线性系统的综合与设计.ppt

1、第4章 线性时不变控制系统的综合与设计,综合：在建立数学模型的基础上分析系统的 各种性能及其与系统结构、参数和外 部作用间的关系,系统响应 可控性、 可观性、稳定性,设计：设计控制器，寻求改善系统性能的各 种控制规律，以确保系统的各项性能 指标要求都得到满足,第4章 线性时不变控制系统的综合与设计,本章主要内容 极点配置问题 状态反馈 输出反馈 状态观测器设计 全维观测器 降维观测器 利用状态观测器构成状态反馈闭环系统,第4章 线性时不变控制系统的综合与设计,本章主要内容 利用状态观测器构成状态反馈闭环系统,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,一、状态反馈 1、定义：将系统的每一个状态

2、变量乘以相应 的反馈系数，然后反馈到输入端， 与参考输入相加形成控制律，作为 受控系统的控制输入。 给定单输入单输出线性定常被控系统,选取线性反馈控制律为,状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵,1n维矩阵,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,假设u不受约束,2、基本结构,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则,比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈 阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K 的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系 统达到所要求的性能,此时对应的传递函数矩阵为,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,二、输出反馈 1

3、、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反 馈到输入端与参考输入相加，其和 作为受控系统的控制输入,2、基本结构,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,输出量反馈至参考输入的输出反馈系统的状 态空间方程为,输出反馈控制律为,输出反馈中的 FC 与状态反馈中的 K 相当,但 F 可供选择的自由度远比 K 小， 输出反馈只能相当于一种部分状态反馈,只有当 C=I 时，FC=K，才等同于全状态反馈,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,在不增加补偿器的条件下，输出反馈 的效果不如状态反馈好,但输出反馈在技术实现上很方便,三、从输出到状态矢量微分处 1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反 馈

4、到状态微分处，与参考输入相加 形成控制律，作为受控系统的控制 输入。 2、基本结构,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,假设所有输出量可测， 控制系统状态空间方程为,输出反馈至状态微分处的系统状态空间方程为,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,即,闭环传递函数矩阵为,通过选择矩阵H 也能改变闭环系统的特征值， 从而影响系统的特性,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,五、闭环系统的可控性与可观性 1、定理：状态反馈不改变受控系统的能控 性；但不保证系统的能观性不变,2、定理：输出反馈不改变受控系统的能控 性和能观性,4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征,总结,状态反

5、馈 效果佳 输出反馈 实施方便 状态补偿器,都不改变系统维数,不改变系统的能控性,改变系统维数,不改变系统的能控性和能观性,4.1 极点配置问题,本节主要内容 状态反馈与极点配置 极点配置 状态反馈 输出反馈与极点配置 输出反馈 状态方程,把闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题,4.1 极点配置问题,一、状态反馈与极点配置 1、状态反馈：将系统的每一个状态变量乘以 相应的反馈系数，然后反馈到 输入端，与参考输入相加形成 控制律，作为受控系统的控制 输入。 给定单输入单输出线性定常被控系统,选取线性反馈控制律为,状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵,1n维矩阵,4.1 极点配置问题,假设u不受

6、约束,4.1 极点配置问题,若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则,比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈 阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K 的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系 统达到所要求的性能,此时对应的传递函数矩阵为,4.1 极点配置问题,三、极点配置 (一)、定义:通过选择反馈增益矩阵K,将闭环 系统的极点恰好配置在根平面上 所期望的位置，以获得所希望的 动态性能。 (二)、方法： 1、采用状态反馈 ()定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全可控,4.1 极点配置问题,方法,单输入单输出线性定常系统的状态方程为

7、： 若线性反馈控制律为： 设计状态反馈增益阵K的步骤为： (1)：判断系统状态可控性。 (2)：列写系统矩阵A的特征多项式 确定出的 值,4.1 极点配置问题,3)：寻找变换矩阵P 使系统状态方程变换为 可控标准型。若给定的状态方程已是可 控标准型，则:P = I,4)：写出期望的特征多项式 并确定出 的值,5)：求出状态反馈增益矩阵K,4.1 极点配置问题,例4.1： 已知系统状态方程为 试设计状态反馈控制器，使闭环极点为,解：（1）判断系统可控性,系统状态完全可控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置,2）系统的特征多项式为,3）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式,4.1 极

8、点配置问题,该特征多项式的系数为,4）根据,可求得,5）计算变换矩阵,其逆,因而，所要确定的反馈增益阵,4.1 极点配置问题,例4.2：考虑线性定常系统,利用状态反馈控制,希望该系统的闭环极点为s = -2j4和s = -10。 试确定状态反馈增益矩阵K,解：可控性矩阵为,故系统状态完全可控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置,方法1：系统的特征方程为,4.1 极点配置问题,期望的特征方程为,因为原系统为可控标准型，可得,方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为,4.1 极点配置问题,注意： 1、选择期望极点是一个确定综合指标的复杂问 题，应注意： (1)、对一个n维系统，必须指定n个实极点或

9、共轭极点； (2)、极点位置的确定要充分考虑它们对系统 性能的主导影响及其与系统零点分布状 况的关系；同时还要兼顾系统抗干扰性 和对参数漂移低敏感性的要求。 2、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状 态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影,4.1 极点配置问题,响原系统零点的分布。但若故意制造零极点 对消，则此时闭环系统是不能观的。 3、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设 计较困难。 4、对于低阶系统（n 3），求解状态反馈阵 时，并不一定要进行可控标准型的变换，可 以直接计算特征多项式 （其系数均为的函 数）和特征值，然后与闭环系统希望特征值 相比较，确定出矩阵,4.1 极点配置问题,

