初三数学第15讲：常见方法求概率（教师版）

1、第十五讲 常见方法求概率 1.列表法用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.使用条件：当一次试验中涉及2步并且可能出现的等可能结果数较多时.2.树状图法用树形图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.使用条件：当一次试验要涉及2步或2步以上完成的事件.3.利用频率估计概率：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P利用频率估计出的概率是近似值1.掌握列表法和树状图法求概率的区别。列表法适合于两

2、步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件 2. 概率=所求情况数与总情况数之比 例1同时掷两个质地均匀的骰子，点数的和小于5的概率是考点：列表法与树状图法 分析：首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数的和小于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案解答：解：列表如下：1 2 3 4 5 6 1 23456723456783456789456789105678910116789101112共有36种等可能的结果，点数的和小于5的有6种情况，点数的和小于5的概率是：=故答案为：点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能

3、的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比例2从1，2，3，4，5，从中随机取出3个数，其中三个数的和为正数的概率为考点：列表法与树状图法 专题：计算题；压轴题分析：列出出从5个数中随机取出3个数所有的可能，找出之和为正数的个数，即可求出所求的概率解答：解：从1，2，3，4，5，从中随机取出3个数，所有的可能为：1，3，4；1，3，5；1，4，5；1，2，3；1，2，4；1，2，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共十种，其中三个数和为正数的有：1，2，4；2，3，4；2，4，5三种，则P三个数和为正数=故答案为：

4、点评：此题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比例3从3，1，0，1，3这五个数中，任取两个不同的数分别作为m，n的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（m，n）落在双曲线y=上的概率为考点：列表法与树状图法；二元一次方程组的解；反比例函数图象上点的坐标特征 分析：首先用列表法或树形图得到所用可能的情况，若使点（m，n）落在双曲线y=上，则mn=3，由此得到mn的关系式，再根据恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，即可求出m，n的值，由此可得到点（m，n）落在双曲线y=上的概率解答：解：画树状图得：若使点（m，n）落在双曲线y=上，则mn=3

5、，m=1，3，3对应的n=3，1，1恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，点（m，n）可以是（1，3），（3，1），（3，1），且点（m，n）落在双曲线y=上的概率为，故答案为：点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比例4甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 考点：游戏公平性

6、 分析：运用概率公式计算出相应概率，比较找到最大的概率即可解答：解：掷得朝上的数字比3大可能性有：4，5，6，掷得朝上的数字比3大的概率为：=，朝上的数字比3小的可能性有：1，2，掷得朝上的数字比3小的概率为：=，这个游戏对甲、乙双方不公平故答案为：不公平点评：此题主要考查了游戏公平性，有关可能性大小的问题；用到的知识点为：可能性相等，包含的情况数相等例5某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共50个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在20%，则袋中红色球是 个考点：利用频率估计概率 分析：根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数=总数频率计算即可解答：解：小明通过多次

7、摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在20%，口袋中红色球的个数可能是5020%=10个故答案为：10点评：本题比较容易，考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比例6某同学练习定点投篮时记录的结果如表：投篮次数 100200300400500投中次数 80151238320400则这位同学投篮一次，投中的概率约是 （结果保留小数点后一位）考点：利用频率估计概率 分析：计算出每一组投中次数和投篮次数的比值，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率解答：解：由记录表可知每一组投中次数和投篮次数的比值分别为：0.8；0.755；0.793；0.

8、8；0.8，由此可估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.8，故答案为：0.8点评：本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比A档1将一个正六面体骰子连掷两次，它们的点数都是4的概率是（）A. B. C. D. 考点：列表法与树状图法 分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可解答：解：每个骰子上都有6个数，那么投掷2次，将有66=36种情况，它们的点数都是4的只有1种情况，它们的点数都是4的概率是故选D点评：考查了列表法和树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率

9、P（A）=注意本题是放回实验2已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（）A. B. C. D. 考点：列表法与树状图法 专题：数形结合分析：列举出所有情况，看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可解答：解：共12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为故选D点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比得到所求的情况数是解决本题的易错点3一个立方体玩具的展开图如图所示任意掷这个玩具，上表面与底面之和为偶数的概率为（）A. B

