高考数学一轮复习人教A版理第2章第4节二次函数与幂函数教案

1、名校名 推荐第四节二次函数与幂函数考纲传真 (教师用书独具 )1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx， y1 x2，y x3 ，yx2， y 1x的图象，了解它们的变化情况 .2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题(对应学生用书第16 页 )基础知识填充 1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式： f(x)ax2bxc(a 0)；顶点式： f(x)a(xh)2 k(a0)，顶点坐标为 (h，k)；零点式： f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1， x2 为 f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bx c(a 0)y ax

2、2 bxc(a0)图象定义域r22值域4acb，4ac b4a4abb单调性在 ，2a 上减，在在 ，2a上增，在 b ， 上增 b， 上减2a2a对称性函数的图象关于直线 x b对称2a2.幂函数(1)定义：形如 yx ( r)的函数称为幂函数，其中x 是自变量， 是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质1名校名 推荐特函yx231 12y xy xy x征数yx性质图象定义域rrr x|x0 x|x 0值域r y|y0r y|y0 y|y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，增增(，0)和(0， )增(0， )减公共点(1,1)知识拓展 若 f(x)ax2bx c(a 0)，则当a0

3、，时，恒有 f(x) 0；当0a0，时，恒有 f(x) 0.0基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数 yax2bxc，xr 不可能是偶函数 ()(2)二次函数 yax2bxc，xa， b 的最值一定是4ac b2.()4a(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点 (0,0) ()(4)当 n0 时，幂函数 y xn 在(0， )上是增函数 ()答案 (1) (2)(3)(4)x 2，y 1 ，y4x2， yx5 1， y (x1)2， y x， yax，上2 yx2(a1)述函数是幂函数的有 ()a0 个b1 个c2 个d3 个c 只有

4、yx2， y x 是幂函数，故选 c已知函数2 x5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是 ()3f(x) ax2名校名 推荐a0， 1b，12020c1 ，d 1 ， 02020a 0，a0，1c 由题意知 0，即120a 0，得 a20.4若 f(x) (xa)(x4)为偶函数，则实数a_.4f(x)x2 (a4)x 4a，由 f(x)是偶函数知 a40，所以 a4.5(教材改编 )已知幂函数 y f(x)的图象过点22， 2 ，则此函数的解析式为_；在区间 _上递减12，x2(0， ) 设 f(x)x ，则 2 y21，即幂函数的解析式为1y x 2，单调减区间为 (0， )2(对

5、应学生用书第17 页 )幂函数的图象与性质(1)幂函数 y f(x)的图象过点 (4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是 ()421333(2)(2016 全国卷 )已知 a 2，b3 ，c25，则 ()abacbabccbcadcab(1)c (2)a (1) 令 f(x)x ，由 4 2，12，3名校名 推荐1 f(x)x2.故选 c42212(2)a2343，b33， c 253 53.2 yx3在第一象限内为增函数，又 543，cab. 规律方法 1 幂函数的形式是y xr ，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2 若幂函数 yx r 是偶函数，则 必为偶数 .当 是分

6、数时， 一般先将其化为根式，再判断 .3 若幂函数 yx在 0， 上单调递增，则 0，若在 0， 上单调递减，则 0.跟踪训练已知幂函数n2 3n在，上是减(1)2 2n2) xz )(0f(x)(n(n)函数，则 n 的值为 ()a 3b1c2d1 或 211若2(32a)2，则实数 a 的取值范围是 _(2)(a 1)(1)b(2)1，2(1) 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n13 21， 上是减函数；当时，或 n 3.当 n1 时， f(x) x 2在(0f(x)x)n3 x18 在 (0， )上是增函数故n 1 符合题意，应选b1(2)易知函数 yx2的定义域为 0

7、， )，在定义域内为增函数，a10，所以32a0，a132a，2解得 1a3.求二次函数的解析式4名校名 推荐已知二次函数 f(x)满足 f(2) 1，f(1) 1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式.【导学号 ：97190037】解 法一 (利用一般式 )：设 f(x) ax2 bxc(a0)由题意得4a 2bc 1，abc 1，24acb4a 8，a 4，解得b4， 所求二次函数为f(x) 4x24x7.c7.法二 (利用顶点式 )：设 f(x) a(x m)2 n. f(2)f( 1)，2 11抛物线的图象的对称轴为x22.1m2.又根据题意函数有最大值8， n8.21

