv=bY -N -b Z +M c tccz h 1 vvXb M +Z =b Z +M -cczc t x 1 vXb N -Y =chc t v译注 20-bY -N cx 这里11b =11 - v 2 / c 2现在相对性原理要求，如果真空中的麦克斯韦-赫兹公式在 K

29、系中成立，它们也在 k 系中成立；那就是说根据对于独立的电或磁荷的作用力来定义的，运动系中的电势和磁势向量(X,Y,Z)和(L,M,N)满足下面的等式：1 X =N -M ,1L=Y -Z ,c thzc tzh1 Y =L-N ,1 M =Z -X ,c tzc txzx1 Z =M -L,1 N =X -Y ,c txhc txh很明显，对于 k 系这两个坐标系的公式必然有严格相同的表达，因为这两个坐标系的公式对于 K 系中的麦克斯韦-赫兹公式都是等价的。进一步，因为除了向量的符号，这两个坐标系的公式都相符，所以对于这两个坐标系中的公式，方程中相同的地方除了一个系数y (v)外必然相符合，

30、这个系数对于同一坐标系公式中的所有方程都一致，不依赖于x、h、z而只依赖于 v。这样我们就有关系X = y (v) X, L = y (v)LvvY = y (v)bY -N , M = y (v)b M +Z ccvvZ = y (v)b Z +M , N = y (v)b M -Y cc如果我们对这组公式求逆，第一步解刚得到的公式，第二步将这些公式用于反变换（从k 到 K），此时的速度为-v，它显示，当我们确定这两个坐标系的公式是相同的，那么y (v)y (-v) = 1。进一步，从对称性的原因出发有y (v) = 1这样我们的公式形式为X = X, L = LvvY = b Y -N ,

31、 M = b M +Z ccvvZ = b Z +M , N = b M -Y cc对于这些公式所阐明的，我们给予下面的解释：设一个带有“一”单位电量的点电荷在12固定系 K 中被测量，也就是当它静止在固定系中时，对于一个一厘米距离处相同的电量给予一达因的力。根据相对性原理这个电荷在运动系中测量时也具有“一”单位的电荷。如果这个电量是相对于固定系静止的，所定义的向量（X,Y,Z）就等于作用于它上面的力。如果该电量是相对于运动系静止的（至少在相关时间内），在运动系中测量到的作用于它上面的力，等于向量（X,Y,Z）。从而上面的等式的前三个可以用下面两种方式来叙述：1. 如果一单位的点电荷在电磁场中

32、运动，作用于其上的，除了电力之外，还有一个“电动力”，如果忽略 v/c 二阶以上的系数，它等于电荷的速率和磁势的向量积，除以光速。（旧的表述形式。）2. 如果一单位的点电荷在电磁场中运动，作用于其上的力等于电荷在那一点受到的电力，也就是我们让电磁场坐标系相对于电荷静止所得到的那种变换。（新的表述形式）对于“磁动势”也同理。我们看到在原有理论中电动势仅仅扮演了一个辅助概念的角色，这种理论导致了电和磁力不能独立于坐标系的运动状态而存在的观念。此外，很清楚的是，当我们考察由相对运动的磁体和导体产生的电流时，这种理论所引起的不对称，现在消除了。而且，关于电动力学的电动势（单极结构）的“机理”的问题就没

33、有意义了（have no point）。?7. 多普勒原理和畸变理论在 K 系中，设离坐标原点非常远的地方有一个电波源，它在包含坐标原点的空间里可以在相当程度上由下列公式近似表示X = X 0 sin F, L = L0 sin FY = Y0 sin F, M = M0 sin F译注 21Z = Z 0 sin F, N = N 0 sin F这里1F = wt -(lx + my + nz)c这里（X0,Y0,Z0）和（L0,M0,N0）是由波阵列的振幅定义的向量，而 l、m、n 是波面法线的方向余弦。我们希望得知当这些波由一个在运动系 k 中静止的观察者观测时的构造。应用?6 中的关于

34、电和磁势的转换公式，以及?3 中的坐标和时间的转换公式，我们直接得到13X = X 0 sin F,L = L0 sin FY= b (Y0- vN0= b (M 0+ vZ0/ c)sin F/ c)sin F , MZ= b (Z 0+ vM= b (N0- vY0/ c)sin F0 / c)sin F , NF = wt - 1 (lx + mh + nz ) c这里w = wb (1 - lv / c)l =l- v / c 译注 221- lv / cm =mb (1- lv / c)n = b (1-nlv / c)从w的等式可以看出如果一个观察者以速度 v 相对于无穷远处的频率

35、为u的光源运动，“光源-观察者”的连线与观察者运动速度构成角度f，以这样的方式，在相对于光源静止的坐标系中，观察者感受到的光的频率u由下式给出n =n 1 - cosf v / c1 - v 2 / c 2这就是任何速度下的多普勒原理。当f=0 公式就有清楚的形式n =n1 - v / c1 + v / c我们看到，和传统观点相反，当 v=-c，u=。译注 23如果我们将运动系中的波面法线（光线方向）与“光源-观察者”连线之间的角度称为f，关于f的等式形式为cosf =cosf - v / c- cosf v / c1我们仍要找到当波在运动系中显示的振幅。如果我们将电或磁势的振幅根据它在固定系

36、或运动系中的测量分别称作 A 或 A，我们得到A2= A2 (1 - cosf v / c)2 译注 241 - v 2 / c 2这个等式，如果f=0，简化为14A2= A2 1 - v / c1 + v / c从这些结果导出，对于一个以速度 c 逼近光源的观察者，该光源必然呈现出无限大的亮度。?8 光线能量的传播。作用在全反射镜上的辐射压力理论由于 A2/8p等于每单位体积的光的能量译注 25，按照相对性原理，我们就必然将 A2/8p作为运动系中的光的能量。这样如果无论在 K 或 k 中测量一个光包的体积都是相同的，A2/A2就是给定的光包在“运动中测量”与“静止中测量”的能量之比。但是情

37、况并非如此。如果l、m、n 是固定系中的光的波面法线的方向余弦，没有能量可以穿越一个以光速运动的球形表面：(x - lct )2 + (y - mct)2 + (z - nct )2 = R2因此我们可以说这个表面永久包围了相同的光包。我们来探究一下在 k 系中看到的表面包围的能量，也就是，相对于 k 系的光包的能量。球面在运动系中看到的成为了一个椭球面，在时间t=0 时，它的等式为(bx - lbxv / c)2 + (h - mbxv / c)2 + (z - nbxv / c)2 =R2如果 S 是球的体积，S是椭球的体积，则经简单的计算有= 1 - v 2 / c 2S 1 - cosf v / cS这样，如果我们将在固定系中测量到的这个表面包围的光能称为 E，将在运动系中测量到的称为 E，我们得到E=A2 S=1 - cosf v / c 译注 26EA2 S1 - v 2 / c 2这个公式，当f=0，简化为= 1 - v / cE 1 + v / cE值得注意的是一个光包的能量和频率都按照相同的方式随观察者的运动状态而改变。现在设x=0 坐标面为一全反射面，在?7 中描述的平面波在