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文档简介

向量空间的基、维数与坐标,定义1 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,那末，向量组 就称为向量空间 的一个基,称为向量空间 的维数，记为 ,并称 为 维向量空间,1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,3）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为,2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的秩,例如，在Rn中， 是它的一组基 ，称为标准基，因此 Rn 是n维向量空间,由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定 的。并且向量空间可以由它的任一组基 生成。因 此，任给 ，有惟一的表达式 ，称 为 在基 下的坐标,由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是 不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系,其中矩阵 称为由基 到,即,基 的过渡矩阵,设 和 是Rn中两组不同的基。则它们是等价的 即可以相互表示,设,从而,例 1,证,例 2,解,小结,一）、向量空间的基和维数： 基：向量空间的一个极大线性无关组，不惟一。 维数：极大无关组中向量的个数。 求向量空间基和维数的方法：找到一个极大无关组,二）、向量的坐标 坐标：基是向量空间的一个极大线性无关组，从而任 一向量可以被惟一线性表示。线性表示中的系 数就称为此向量在这组基下的坐标。 坐标变换：基不惟一，从而坐

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