直线与圆位置关系知识点与经典例题

1、r 几何法弦长Wk 代数法切割线定理代数法几何法”过圆上一点的切线方程 切点弦过圆外一点的切线方程 J方程1.利用圆心O(a,b)到直线Ax By 0的距离d直线与圆位置关系一.课标要求1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。知识框架相离f(直线与圆的位置关系 相交彳相切直线与圆f求切线的方法圆的切线方程彳I圆的切线方程三直线与圆的位置关系及其判定方法Aa + Bb + C, J 与半径r的大小来判Ad ： r 直线与圆相交 d二r：=直线与圆相切 d r二直线与

2、圆相离2. 联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。(1)有两个公共解(交点)，即；，0=直线与圆相交(2 )有且仅有一个解(交点)，也称之为有两个相同实根，即=0=直线与圆相切 B2精选资料，欢迎下载(3)无解(交点)，即厶：0= 直线与圆相离3. 等价关系相交二 d : r u - 0练习(位置关系)1.已知动直线I : y = kx 5和圆C : (x -1)2 y2 = 1，试问k为何值时，直线 与圆相切、相离、相交？2 2(位置关系)2.已知点M(a,b)在圆0：x y -1夕卜，则直线ax b1与圆0的位置关A.相

3、切B. 相交 C. 相离 D. 不确定（最值问题）3.已知实数x、y满足方程x2 y2 _4x 1 =0 ,（1 ）求y的最大值和最小值；x（2 ）求x - y的最大值和最小值；（3）求x2 y2的最大值和最小值。分析考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法， 直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线y = x b截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。（位置关系）4.设 m, n R，若直线（m 1）x （n 1）y -2 =0 与圆（x-1）2 （y -1）2 =1 相切，则m n的取值范围是（）（位置关系）5.在平面直角坐

4、标系 xoy中，已知圆x2 y2 =4上有且仅有四个点到直线12x_5y c =0的距离为1,则实数c的取值范围是 6直线、3x y -2、. 3 = 0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（C ）JIA 6JlHB、C、一43jiD、2（位置关系）7 .圆 x2 y2 - 2x _ 2y 1-0上的点到直线x - y - 2的距离最大值是()A. 2BJ 2.1.2 C . 12D. 12.2（最值问题）8.设A为圆（X-2）2（y _2）2 =1上一动点，则 A到直线x-y-5=0的最大距离为.9. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线 3x 4y 0与圆C相切，则圆C的方程

5、为（）A.x2y2 -2x -3 = 0b.x2y2 4x = 0C.x2y2 2x - 3 = 0d.x2y2 - 4x = 010. 若曲线y = p1-x2与直线y = x+b始终有两个交点，则 b的取值范围是 .（对称问题）11.圆C1 :（3）2 （y 1）4关于直线x-y=0对称的圆C2的方程 为：（）A. (x 3)2 (y 1)2 =4 B.(x 1)2 (y _3)2 =4C. (x-1)2 (y 3)2 =4 D.(x-3)2 (y 1)2 =412.直线 y =kx 3与圆(x -2)2 (y 一3)2 =4相交于 M ,N 两点，若 | MN |_ 2二 3 ,则k的取

6、值范围是（）A. -3,0B. 3,TC. -3、3D. 一2,043332 213.圆 C： (x 1) + (y 2) =25,直线 I : (2m1)x+ (m 1)y=4 (mR).(1) 证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2) 求OC与直线l相交弦长的最小值.解析(1)将方程(21)x + (1) y= 7m 4,变形为(2x+ y 7) nu (x+ y 4) = 0.直线I恒过两直线2x+ y 7 = 0和x+ y 4= 0的交点，2x+ y 7 = 0由得交点M3,1).x+ y 4= 02 2 _ _ _ _又 (3 1) + (1 2) = 525,二点M3

7、,1)在圆C内，.直线I与圆C恒有两个交点.(2)由圆的性质可知，当I丄CM时，弦长最短.又 |CM = ,(3 1)2+ (1 2)2=5,弦长为 I = 2 ：r2|CM2= 2 25 5= 4 5.四.计算直线被圆所截得的弦长的方法1. 几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的R也计算，即|AB = 2占2 -d22. 代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即AB| = Jk2 +1|xa _Xb| = J（k2 +1） （xa +xb）2 _4xaXb （注：当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；弦中点坐标为（互 空，上 览），求解弦中点轨迹方程。）2 2练习1. 直线y = 2x

8、3被圆x2 y2 -6x - 8y = 0所截得的弦长等于（）2. 过点（2,1）的直线中被圆x2 y2 -2x 4y =0截得的弦长最大的直线方程是（）A. 3x-y-5=0 B. 3x y-7=0 C. x 3y-5=0 D. x-3y 5 = 03.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线I : y = x-1被圆C所截得的弦长为2、. 2，则过圆心且与直线 丨垂直的直线方程为()4. 直线x 2y 3 = 0与圆C: (x 2)2+ (y+ 3) 2= 9交于E、F两点，则厶ECF的面积为()A.3 B. 3 C . 2 5 D. 2455. 已知圆 C : (x -3)2

