前n个自然数的平方和及证明

1、.帕斯卡与前n个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.191662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n个自然数的平方和。这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n1）3n33n23n1，移项可得（n1）3 n33n23n1，此式对于任何自然数n都成立。依次把n1,2，3，n1，n代入上式可得23 13312311，33 23322321，43 33332331，n3（n1）33（n1）23（n1）1，（n1）3 n33n23n1，把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n1）3 1；而n个等式的右边各项，我

2、们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到（n1）3 13Snn，现在这里Sn1222n2。对这个结果进行恒等变形可得n33n23n3Snn，2n36n26n6Sn3n23n2n移项、合并同类项可得6Sn2n33n2nn（n1）（2n1），Snn（n1）（2n1），即122232n2n（n1）（2n1）。这个方法把所要计算的前n个自然数的平方和与已知的前n个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前n个连续自然数的平方和公式的

3、最新证明方法袁志红关于前n个连续自然数的平方和：的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.我们先来计算：=11+22+33，即1个1与2个2与3个3的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表： 12 2 3 3 3把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表： 33 2 3 2 1 再把数表顺时针旋转120度得到数表： 32 3 1 2 3观察、三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？不难发现：最顶层的三个数字是：1、3、3；第二行左侧三个数字是：2、3、2；第二行右侧三

4、个数字是：2、2、3；第三行最左侧三个数字是：3、3、1；第三行中间三个数字是：3、2、2；第三行最右侧三个数字是：3、1、3.通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是7.每个数表都是6个位置，所以三个数表数字之和：共6个7，而这三个数表的数字都是一样的（因为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和为：673.而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1个数，第二行排2个数；第三行排3个数，所以共排了：1+2+3=6个数字。所以=（1+23）3（3+1）6；同理也可以采用上面的方法推导出来： 1 2 2 3 3 3 n n n nn n n n n n顺时针旋转120度，得到： n n n-1 n n-1 n-2 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 4 3 2 1把数表再顺时针旋转120度，得到： n n-1 n n-2 n-1 n n-3 n-2 n-1 n 1 2 3 n-1 n三个数表对应位置数字之和都是：1+n+n=2n+1,每个数表共排数字：1+2+3+4+n=n(n+1)