巧用辅助圆,妙解几何题

1、巧用辅助圆，妙解几何题在一些数学题中，看似与圆毫无关系但是用常规的解题方法却无法解决问题，而通过题中的某些条件构造辅助圆， 运用圆的知识进行解答， 往往就会使题目简单化， 从而使难题迎 刃而解本文结合一些实例，探析如何巧用辅助圆妙解几何题一、几何问题中的求线段长度求线段的长度是初中数学比较常见的问题 该问题的常规解法是通过做垂直线构建直角 三角形从而运用勾股定理或是巧用面积公式 但是在一些问题中，通过直接作出垂线，往往 会使图形更加复杂，从而不能成功解题例1如图所示，在四边形 ABCD中，AD/BC，已知BC CD AC 2 3，AB 6 则 BD _.解析 通过题干中的条件 BC CD AC

2、，我们可以想到以 C为圆心，BC为半径作 圆根据圆的性质：直径对应的圆周角为直角，可以延长 BC交于O C于点E，连接DE , 如图所示，此时 VBDE为直角三角形.QAD/BC , AB DE .6，由勾股定理得BD 、. 42 BD.点拨 根据题干中的线段相等，从而构建辅助圆，接着利用圆的性质进行解题其中需要注意的是，虽然辅助圆能做出，但是要想解题，就要对圆的性质有一个深刻的理解二、几何问题中的求角的度数求角的度数问题一般都是以三角形为载体，该问题的常规解法是利用三角函数的知识去解答，但是由于初中数学只学习了一些特殊的三角函数值且在直角三角形的载体中当遇到一般的三角形，此时学生往往会无计可

3、施例2 如图所示，在VABC中，其中AB AC , BD是 ABC的平分线，BD AD BC，贝U A _解析 由题意得，本题要求的是A，由于此题告知任意一个角的大小且 VABC也不是直角三角形，因此运用三角函数的知识是很难解答该题的由题干中BD平分 ABC，可得 ABDDBC 作VABC的外接圆，如图所示根据圆的性质可得， AD DE .因为四边形ABED为内接四边形，所以 ABC EDC C，所以2 C DEB ,DE EC因为BDADBCBEEC 且 AD DEEC，所以BEBD因为DEBBDE 2C ,在VBDE中，DEBBDEDBE180,即4 C -2C 180,得C40 在VAB

4、C中，A ABCC180,得A 100点拨 此题是根据角平分线从而想到画出三角形的外接圆，然后找出各角之间的关系进行解答的因此，在求解角的度数时，要充分运用辅助圆，找出相等的角，最后通过运用三 角形内角和为180列出式子求解此类题型的难点在于，如何画出辅助圆三、几何问题中的求最值求最值的问题在中考中是常见问题，其一般的思路就是设未知数，然后寻找关系列出函数表达式，即可解答出虽然解题思路清晰，但是此类题型的难点就是在如何将条件整合起 来，找出其之间的关系，例3如图所示，在RtVABC中，BAC 30，AB 2,3，动点P、Q分别在AB、AC 上，CPQ 90，则 CQmin _解析 经过审题后，

5、感觉 CQ就是独立的，无法向已知条件上靠，唯一可以用的就是CPQ 90，但是无法运用勾股定理，因为三条边都是未知的但是通过仔细审题，从条件 CPQ 90出发，可以想到圆的直径对应的圆周角为直角此时可以试一下，看画出辅 助圆对解题有无帮助通过图可以看出，要想CQ最小，AB与。O要相切此时就可以根据OP AB , OP OC，可得 APQ 30,此时设 PQ OQ OP OC r ,3r AC cos30 gAB 3，解得 r 1，所以 CQmin 2 点拨 根据题干中条件画出辅助圆，借助圆的性质：圆心到切点之间的线段最短是解答本题关键，可见辅助圆对题目的综合分析起了很大的作用其中需要特别注意的是，当题中 给出直角时不能单单的只想到勾股定理也要联想到圆 .综上所述， 在解答几何问题时， 如若发现运用常规方法不能解决问题或是解决过程比较 繁琐， 此时可以通过仔细审题， 挖