9、 (y 一4)2 二 4 和直线丨：kx - y -4k 3 = 0(1) 求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；(2) 求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长6. 若曲线x2+ y2+ 2x 6y+ 1 = 0上相异两点P、Q关于直线kx + 2y 4 = 0对称，则k的值为1( )A. 1B. 1C.D. 227. 已知过点M -3,-3的直线l与圆x2亠y2亠4y -21 =0相交于 A, B两点，(1) 若弦AB的长为2 15，求直线l的方程；(2) 设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程.解：(1)若直线I的斜率不存在，则I的方程为x =-3，此时有y2 4y-12= 0

10、,弦| AB |=|丫人Yb卜2( 6= 8所以不合题意.故设直线l的方程为y，3 = k x 3，即kx-y，3k-3=0 .2将圆的方程写成标准式得 X2，y 225，所以圆心 0,-2，半径r =5 .圆心0, -2至煩线I的距离d = 3k 1|，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三Jk2 +11 2角形，所以(届;+(3k2_1)=25，即(k+3f = 0，所以 k = 3.k +1所求直线l的方程为3x y 10 .(2)设 P x,y，圆心 O1 0,-2，连接 Of，则 Of_ AB 当 x = 0且 x= -3时,_y-(-3)x-(-3)，则有告爲一1，化简得(1)当x

11、=0或x=3时，P点的坐标为 0, -2 , 0, -3 , -3,-2 , -3,-3都是方程(1)的解，所以弦 AB中点P的轨迹方程为 x - y 5 二5 .I 2丿V 2丿28.已知圆x2 y2 x - 6y m二0和直线x 2y -3 = 0相交于P,Q两点，0为原点，且OP _ 0Q ,求实数m的取值.五已知切点，求切线方程1. 经过圆x2 yr2上一点P (xo, yo)的切线方程为- yy二r22. 经过圆(x-a)2 (y-b)2 =r2上一点P (x,yo)的切线方程为2(X。-a)(x -a) (y。-b)(y-b) =r3. 经过圆x2 y2 Dx Ey F =0上一点

12、P(x,y。)的切线方程为泌 yy D 岁 E：0练习1. 经过圆上一点P(-4,-8)作圆(x 7)2 (y 8)2 9的切线方程为()2. 圆x2 y2 -4x =0在点P(1, . 3)处的切线方程为()A. x .3y-2=0 B . x 、3y-4 = 0 C. x-.3y 4 = 0 D . x-. 3y 2=0六. 切点未知，过园外一点，求切线方程1. k不存在，验证是否成立；2. k存在，设点斜式，用圆到直线的距离d二r，即y -y =k(x -沧)b_y _k(a_x0)|r =/Jk2 +1练习1.求过A(3,5)且与圆C ： x2 y2 -4x -4y - 7=0相切的直

13、线方程。七. 切线长2 2 2若圆C:(x-a) (y -b) = r ，则过圆外一点P(x,y0)的切线长d = .(X。-a)2 (y -b)2 -r2练习1. 自点 A(_1,4)作圆(x 2)2 (y 3)2 的切线，则切线长为( B )(A),5(B) 3(C).10(D) 52. 自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 八. 切点弦方程过圆C :(x-a)2 (y-b)2 =r2外一点P(x。，y。)作圆C的两条切线方程，切点分别为A, B ,则切点弦AB所在直线方程为：(x0 - a)(x - a) (y0 - b)( y - b) = r21.过

14、点q6 , - 8)作圆x2+ y2= 25的切线于切点 A B,那么C到两切点A、B连线的距离为( )15A. 15B. 1C.D. 5九. 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即pt|2 =|pc |pd|练习1.自动点P引圆x2 y2 =10的两条切线PA,PB，直线PA, PB的斜率分别为 匕山。(1 )若k1 k2 k*2二-1，求动点P的轨迹方程；(2)若点P在直线x y = m上，且PA _ PB，求实数m的取值范围。解析(1 )由题意设P(x,y)在园外，切线I : y _y = k(x_x0)k竺电=尿,Jk2+1(x。2 -10)k2 -2xyk y。2 -10 =0由k1 k2 k1k -1得点P的轨迹方程为x y - 2一 5 = 0。(2) P(x0,yo)在直线 x y=m上，.Xo ym2Vo 1022又 PA _ PB , . kik2 - -1,二1，即 x0 y0 =20，将 x y = m代入化简得Xo -102 22x0 -2mx3 m -20 =0又.：_0 , -2. 10 _m _2.、10又:x - y 10