高中线性规划练习含详细解答

1、线性规划练习 1. “截距”型考题 y)Rb?by(a,z?ax?轴通常转化为求直线在求形如的线性目标函数的最值问题，在线性约束条件下，上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. y?2?x?y?4yx,z?3x?y的最大值为( 2012年高考广东卷 理5】已知变量，则 满足约束条件 ) 【1.?x?y?1?(A)(B)(C)(D)?1211 x-y?10?0?x+y?20yx,2x+3y的最大值为，则设变量满足 2. (2012年高考辽宁卷 理8)?0?y?15?A20 B35 C45 D55 x?y?1?0?x

2、,yz?3x?y0?y?3x?的最小值满足约束条件13) 若，则3.(2012年高考全国大纲卷 理?x?3y?3?0?为 。 lnx,x?0?xy?f(x)?x)f(D及该曲设函数是由，轴和曲线144.【2012年高考陕西卷 理】 ?2x?1,x?0?(1,0)z?x?2yD上的最大值为 线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 5.【2012年高考江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 0.3万元韭菜 0.9万元6吨 为使一年的

3、种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） A50，0 B30，20 C20，30 D0，50 A原料11桶需耗千克、某公司生产甲、乙两种桶装产品 理9 ) . 已知生产甲产品6. (2012年高考四川卷BAB原料1千克. 2千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料AB原料都不超过12千克、. 通过要求每天消耗产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） 元3100、D 元2800、C 元2400、B 元1800、Ax

4、?0?_3x?2?yy?,yxx 的取值范围为满足约束条件：；则7. (2012年高考安徽卷 理11) 若?.?2x?y?3?2x?y?4?，则目标函数z=3x年高考山东卷 理5)的约束条件y的取值范围是 8(2012?4x?y?1?333?，1 C1，6 A ，6 B D6， 222x,y?0?x?y?1yx,y2xz?；. 新课标卷 理14) 设的取值范围为 满足约束条件：则 9(2012年高考? ?x?y?3?2 . “距离”型考题 x?1?x-2y+3?0?关所表示的平面区域是8】 设不等式组与,平面区域是10.【2010年高考福建卷 理?121?y?x?|AB?0|3x?4y?9的最

5、小值等于( A与 中的任意一点B, 对称,对于) 中的任意一点于直线212812 B.4 C. A. D.2 550?x?2,?，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，11.( 2012年高考北京卷 理2) 设不等式组?0?y?2? 的概率是则此点到坐标原点的距离大于2?24? B C D A 4264 型考题斜率”3. “x?y?1?0?y,则的取值范围是 x】 若实数、y满足 （ ） 12.【2008年高考福建卷 理8? x?0x?1,0,1?) D.C.(1,+ A.(0,1) B. b，ac?3，clnb5a4c?a?clncbcb，a，的取14）已知正数满足：则13.（2012年

6、高考江苏卷 a 值范围是 4. “平面区域的面积”型考题 14.【2012年高考重庆卷 理10】设平面点集?1? ? 22BAI1?y(?),0B?(x,y(x?1)1)?y(A?x,)(yx)(y)? ，则所表示的平面图形的面积为? x?433? C D B A 5247xOyA?(x,y)|x?y?1, ，已知平面区域）在平面直角坐标系10理 江苏卷年高考2007（.15A)?(x,y|(x?y,x?y)0,x?y?0B? ） （，则平面区域 的面积为 且 1121 D AB C420?x?0?yaA连续变化到） 若表示的平面区域，则当为不等式组2从16.（2008年高考安徽卷 理15?2

7、?y?x?Aa?y?x . 1时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 0x?4?y?kx?4y?x?3?分为.（2009年高考安徽卷 理7） 若不等式组所表示的平面区域被直线173?3x?y?4?k的值是面积相等的两部分，则7343 （B） （A） （C） （D） 3734高 x?0,?y?0,a1?byaxa?0,b?0,b时，恒有为坐标18.（2008年高考浙江卷 理17）若，则以，且当?x?y?1?P(a,b)所形成的平面区域的面积等于_.点 5. “求约束条件中的参数”型考题 规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”

