“三线合一”性质的逆定理

1、.一、 等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。简言之： 三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：已知: ABC中，AD是BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，求证：ABC是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行

2、，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE 在ABD和ECD中 AD=DE ADB=EDC BD=CD ABDECD AB=CE, BAD=CED AD是BAC的角平分线 BAD=CAD CED=CAD AC=CE AB=AC ABC是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知: ABC中，AD是BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC是等腰三角形。分析：通过（ASA）的方法来证明ABD和ACD的全等，由此推出AB=AC得出ABC是

3、等腰三角形证明：已知: ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来 证明ABD和ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理的简单应用例题1已知：如图，在ABC中，AD平分BAC，CDAD,D为垂足，ABAC。求证：2=1+B分析：由“AD平分BAC，CDAD”推出AD所在的三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E，由逆定理得出AEC是等腰三角形由此就可得出2=AEC，又AEC=1+B，所以结论得证。（2）逆定

4、理与中位线综合应用例题1已知： 如图，在ABC中，AD平分BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。求证： EFAB，EF=(AC-AB) 分析： 由已知可知，线段AE既是BAC的角平分线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。简单证明：由逆定理得出AGC是等腰三角形，点E是GC的中点EF是BGC的中位线得证。例题2如图，已知：在ABC中，BD、CE分别平分ABC, ACB,AGBD于G，AFCE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.求： FG的长。分析：通过已知条件可

5、以知道线段CF和BG满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长AG、AF来构造等腰三角形。简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理得出ABK是等腰三角形点G是AK的中点 同理可得点F是AH的中点FG是AHK的中位线 由此就可解出FG的长。（3）逆定理与直角三角形的综合应用例题1已知，如图，AD为RtABC斜边BC上的高，ABD的平分线交AD于M，交AC于P, CAD的平分线交BP于Q。求证：QAD是等腰三角形。 分析：由直角三角形的性质可知道AQM=90， 由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以想到延长AQ交BC于点N。简单证明：由添辅助线得出ABN是等腰三角形Q点是AN的中点在RtA

6、ND中，Q是中点QA=DQ,得证。例题2如图，在等腰ABC中，C=90，如果点B到A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。分析：已知条件满足了逆定理2，所以延长BE和AC，交于点F。简单证明：由所添辅助线可知ABF是等腰三角形E点是BF的中点BF=2BE=10再由ADC和BFC的全等得出AD=BF结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，以达到解决问题的目的。（4）逆定理的简单应用（即垂直平分线的应用）例题1 （2006年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数y=ax2+bx的图像开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标

7、原点。 证明: AOB是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线-过点A作ADx轴，垂足为D及直线y=x的性质，可以知道AOB是等腰直角三角形。例题2如图，以ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，求证：若DFBC,则AB=AC分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对角线：边的相等，角的相等并都等于90度，现要证明等腰三角形，能与其最密切的想到是否也能构造直角呢？于是就想到了添辅线AH简单证明：分别过点A、D、F作AHBC，DIBC,FJBC,分别交BC于点H，CB的延长线于I，BC的延长线于J由DFBC，DI=FJ又 AHCCJF（AAS），ABHBD

8、I(AAS)HC=FJ,BH=DIBH=HC,得证。抓住已知条件和结论的联系，（例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，）通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。（5）逆定理在作图中的应用已知：线段m，及，求作ABC，使ABC=，ACB=，且AB+BC+CA=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为m以及外角的性质我们可以找到一顶点A，再由垂直平分线与边的交 点找到另两个顶点B和C。作法：1、画射线OP，在OP上截取线段OQ=m,2、画射线OM，使MOP=1/23、画射线QN，使NQO=1/2,交射线OM于点A4、分别作AO、AQ的垂直平分线，交OQ于B，C两点，ABC就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线