高考理科数学概率题型归纳与练习含答案

1、专题三：高考理科数学概率与数学期望 一离散型随机变量的期望(均值)和方差 X的分布列或概率分布如下： 若离散型随机变量 X x 1x 2 x n P p 1p 2 p np?0,i?1,2,.,n,p?p?.?p?1xp?xp?.?xp为随机变量，1. 其中，则称n222n11ni1?)(XEXX或 的均值或的数学期望，记为xp?xp?.?xp)XE( =数学期望 n21n21E(aX?b)?aE(X)?ba,b,cc?E(c)为常数）（；）性质 （12）（ p?0,i?1,2,.,n,p?p?.?p?1）刻画了随机变（其中，2. 222?p)?(p?.?(x?()p?x?)xn2i1n211

2、n2X?X的方差，记为量的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量与其均值或)(XD2? 方差 222?p)x?.?(?x?()p?(x?)?pDXn211n2n 计算方差公式也可用公式2?2222?)p?(?EXEX?D(X)?xii1?iD(X)XXXX的算术平方根称为的概率分布的方差，3随机变量的方差也称为的方差 的标准差，即 ?)D(X?1.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX，DX。 X 1 0 1 16 / 1 59P 二超几何分布nNM件产品中，件，其中有对一般情形，一批产品共件不合格品，随机取出的X 不合格品数的分布如下表所示：0l21X ll0n2n1?1nn2

3、?CCCCCCCCMN?MMN?MM?MMN?NM P nnnnCCCCNNNN )Ml?min(n, 其中r?rnCCMM?NX?)(X?rP 的分布列为一般地，若一个随机变量，nCN)n,Ml?min(3lr?0X12，记为，服从，超几何分布其中，则称rrn?CCMNM?)Nn;,M,H:H(,n,MN)(rX?rP(X?) ，并将记为nCN1020个白球，个红球，）1高三（1班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有5 这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出个球，14 1）若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率（ 3 2）若至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率 （X 12节例可知

4、，随机变量的概率分布如表所示：2解：由5 4 2 0 X 1 3 16 / 2 427008550380025848075 P 237512375123751237512375123751 从而 5423800700258480758550?0E(X)4?5?1.6667?1?2?3? 32375123751237512375123751237511.6667X 答：的数学期望约为 rn?rnCCrgM?MNM?g?n?E(X) 说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到 nNC0r?N 件，3件三等品。从这10件产品中任取件产品中，有3件一等品，4件二等品，32. 在10 的分布列和数学期

5、望；3件产品中一等品件数X求：（I）取出的 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。）取出的3（ II 三二项分布n 次独立重复试验1n每次试验的结果仅有两种对立的且每次试验相互独立完成，次试验构成，一般地，由 nA0?A)?pP(A次独立重复试验，状态，即，每次试验中与。我们将这样的试验称为 也称为伯努利试验。第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试）独立重复试验满足的条件 （1 验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。kn?kkkn)pp(1?C?)X?kP(A 恰好发生（2）次的概率次独立重复试验中事件。n 二项分布2,n0,1,2,L,?q?1,k?p?0p?P(

6、Xk)?1.X则称，若随机变量的分布列为其中kkkn?qpCn)p,B(n:Xp,nX 服从参数为。的二项分布，记作个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在个正品和931一盒零件中有 X 的概率分布。取得正品前已取出的次品数 16 / 3 2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红1. 灯的事件是相互独立的，并且概率都是 3?的分布列；设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求(1)?的分布列；设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求(2)(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 12，乙每次击中目标的概率为次射击，甲每次击中目标的概率为

7、. 3.甲乙两人各进行3 23?的分布列及数学期望；，求 （1）记甲击中目标的此时为（2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2）年高考（浙江理）（20121.分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随X为取出3球所得分数之和. 机变量X的分布列; )求(XEX). )求(的数学期望( (本小题满分13分,()小问5分,()小问8分.) ）（22012年高考（重庆理）甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或1,设

8、甲每次投篮投中的概率为乙每次投篮投中的概率.每人都已投球3次时投篮结束 31,且各次投篮互不影响为. 216 / 4 ; ) 求甲获胜的概率(? 的分布列与期望) (求投篮结束时甲的投篮次数 4BA场则比赛宣告结束，进行比赛，每场比赛均有一队胜，3设篮球队若有一队胜与1BA,，试求需要比赛场数的期望假定在每场比赛中获胜的概率都是 2 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视）年高考（辽宁理）（20123情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图; 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. 2?2列联

