导数中的“端点效应”问题

1、导数中的“端点效应”问题不等式恒成立求参数的取值范围的题目一般形式是：当 x x0 时， 不等式g(x) f(x,a) 0恒成立，求实数a的取值范围。一般解法主要有两种：一是直接求函数g(x) f(x,a)的最值；二是 把参数a分离出来，得到a h(x)或a h(x)的形式，然后再求函数h(x)的 最值。纵观近几年的高考试题， 利用导数求不等式中某一参数的试题可 以考虑使用“端点效应” ，即对某个端点进行验证。基本原理：设函数 ?(?)含参数?，且 x A， ?( ?) 0 恒成 立的？的取值范围为？。 若X。A，由？?(？?0 ) 0 ? C,(此 时？ ？?.)且当 C时，？( ？) 0

2、恒成立，则？二？?.说明：1. “此时？ ？ ?”，是因为？ ？ ？, ？( ？) 0 恒成立的取值范围是由 ？取集合？中每一个值使 ？ (？)成立的？的 所有取值范围的交集确定 .2. 设函数？(？)含参数？，且 x A， ？(？) 0 恒成立的？ 的取值范围为？，贝S xd A，使得？?(？?) 0成立的？的取值范围 为 CU B ；所以特称命题转化为全称命题后， 也可以考虑用特殊点效应 .一)端点效应给定原始区间的端点效应例1.已知9 ? - log ? ? 1此时易知原命题成立.例2.已知函数f(x)xIn x(1 )讨论函数？?( ?)的单调性;10成立，求实数？的取值(2)若存在

3、x e,e2，使得 f (x) mx m范围.(2)壬求跌e et e2b f(x)0恨礁立的买知m的星值范崗； cr c2 f(x) m (r - 1) +fit立”1 . 1 , . 1所以09-； A - 1*1) ；.而恤 肿成主的丈Sm的収值范闌为m 从血.f/任*皂陆电工,使祖/X*) ut 寸4n兰0成宜的哦J&tn的取值范團为mA老Wh通过辖化为全舂宿題忆 阳觸点效禹 軽松解逵问騒 但如爬亶按去求解.由于牵涉对診败的分焚讨论.恐不畅蘇決问題冇賢趣的阿“不妨试-试根据以上分析可知，若不等式g(x) f(x,a) 0具有如下特点:验证端点x Xo时，发现有g(Xo) f(Xo,a)

4、 0成立，也就是不等式中等号成立的条件恰好是已知区间的一个端点，那么，不等式g(x) f (x, a) 0成立就化为不等式g(x) g(x)成立，假设函数g(x)在xo,)上是单调增函数，就可以确定实数a的一个恰发的范围，使g(x) 0成立，即找到一个使不等式g(x) f(x,a) 0成立的充分条件。 接下来还需要证明，不在这个范围内的实数a，不能够满足条件g(x) f (x, a) 0。这时只需要找到一个以xo为端点的区间(xo,xj，当x(Xo, xj时，g (x) 0，从而g(x)在(xo,xj上是减函数，因此有 g(x) g(x) 0成立，这与g(x) f (x,a) 0矛盾，而区间(

5、x。,/)的得到只 需要通过解不等式g(x) 0。例3.已知函数f(x)ax。1.已知函数f (x) x3 ax函数f(x) 1x3 mx2 3m2x 1在区间1,2上单调递增，则实数m的取3值范围是. 已知函数f (x) x3 3(a 1)x2 6ax，当a 0时，若函数f (x)在区间 1,2上是单调函数，求a的取值范围. 【2008江苏】设函数f(x) ax3 3x 1，若对于x 1,1总有f(x) 0恒成立，贝S a=. bx c在区间1,0上单调递减，则a2 b2的 取值范围是(1)设a 0 ,讨论y f (x)的单调性;(2)若对任意x (0,1)恒有f(x) 1，求a的取值范围。

6、例4.设函数f(x) ex 1 x ax2。(1) 若a 0时，求f(x)的单调区间；(2) 若当x 0时，f(x) 0，求a的取值范围。函数在端点处的取值有以下三种情形：(1) f(x)在区间a,b的端点a和b处均有定义且f(a) 0，f(b) 0;(2) f(x)在区间a,b的端点a或b处无定义或区间是无限区间a, , ,b ；(3) f(x)在区间a,b的端点a或b处有f(a) 0或f(b) 0。(二) 端点处的取值有意义且不为0例5【2008天津】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) x2，若对任意的x t,t 2，不等式f(x t) 2f(x)恒成立，则t的取值范围

7、是()A. 2,B- 2,C. 0,2D.2, 1 2,例6.若f(x) ax2 (3 a)x 2 a 0在0,1上恒成立，则实数a的取值范围是【变式1】【2013全国卷】已知函数f(x)x3 3ax2 3x 1，当 x 2,(1)证明：当x1时,f(x)x(2)设当x 0时,f(x)注，求a的取值范围时，f(x) 0，求a的取值范围【变式2】【2012江西】已知函数f(x) ax2 (a 1)x 1ex在0,1上单调递减，求a的取值范围。【变式3【2010天津】已知函数f (x) ax3 - x2 1, a 0，若在区间2丄,例7.设函数f(x)上f(x) 0恒成立，求a的取值范围。2 2(

8、二)端点处的取值没有意义且趋于无穷f(x) Inx的定义域是0,，且当X趋于0时，f(x) Inx趋于负无穷，当x趋于 时，f(x) Inx趋于正无穷，为了后面方便表述，记f(0),f()。然后不管函数f(x)在区间的端点a处有没有意义，也不管a是否为无穷，我们均记f(a)为当x趋于a时f(x)的值。这 样的记法为了后面的叙述。例8.【2012新课标】当0 x 1时，4x logax，则a的取值范围是()a. 0,-2B. ,1 C. 1, 2 D. 2,22 2例9.【2009江西】已知函数f (x) 2mx2 2(4 m)x 1,g(x) mx，若对于 任一实数x， f(x)与g(x)的值至少有一个为正，则m的取值范围是【变式1】不等式loga(x2 2x 3)1(x 2)恒成立，则实数a的取值范x围是()A.B.C.1,3 D.3,(三) 变形后验证端点例10.已知函数f(x)aln xx 1曲线yf(x)在点(1,