传染病模型SISIRSIS

1、数学模型实验一实验报告10学院： 专 业：姓 名：学号：_ 实验时间： 实验地点： _一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a. 求解微分方程的解析解b. 求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型 来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病 蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在 人类间传播的大概情况。模型一（SI模型）:（1）模型假设1. 在疾病传播期内所考

2、察地区的总人数 N不变，人群分为健康人和病人，时 刻t这两类人在总人数中所占比例为 s（t ）和i （t ）。2. 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 a, a成为日接触率，当病人与健 康者有效接触时，可使其患病。（2）建立模型根据假设，每个病人每天可使as (t)个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni(t)，所以每天共有aNs( t)i( t )个健康者被感染，即病人的增加率为:Ndi/dt二aNsi又因为 s(t)+i( t)=1再记时刻t=0时病人的比例为i0 则建立好的模型为:di不 ai(1 i)i(0)=i0(3)模型求解(代码、计算结果或输出结果)syms a i t i0:日接

3、触率，i :病人比例，s :健康人比例,i0 :病人比例在t=0时的值i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t);y二subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI 模型的it曲线FJiEIKV 2SI模型的di/dti 曲线(4)结果分析由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时，取到最大 值，即在t-inf时，所有人都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS模型

4、模型二(SIS模型)(1)模型假设假设条件1.2与SI模型相同；3. 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u,成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt二aNsi-uNi且 i (t)+s(t)=1 ； 则有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定义k=a/b，可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数, 成为接触数。则建立好的模型为：: aii (1 1/k) dti(O)=iO;(2)模型求解(代码、计算结果或输出结果) syms a i u t i0 % a:日接触率，i :病人比例，u：日治愈率，i0 :

5、病人比例在t=0时的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(0)=i0,t)%的i t解析式 syms k% k k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(0)=i0,t)%的i t解析式%给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像 y二subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);%为例 ezplot(y,0,100)pause%t的增加,i的变化 gtext(1/k)求用u表示:接触数求用k表示k1的情况，以k=2作i t图，分析随时间legend(k1本例中 k=2) figure i=str2double(i); i=0:0.01

6、:1; y=-0.3*i.*i-1/2; plot(i,y) % gtext(1-1/k, 在此图中为 0.5) legend(k=2) y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02); %k=0.8 为例 ezplot(y,0,100) %随时间 t 增加， i 的变化 legend(kfigure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8); plot(i,y) %像 legend(k=0.8)作 di/dt i 的图像k gtext(k1）SIS 模型的i t曲线（k1）SIS模型的di/dt i曲线（k1）SIS 模

7、型的i t曲线（k1时，i （t）的增减性取决 于i0的大小，但其极限值i（ 乂）=1-1/k随k的增加而增加；当k0)和i0(i00)(不妨设移出者的初始值r0=0)，则SIR模型的方程可以写作dtdsdtsi i,i(0) tosi, s(0)So(3) 模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算:设 1，03i(0) 0.02，s(0) 0.98，用 MATLA软件编程:functiony二ill(t，x)a=1;b=0.3;y二a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0二0.02,0.98;t,x=ode45(i11,ts,x0);t,xplo

8、t(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)i(t),s(t)的图形s图形(相轨线)表1i(t), s(t)的数值计算结果t012345678i(t)0.0200.0390.0730.1280.2030.2790.3310.3440.324002535247s(t)0.9800.9520.9010.8160.6020.5430.3990.2830.202059978597t91015202530354045i(t)0.2860.2410.0780.0220.0060.0010.0000.000038731751s(t)0.1490.1140.

9、0540.0430.0400.0400.0390.0390.039353481998(4)结果分析i(t)，s(t)的图形见左图，is的图形见右图，称为相轨线，随着t的增加，(s,i)沿轨线自右向左运动。由上图结合表1可知，i(t)由初值增长至约t 7时达到最大值，然后减少，t ，t；s(t)则单调减少t ，s O.0398进行相轨线分析，可得：si平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s，i) D为D (s,t)|s ,i,s i 1在方程(3)中消去dt，并注意到 的定义，可得di 11dt s I |s s i容易求出它的解为(4)1 si(s i) s In -s(5)在定义域D内

10、，上式表示的曲线即为相轨线1不论初始条件s，io如何，病人终将消失，即i (6)ds其证明如下，首先，由(3)，dt0而 s(t)dr0故s存在；由(2)，dt0，而 r(t)dr _故r存在，再由(1)，对于充分大的t有dt 2，这将导致，与r存在相矛盾2最终未被感染的健康者的比例是s，在(5)式中令i 0得到，s是方程s0 i0 ss0(7)在(0,1/ )内的根。在图形上，s是相轨线与s轴在(01/ )内交点的横坐标3若50 1/，则i(t)先增加，当s 1/时，i(t)达到最大值(8)isoio (1 In So)然后哇）减小且趋近于0, s（t）则单调减小至s。4若so 1/ ，则单

11、调减少至0, s（t）单调减少至s。如果仅当病人比例 唯）有 一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/是一个阈值，当so 1/ （即1/so）时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数，即提高阈值1/ ，使得s。1/ （即1/so），传染病就不会蔓延（健康者比例的初始值 s是一定的，通常可认为so接近1）。并且，即使so 1/ ，从（7），（8）式可以看出， 减少时，s增加（通过作 图分析），im降低，也控制了蔓延的程度，我们注意到，在/中，人们的卫生水平越高，日接触率 越小；医疗水平越高，日治愈率 越大，于是 越 小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，s s?1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被s个健康者交换，所以当so 1/，即S