10、. C. D. 考点：列表法与树状图法；专题：正方体相对两个面上的文字 分析：由数字3与4相对，数字1与5相对，数字2与6相对，直接利用概率公式求解即可求得答案解答：解：数字3与4相对，数字1与5相对，数字2与6相对，任意掷这个玩具，上表面与底面之和为偶数的概率为：故选D点评：此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比4一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，则两次摸出的卡片的数字之和等于4的概率（）A. B. C. D. 考点：列表法与树状图法 专题：计算题分析：列表

11、得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的卡片的数字之和等于4的情况，即可求出所求的概率解答：解：列表得：12342345634567所有等可能的情况有8种，其中两次摸出的卡片的数字之和等于4的情况有2种，则P=，故选C点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比5有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（）A随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球考点：列表法与树状图法 分析：根据树形图，

12、可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球解答：解：观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球故选A点评：此题考查了用树状图法求概率的知识注意掌握试验是放回实验还是不放回实验B档6（2015蓬溪县校级模拟）同时掷二枚普通的骰子，数字和为1的概率为 ，数字和为7的概率为，数字和为2的概率为考点：列表法与树状图法 分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可解答：解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（

13、2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）一共有36种情况，数字和为1的概率为0，数字和为7的概率为=，数字和为2的概率为点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比7学校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院慰问老人，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为考点：列表法与树状图法 分析：列举出所有情况，看在

14、同一辆车的情况数占总情况数的多少即可解答：解：设3辆车分别为A，B，C，共有9种情况，小王与小菲在同一辆车的情况数有3种，所以坐同一辆车的概率为故答案为：点评：此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键8某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是考点：列表法与树状图法 分析：先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率解答：解：由树状图可知共有32=6种可能，选看的2场恰好都

15、是乒乓球比赛的有2种，所以概率是点评：画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比9把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x、y、5的三条线段能构成三角形的概率为（注：长度单位一致）考点：列表法与树状图法；三角形三边关系 分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率解答：解：列表得：xy1231（1，2）（2，2）（3，2）2（1，4）（2，4）（3，

16、4）3（1，6）（2，6）（3，6）因此，点A（x，y）的个数共有9个；则x、y、5的三条线段能构成三角形的有4组：2，4，5；3，4，5；2，6，5；3，6，5；可得P=故答案为：点评：此题主要考查了三角形三边关系和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比10在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 个考点：利用频率估计概率 分析：由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白

17、球个数即可解答：解：设白球个数为：x个，摸到红色球的频率稳定在25%左右，口袋中得到红色球的概率为25%，=，解得：x=12，故白球的个数为12个故答案为：12点评：此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键C档11某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复下表是由试验得到的一组统计数据：摸球的次数 100200300400500600摸到白球的次数 58118189237302359摸到白球的频率 0.580.59

18、0.630.5930.6040.598从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 （结果精确到0.1）考点：利用频率估计概率 分析：用所有频率的平均数即可表示时间发生的概率解答：解：是白球的概率为：=0.6，故答案为：0.6点评：本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率12一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根据上述数据，小明

19、正估计口袋中的白球的个数是12考点：利用频率估计概率 分析：小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数解答：解：3=12（个）故答案为：12点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可13某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为 个考点：利用频率估计概率 分析：首先求得摸到红球的频率，然后利用概率公式求解即可解答：解：摸到红

20、球、黄球的频率分别是30%和45%，摸到蓝色球的频率为130%45%=25%，设有蓝球x个，根据题意得：=25%，解得：x=15，故答案为：15点评：此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键14在一个不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在40%附近，则口袋中白球可能有 个考点：利用频率估计概率 分析：先设口袋中白球可能有x个，根据摸到红球的频率稳定在40%附近，得出口袋中摸到黑色球的概率为40%，再根据概率公式列出方程，求出方程的解即可解答：解：设口袋中白球可能有x个，摸到红球的频率

21、稳定在40%附近，口袋中摸到红色球的概率为40%，=40%，解得：x=12，故答案为12点评：此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比15在一个不透明的箱子里放有x个除颜色外其它完全相同的球，这x个球中白球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在30%，那么可以推算出x最有可能是 个考点：利用频率估计概率 分析：根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数m，求出即可解答：解：m=330%=10（个）故答案为：10点评：此题主要考查了利用频率估计概率，利用