9、表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别根据已知条件完成下面的() 有关? 16 / 5 ,采用随机抽)(将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中X若33次,记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为.1样方法每次抽取名观众,抽取)XE()D(XX. ,期望和方差每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下陕西理）（20075.4、一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为523（） ，且各轮问题能否正确回答互不影响. （）求该选手被淘汰的概率；、55（注：本小题的分布列与数数期望该选手在选

10、拔中回答问题的个数记为，求随机变量. 结果可用分数表示） 件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种3件正品，件，其中一批产品共6. 10716 / 6 ?. 情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布 (1)每次取出的产品不再放回去； 2）每次取出的产品仍放回去；（. 3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中（ 表示方程和山东）设bc分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量7. （2007?2 x+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）2 ）求方程x有实根的概率；+bx+c=0（I 的分布列和数学期望；II）求（ 下：消费额每分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活

11、动.活动规则如8.（本题满分12 假定元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，满100ACB元；停在. 若指针停在A区域返券60指针等可能地停在任一位置?60可转动元，区域不返券. 例如：消费218C区域返券30元；停在 B. 次，所获得的返券金额是两次金额之和转盘2 元，求返券金额不低于12830元的概率；（I）若某位顾客消费了活动，他获得返券的金额记为280元，并按规则参与（II）若某位顾客恰好消费X . ，求随机变量的分布列和数学期望（元）X ?日在黄石8年月202012中国分本题满分9. (12)黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于 名8铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖

12、北理工学院和湖北师范学院分别招募 16 / 7 cm）12和名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：）（不包括175cm“高个子”，身高在175cm以下若身高在175cm以上（包括175cm）定义为 ，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。定义为“非高个子”）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学（1 院志愿者身高的中位数； 湖北师范学院湖北理工学院高个子”和“非2）如果用分层抽样的方法从“（ 9 8 9 15 人，那么至少2高个子”中抽取5人，再从这5人中选 9 2 589 16 1 6 56 0 17 3 4 有一人是“高个子”的概率是多少？1 7 2 18 0

13、?表名志愿者，（3）若从所有“高个子”中选3用 19 1 ?示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出? 的数学期望。的分布列，并求 为标，8，其中X5某产品按行业生产标准分成10.8个等级，等级系数X依次为1,2件；乙厂执元/A生产该产品，产品的零售价为6X3准A，为标准B，已知甲厂执行标准件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行元/B生产该产品，产品的零售价为4行标准 标准 的概率分布列如下所示：I）已知甲厂产品的等级系数X（18 7 5 6 x 11 b 0P 04 a b的值；=6且X的数字期望EX，求a，11件，相应的等级系，从该厂生产的产品中随机抽取30（II）为分析乙厂产品的

14、等级系数X2 数组成一个样本，数据如下：4 3 3 8 5 5 6 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 7 3 4 7 6 7 4 4 8 3 3 4 5 . 的数学期望用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2 16 / 8 11.企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，现从该厂已售出某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，障的时间有关， 的两种品牌轿车中随机抽取 50辆，统计书数据如下： 将频率视为概率，解答下列问题：求首次出现故障发生在保修期内的概）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，（I 率；X，生产一辆II

15、（）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1XXX ，乙品牌轿车的利润为的分布列；，分别求221只能生产其中一种品牌（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制， 轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。 巩固练习答案. ,数学期望等知识点【解析】本题主要考察分布列1. X:3,4,5,6. )的可能取值有(231CCC205; ; 455?P(X4)?3)P(X?334242CC99213CCC215. ; 454?6)?P(X5)?XP(334242CC99X 的分布列为故,所求X 6 4 3 5 1201055215?2142

16、1421424242P XXE: 所求) )的数学期望为( (613?XE. ()=?)X?i(i?P34?i13. ) ;()(答案【】见解析316 / 9 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概2.率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. kB,A次投篮投中,则 分别表示甲、乙在第解:设kk11?,2,3?1k?PPBA , , kk32(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概? AABA?PAPBC?PPAAB ,率计算公式知32111212

17、1? APPB?PA?PPBAP?PABPPAA 312121112221212111? ? 3323233?13111? 272739?1,2,3 的所有可能为:(2)1212? ?1?P?AB?PPA? :由独立性知 111332322211212? ?PABA?PPABA?2B? ? 2121211923233?22112? ?ABA?3B?PP ? 2121932?有分布列, 综上知? 1 2 3 P 2 32 91 9 22113?1?2E?3?(次从而,) 3999X?4A4B4B4A4场）场（即”表示，且两胜负场或负胜解：3. （1）事件“场或两互斥 11112404004?()

