二重积分学习总结

1、 高等数学论文 二重积分学习总结 姓名：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：21 日2月6年2013完成时间： 二重积分 【本章学习目标】 理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重

2、积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一Dn个小区域成是将区域的分法要任意，二是在每个?,L?,?n12小区域上的点的取法也要任意。有了这两个“任意”，?(,?)iiii如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值时总有同一?0?D上的二重积分存在。在区域个极限，才能称二元函数 )yx,f(2明确二重积分的几何意义。 DD为底，以表示以区域0，则(1) 若在上?)df(x,y)y,(fxD为曲顶的曲顶柱体的

3、体积。特别地，当1时，?)d,(fxy)(y,xf()f,xyD表示平面区域D的面积。 (2) 若在D上0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二)yf(x,重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 ?)dx,yf(D(3)若在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域)f(x,y上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和?)dx,yf(D(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在

4、用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数D上的最大值、在闭区域最小值的方法求出其最大值与最小值，)yf(x,再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界. Dn个小区域成 用任意两组曲线分割同时分割?，?,L?,?,n21用表示它们的面积，其中任意两小块和除?)ji?(?.n1,2,?L,ijiiii小块的面积.又表示第边界外无公共点。既表示第 小块,?in ?作和式近似、求和 对任意点 ,?.f(,?)?(,)?iiiiii1i?取极限 若为的直径，记若极限,?,?max,L,iin21n ?)lim,f

5、(iii?0?1i?D的分法，也不依赖于点存在，且它不依赖于区域的取法，称?)(,iifx,yD上的二重积分. 在此极限为记为( )n ?limy)d?f(xf(,).ii?0?1?iDfx,yDxy为积分变元，为积分区域，(为面积微)为被积函数，称、?d元(或面积元素). 2.二重积分 的几何意义 ?)dyf(x,DDfx,y0D为底，以()(1) 若在，则上表示以区域?)dyx,f(Dfx,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.( Dfx,y0Oxy面的下方，二(2) 若在)上，则上述曲顶柱体在(重积分 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 ?)dyf(x,Dfx,yDD的另一些子区域若在(的某些

6、子区域上为正的，在)(3)上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和?)dy(fx,DOxyOxy平面之下的曲顶柱体的平面之上的曲顶柱体体积减去(即在体积). 3二重积分的存在定理 fx,yDfx,y)D上的二重积分)在有界闭区域(上连续，则若在(fx,yD上必可积).)在(必存在即 (fx,yD上除去有限个点或有限个光)若有界函数(在有界闭区域fx,yD .可积在)(滑曲线外都连续，则4二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函fxyg(x,y)D上都是可积的. )，数 (在区域,性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的

7、代数和，即 ?.)d(x,(x,y)dyxf(x,y)?g(,y)d?gfDDD性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 ?).ky)d为常数?k (f(xkf(x,y)d,DDDDD，,可以分为两个区域它们除边界外无公共点，性质3 若21则 ?.,y?)df(x,y)dx?f(x,y)df(DDD21DfxySDD表示区域,()=1性质4 若在积分区域，且用上有)(的面积，则 ?).DSd(?Dfxygxy)，则有(5 若在D上处处有 (,)性质 ?.)dx,y)d?yg(f(xDD 推论?.)dxf(,f(xy)dy? DDDmfxyMSD)上处处有(，且(为,)估值定理性质6(

8、) 若在D的面积，则 区域 ?).(Dy)d?MS?mS(D)xf(,DfxyD上连续，设) )(,在有界闭区域二重积分中值定理性质7(D上存在一点 使,则在?),( ?).DS,()f(x,y)d?f(D【数学思想方法】 二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。 2 在直角坐标系中二重积分的计算 本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。 直角坐标系中二重积分计算的基本技巧： D的形状不能简单地用类似 (1)在

9、定积分计算中，如果?(yx?)(y)?(x)?y?(x?D的形式来表示，则我们可以将或2121?a?x?bc?y?d?分成若干块，并由积分性质 ?.)d,y?f(x)d(fx,yy?f(x,)d DDD21对右端各式进行计算。 D的形状，还要考虑被积函交换积分次序不仅要考虑到区域(2)数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对积yy积分，再对积分最终计算的结果应该是还是先对积分，分，再对D，并按照新的积相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D的边

10、界曲确定分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：D的草图； 线，画出D边界曲线的交点坐标； 求出Dxy的单值函数； 将或的边界曲线表示为D分成几块； 考虑是否要将xyD. 用的不等式表示,注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：()保证DXYxy)(型),)若先对为积分；型(各层积分的原函数能够求出；(DXYD的分块最少。时，要使对 型，且满足)若(既为型又为)(3) 利用对称性等公式简化计算 fxyD上连续，则在区域, 设)(Dx轴对称关于当区域 若，则0； ?)d(fx,y)(,yf(xx,?y)?fDDDx在为若，则2，其中?)dy(x,f)d,yf(x)y)?f(x,?f(

11、x,y1DD1轴上方部分。 Dy轴对称 关于当区域若，则0； ?)dyf(x,)y?f(?x,y)?f(x,DDDy在为，则若2，其中?)dx(,yf)dyf(x,)yx),xy?f(,?f(2DD2轴右侧部分。 Dxy轴都对称轴和关于 当区域若或，则0； ?)df,(xy),(?),?f(xy?fxyf(f?)y?x,?,(xyDDD为，其中若，则4?)df(x,y)dx,yf()f?(x,yf,?y)?(?x,y)f(x1DD1在第一象限部分。 轮换对称式 设D关于直线对称，则. ?)dxf(fx,y)d(y,xy?DD【主要概念梳理】 直角坐标系中二重积分计算 fxyD?上连续时, )当

12、被积函数0(且在,?(x)?y?(x?XD 若 - 为 型区域21:D?a?x?b?(xb)则 2?y)dx,?ydxf(f(x,y)dxdy?)a(Dx1?(yx?)(y)?DY 型区域为,若 21:D?c?y?d?(yd) 则2?xdyy)df(x?(fx,y)dxdy,?)y(Dc1XY 型区域 , 型区域又是则有说明:若积分区域既是 ?(y)db(x)22?fdy(x,yxxf(,y)ddy?dx)dxyf(x,)dy? ?)(Dax)y(c113 在极坐标系中二重积分的计算 极坐标系中二重积分计算的基本技巧： 1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函(数为 22),

13、x?yf(xy等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。 )f(),f( yx【主要概念梳理】 利用极坐标系计算二重积分 Dr 为, =分划区域常数及射线 = 在极坐标系下, 用同心圆常数 。则?)?n(k?1,2,L,dsinr)dr?df(rcos,rf(x,ykDD 特别地?)()?r?(? 若21,:D?)( 则有2?rdsin)rdrd,?rdsinf(rcosrf(rcos,r?)D(1?)?r?(0? 若:D?)( 则有?rd,rdrrdsin?rdf(rcosf(rcos,rsin)?0D ?)r?(0? 若:D?2?0?)2( 则有 ?rd)(,rsind)rrdf?rdcosr,rcosf(rsin00D 二重积分的应用 二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。 【主要概念梳理】 (1) 空间立体的体积V 设空间立体由曲面与所围成， 在)(x,yx,y):?z?gf:?z?(xoy?21面投影为平面区域D，并且.则 )y?)g(x,xf(,y或. ?dvV?)d(?yxfV?(,)gxy,?D S曲面面积 (2) ?则，其中为设光滑曲面，为22?dxdy?zzS?1?D)?:z?z(x