22、总体=部分的个数除以它占的比例得出是解决问题的关键1小明是学校乒乓球男队的3名队员之一，小红是学校乒乓球女队的3名队员之一，现在学校分别从两队中各随机抽取一名队员组成一对混合双打组合，小明和小红正好组成混合双打组合的概率是考点：列表法与树状图法 分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答：解：设小明为1号，其他男运动员为2，3；小红为1，其他女运动员为2，3画树形图得：由树形图可知：小明和小红正好组成混合双打组合的概率是故答案为：点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

23、两步完成的事件2甲、乙二人玩掷骰子游戏，规定同时掷出两枚骰子，点数和为奇数，甲得1分，点数和分偶数，乙得1分，谁先积满20分为胜，你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）考点：游戏公平性 分析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数和为奇数、点数和分偶数的情况，利用概率公式即可求得甲胜与乙胜的概率，比较大小，即可知是否公平解答：解：列表得：678910111256789101145678910345678923456781234567123456共有36种等可能的结果，点数和为奇数的有18种情况，点数和分偶数的也有18种情况，P（甲胜）=P（乙胜）=这个游戏公平故答案

24、为：公平点评：本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平3在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有 个白球考点：利用频率估计概率 分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解解答：解：共试验40次，其中有10次摸到黑球，白球所占的比例为=，设盒子中共有白球x个，则=，解得：x=12故答案为：12点评：本题考查利用频率估计概率大量反复试

25、验下频率稳定值即概率关键是根据白球的频率得到相应的等量关系4某水果公司新进10000千克柑橘，随机抽取若干柑橘进行“柑橘损坏率”统计，获得的数据记录如下：柑橘总质量（n）/千克200250300350400450500损坏柑橘质量（m）/千克19.4224.2530.9335.3239.2444.5751.54柑橘损坏的频率（）/千克0.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103根据表中数据，估计这批新进柑橘损坏率为 （精确到0.1）考点：利用频率估计概率 分析：根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1

26、解答：解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以可估计柑橘损坏率大约是0.1故答案为0.1点评：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确5同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为考点：列表法与树状图法 专题：计算题分析：列表得出所有等可能的情况数，求出正面都向上的概率即可解答：解：列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反

27、）（反，反）所有等可能的情况有4种，正面都向上的情况有1种，则P=，故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 1从ABCD，ADBC，AB=CD，AD=BC四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是考点：列表法与树状图法；平行四边形的判定 分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的情况，再利用概率公式即可求得答案解答：解：画树状图得：共有12种等可能的结果，选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的有：，选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率

28、是：=故答案为：点评：此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比2从2，8，5中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第三象限的概率为考点：列表法与树状图法；点的坐标 分析：列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可解答：解：画树形图得：共有6种等可能的结果，该点在第三象限的有2种情况，该点在第二象限的概率是：=故答案为：点评：本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比得到在第三象限的情况数是解决本题的关键3甲、乙、丙三位同学站成一排，其中甲、乙两位同学相邻的概率是考点：列表法与树状图法 分析：首先根据题意画出树状图，然后

29、由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两位同学相邻的情况，再利用概率公式即可求得答案解答：解：画树状图得：共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学相邻的有4种情况，甲、乙两位同学相邻的概率是：=故答案为：点评：此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比4甲、乙两队进行足球比赛，裁判员用掷一枚硬币的方法决定双方比赛场地，这样对两队 （填“公平”或“不公平”）考点：游戏公平性 分析：要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法使这两个队选取比赛场地的可能性是否相等即可解答：解：因为一枚硬币只有正反两面，所以正面朝上或朝下的概率均为 即两个队选择场地的可能性相等，所以这种方法公平故答案为：公平点评：本题考查了游戏规则公平性的判断，要判断游戏规则是否公平，看使游戏双方获胜的可能性是否相等即可5在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他完全相同小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有 个考点：利用频率估计概率 分析：由频数=数据总数频率计算即可解答：解：摸到红色球的频率稳定在0.15左右，口袋中红色球的频率为0.1