18、?(?C?CP(X?4)?()(； 44222216X?5A4B在第5场，或5场中取胜且前（2）事件“场中取场中胜”表示，3在第4A4A负了3负且场）场中胜且前场中胜3场（即第5场，且这两者又是互斥的，所以 111111413?143314P(X?5)?C()()?C()()? 442222221616 / 10 7X?6?X 、” “（3）类似地，事件“”的概率分别为5111111223533?2?5()(C)C?()()?P(6)X?， 55222222161111115336?3?3336P(X?7)?C()()?C()()? 6622222216比赛场数的分布列为 X 4 5 6 7

19、4552 P16161616 54525.8125?6?7?XE()?4?5? （场）故比赛的期望为16161616 场才能分出胜负这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6 【答案及解析】4.列联表如2人“体育迷”有25,从而2,(I)由频率颁布直方图可知在抽取的100人中: 下 由22列联表中数据代入公式计算,得: 因为3.0303.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中1,由题意, 抽取一名“体育迷”的概率为4 ,从而X的分布列为: 16 / 11 离散型随机变量的分布本题主要考查

20、统计中的频率分布直方图、独立性检验、【点评】)X(E(X)D准确.期望,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,和方差难度适中,列 读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. ，2，A(3)i?1i轮的问题”的事件为5.（）解法一：记“该选手能正确回答第， i243?A)P(?P(A)P(A)? ，则，312555? 该选手被淘汰的概率)A(A)P(P(A)PA?)A?PP(A?A?AAA?P(A)P(A)P()? 331122121212101424331? 125555555，i?12，3)A(i轮的问题”的事件为， （）解法二：记“该选手能正确回答第i243?A?(P(A)?)PAP() 则

21、，312555? 该选手被淘汰的概率)(A)(A)P)PP?1?(AAA?1?(APP 321321101243?1? 1255551?1)A)?PP(?312， （），的可能值为，15824?P(A)P(A)?P(A?2)?P(A)? ，211225551243?)(A?(P(?3)?PAA)?PA)P 21212555? 的分布列为? 3 2 1 1218P 25525 571218?3E?1?2 2552525 X4。的分布列为3116.（）X的所有可能值为，2， P(X=1)=7/10， 7/9=7/30，P(X=2)=3/10 7/8=7/120P(X=3)=3/102/9， 。2/

22、9P(X=4)=3/101/8=1/12016 / 12 ，4。X的分布列为（2）X的所有可能值为1，2，3731?k .)( ，k=1，P(X=k)=2，3，1010 X1，2，3，4。（3）X的所有可能值为的分布列为 P(X=1)=7/10， P(X=2)=3/108/10=6/25， P(X=3)=3/102/109/10=27/500， 。2/101/10=3/500P(X=4)=3/10 7. ）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，解：（I ，66=36试验发生包含的基本事件总数为c2 b2，即-满足条件的事件是使方程有实根，则=b4c0 c的取值进行讨论下面针对于 6；，5，c=

23、1时，b=2，3，4当 6；，5，当c=2时，b=3，4当c=3时，b=4，5，6； 当c=4时，b=4，5，6； 当c=5时，b=5，6； 当c=6时，b=5，6， 目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19， 19 2有实根的概率为+bx+c=0因此方程x362+bx+c=0实根的个数得到=0，x1，2 ）由题意知用随机变量（II表示方程根据第一问做出的结果得到 172117 P(=2)=P(=0)=P(=1)=， 则，36183636的分布列为 17117=1+2E=0， 的数学期望1363618 8.设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C. 111?C)?(,P(PA)?(,P

24、B). 则 分 3236. B区域或（）若返券金额不低于30元，则指针落在A111?P(?P?PA)?(B)2364 分 1. 即消费12830元的概率是元的顾客，返券金额不低于216 / 13 . 2（）由题意得，该顾客可转动转盘次X 5分 ，120. 9030随机变量的可能值为0，60，111;?0)P(?X422111;30)?P(2X?32351111;?2?P(?X?60)?182363111;2?90)?P(X?936111.?120)?(X?P3666 10分X 所以，随机变量的分布列为： P120 0 30 60 90 X11511 11分 3694318 其数学期望11511EX?0?30?60?90?120?404318936 12分 9、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：168?169?168.5.2分 2（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， 8125?5?2?3?人；人， “非高个子”为按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为20202C73?P6分1则至少有1人为高个子的概率 2C105?的可能取值为0,1，2,3； （3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则31212CCCCC151030?35535?1)?2)?P(?0)?