10、2、输出反馈 ()定理：用输出至状态微分的反馈任意配置 闭环极点的充要条件是系统可观测。 ()方法,能观标准型变换矩阵,1)、取线性变换 。 将系统化为能观标准型,4.1 极点配置问题,4.1 极点配置问题,特征多项式为,2)、引入反馈阵 后， 闭环系统矩阵为,4.1 极点配置问题,3)、由期望极点得期望特征多项式为,4)、比较 与 的各系数，可得,5)、将在 下求得的 变换到 状态下得,4.1 极点配置问题,注意：当系统维数较低时，只要系统能观， 亦可不化成能控标准型，通过直接 比较特征多项式系数来确定G矩阵,状态观测器存在的条件 全维状态观测器的设计 降维状态观测器的设计,4.2 状态观测

11、器的设计,状态观测器存在的条件,1) 充分条件：受控完全能够观测。 (2) 充分必要条件：受控不能观部分是渐近稳定的,4.2 状态观测器的设计,观测器以受控对象的输入u和输出y为输入量； 观测器的状态 ，应以足够快的速度接近实际受控 对象的状态 ，即满足,4.2 状态观测器的设计,1）基本原理,B,C,A,F,B,C,A,状态观测器,设状态观测器的系数阵为 ，若为单输出系统则状态观测器的系数阵为 ，受控对象的状态方程为 ，输出方程为 状态观测器的状态方程为 得： 齐次方程 结论：满足 的条件是矩阵 的特征值具有负实部，且距 虚轴越远则观测器的状态跟踪实际状态就越快。所以，状态观测器的设计 过程

12、是：人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过来确定状态观测 器的系数阵 的取值,4.2 状态观测器的设计,4) 全维状态观测器设计步骤： 确定系统的能观性，即能观判别矩阵满秩 ； 方法之一： 方法之二： 若受控对象是能观标准型，则由状态观测器的设计极点确定观测器的 希望特征多项式： 受控对象的特征多项式为： 观测器的系数矩阵为,4.2 状态观测器的设计,4.2 状态观测器的设计,例4.3 已知系统,设计状态观测器使其极点为,解：（1）检验可观性,满秩，系统可观，可构造观测器,2）将系统化为可观标准型,系统特征多项式为,4.2 状态观测器的设计,3）引入反馈增益阵,得观测器特征多项式,4）根据

13、期望极点得期望特征多项式,5）比较特征多项式,6）反变换到x,7）观测器方程为,4.2 状态观测器的设计,例4.4 设受控对象传递函数为,试设计全维状态观测器，将其极点配置在10，10,解：该单输入单输出系统传递函数无零极点对消，故系统可控可观。若写出其可控标准型实现，则有,输出反馈H为,维。全维观测器的系统矩阵为,观测器的特征方程为,4.2 状态观测器的设计,期望特征方程为,由特征方程同幂系数相等可得,例4.5 考虑如下的线性定常系统,设系统结构与图4.4所示相同，试设计一个全维状态观测器。又设观测器的期望特征值为,4. 降维状态观测器的设计 （1）问题的提出 （2）降维状态观测器的设计思路

14、 （3）降维状态观测器的设计步骤 （4）降维状态观测器设计的应用举例,4.2 状态观测器的设计,1）问题的提出： 实际系统中部分状态可能直接是系统的输出信号，或通过线性变换后为系统的输出信号，这一部分可以直接从输出信号中提取，而不可测量的部分通过状态观测器重构，这样既能提高反馈信号的准确性，又能减少状态观测器的维数，以降低其造价。一般情况下需要重构的状态维数为（n-m），M维状态变量由输出获取。 返回,4.2 状态观测器的设计,2）降维状态观测器的设计思路 已知受控对象的状态方程为 ，输出方程为 ； 选择变换阵T对原受控对象的状态方程进行线性变换，取 ，变换的目的使受控对象的状态空间表达式变为

15、： 此时，m维状态 由m维输出y对应一一确定，而需要重构n-m维状态,4.2 状态观测器的设计,对需要重新构造的状态写出独立的状态空间表达式,状态方程,输出方程,4.2 状态观测器的设计,对上述n-m维状态空间表达式进行状态重构（依据全维观测器的设计） 为消除导数项，作变量代换，取 得 代入上式 返回原受控对象的状态空间，得对应于原状态空间的降维状态观测器 理论上可以证明取 ，其中分解 ，分解条件 是c1的逆存在,4.2 状态观测器的设计,4.2 状态观测器的设计,已知受控对象的状态方程为 ，输出方程为 ，且状态完全能观。 分解 ，使c1为m维方阵，且逆存在。 取可逆变换阵 使 对受控对象做线

16、性变换得： 降维后的n-m维状态变量 由观测器构置，其状态空间表达式为,根据状态观测器的希望极点确定 ： 令 求得 。 还原到原状态空间的观测器的状态为： 绘制降维观测器的模拟结构图,4.2 状态观测器的设计,4） 降维状态观测器设计的应用举例 解题过程可以简化，因为原状态空间表达式本身满足降维观 测器的构置的基本结构条件，不必选择变换阵T。 判系统的能观性： 满秩。 系统状态n=3，输出m=2，所以n-m=1，只需设计一个一维 状态观测器； 由输出方程 可以看出系统不需变换由状态方程直接得到,4.2 状态观测器的设计,计算状态反馈矩阵 （两个输出一个状态所以为一行两列） 求降维后的n-m维观测器状态空间表达式为： 模拟结构图见书P215。 返回,4.2 状态观测器的设计,