8、yf(x)a x28.21f(2) 1， a 22 8 1，解得 a 4，2 f(x) 4 x 12 8 4x24x7.法三 (利用零点式 )：由已知 f(x)10 的两根为 x12，x2 1，故可设 f(x)1a(x2)(x 1)，即 f(x) ax2 ax2a1.4a 2a 1 a2又函数的最大值是8，即 8，解得 a 4，4a5名校名 推荐所求函数的解析式为f(x) 4x2 4x7. 规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：跟踪训练 已知二次函数 f(x)的图象经过点 (4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xr，都有 f

9、(2x)f(2x)，求 f(x)的解析式解 f(2 x) f(2 x)对 xr 恒成立， f(x)的对称轴为 x2.又 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为2， f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x 3)(a0)又 f(x)的图象过点 (4,3)，3a3，a1.所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x 3)，即 f(x) x24x 3.二次函数的图象与性质角度 1二次函数图象的识别及应用设 abc 0，则二次函数f(x) ax2 bxc 的图象可能是 ()d 由 a ， c， d 知， f(0)c 0.babc0， ab0，对称轴 x 2a0

10、，知 a ，c 错误，d 符合要求由bb 知 f(0) c0，ab0，x 2a0，b 错误 6名校名 推荐角度 2二次函数的最值问题(2017 广州十六中月考 )若函数f(x) x22x 1 在区间 a，a2上的最小值为 4，则 a 的取值集合为 ()a 3,3b 1,3c 3,3d 1， 3,3c f(x) x22x 1 (x1)2，图象的对称轴是 x1.因为 f(x)在区间 a，a2上的最小值为 4，所以当 1a 时， ymin f(a)(a 1)24，解得 a 1(舍去 )或 a3，当 a 21，即 a1 时，ymin f(a 2)(a 1)24，解得 a1(舍去 )或 a 3，当 a

11、1a2，即 1a1 时，ymin f(1) 0 4，不符合题意，故 a 的取值集合为 3,3 角度 3二次函数中的恒成立问题已知函数 f(x) x2bx c(b，c r)，对任意的 xr，恒有 f(x)f(x)(1)证明：当 x0 时， f(x) (xc)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式 f(c) f(b) m(c2 b2)恒成立，求m 的最小值解 (1)证明易知 f(x)2x b.由题设，对任意的x r,2xbx2 bxc，即 x2(b2)xcb0 恒成立，2所以(b2)24(cb) 0，从而 cb4 1.2于是 c 1，且 c2b4 1|b|，当且仅当 b2 时等号成立因此

12、2cbc(c b)0.当 x0 时，有 (x c)2f(x) (2c b)x c(c1)0.故当 x 0 时， f(x) (xc)2.(2)由 (1)知， c |b|，则当 c|b|时，有7名校名 推荐mf c f bc2b2bcb2c2b22 22.c bcbb cbc2b1令 t c，则 1 t1，b c21t.而函数 g(t)21 1)的值域为 ，31t(1 t23因此，当 c|b|时， m 的取值范围为2， .当 c|b|时，由 (1)知， b 2，c2.22此时 f(c)f(b) 8 或 0，且 c b 0，22从而 f(c)f(b)m(c b )恒成立3综上所述， m 的最小值为

13、2. 规律方法 1.二次函数的最值问题的类型及求解方法1 类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动 .2 求解方法：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴， 具体方法是利用配方法、 函数的单调性及分类讨论的思想求解 .2.二次函数中恒成立问题的求解思路由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af x ? af x max， a f x ? a f x min .跟踪训练 21，2 ，0都(1)已知函数 f(x) ax 2x2，若对一切 x2f(x)成立，则实数 a 的取值范围为 ()【导学号 ：97190038】1b1a 2，2，c 4， )d(4， )(2)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 x m，m1 ，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是 _(1)b (2)2因为对一切1，2，f(x)0