8、，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案. x?y?1?0?01?x?为常数）所表示的（年高考福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组19.（2009?ax?y?1?0?a的值为，则 平面区域内的面积等于2A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 x?y?3?0?xy?2x?2y?3?0m)yx,(的若直线201220.【年高考福建卷 理9】，满足约束条件则实数上存在点?x?m?最大值为（ ） 13 B1 C A D2 22 ?019，yx?2?M，?80x?y，使函数所表示的平面区域为12.21（2008年高考山东卷 理）设二元一次不等式组?0?142x?y?x(a?0a?，a?1

9、)yaM ） 的取值范围是（的的图象过区域10109 D， 2，9 B2 ， CA1，3 011?x?y?x03?x?y?3a的y= 表示的平面区域为D，若指数函数722.（2010年高考北京卷 理）设不等式组?09?3y?5x? 的取值范围是上的点，则图像上存在区域Da ? 3， D ，3 C (1，2 A (1，3 B 2 0y?5?x?2?220?3?x(x,y)25?x?y?(x,y)|mm则23.（2007年高考浙江卷 理17）设若为实数，?0?mx?y? .的取值范围是_0,?y?3x?3?0,?3?2x?yyxyx?，则实且的最大值为） 若实数，9满足不等式组24.（2010年高

10、考浙江卷 理7?0,?1?x?my?m ）（ 数1?2?D 2 A C 1 B ”型考题6. “求目标函数中的参数等点到直线的距离”直线的斜率”、“规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成. 模型进行讨论与研究1y?x?1?x?y?y2z?ax?）0仅在点（.（2009年高考陕西卷 理11）若x，y满足约束条件1，目标函数，25?2?2x?y? ） （处取得最小值，则a的取值范围是 2,4)4,0(?(?4?1 CD A（ ，2） B（ ，2） xy?下，?mxy 2，目标函数湖南卷 理7）设m1，在约束条件z=x+my的最大值小于年高考26.（2011?1y?x? m的取值范

11、围为则(1?2,?)(1,1?2)(3,?) D A C（ B1，3） 7. 其它型考题 3x?y?6?0?x?y?2?0 ，若目标函数满足约束条件x，y设理年高考27. （2009山东卷 12） ?x?0,y?0?23?0)?0,baaxz?by(?的最小值为（ ），则12 的值是最大值为 ba25811 B. C. A. D. 4 6332x?y?2?0?8x?y?4?0yx,，若目标函数满足约束条件安徽卷 理13）设年高考28. （2010?x?0 , y?0? 0by?a?0,abxz?ba?_.，则的最小值为的最大值为 8 线性规划问题 答案解析 截距”型考题1. “y)?Rby(a

12、,bz?ax?轴在线性约束条件下，求形如通常转化为求直线在的线性目标函数的最值问题，掌握此规律可以有效避免因结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.上的截距的取值. . 画图太草而造成的视觉误差35)2),CA(2,(2),B(3,ABC?B画出可行域，)1、选【解析】约束条件对应，其中 内的区域(含边界 228,11y?z?3x? z的几何意义易得结合图形和 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函 、选2D；?5,15Ay+32xD. ，故选数过点时，的最大值为55 1? 3、答案：(3,0)时，目标函数最【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当

13、目标函数过点(0,1)1? 时最小为大，当目标函数过点. 1? ?1f1?xf， 0时， 【解析】当4、答案2； xx(1,0)y?x?1，则根据题意可画出可行域处的切线为D曲线在点如右图： 11y?1z?y?x0?x时，z取得最大值， 当2 目标函数225、选B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x、y亩，总利润为z万元， 则目标函数为 x?y?50,?1.2x?0.9y?54,?z?(0.55?4x?1.2x)?(0.3?6y?0.9y)?x?0.9y. 线性约束条件为 ?x?0,?y?0.? x?y?5

14、0,?4x?3y?180,?即作出不等式组表示的可行域, ?x?0,?y?0.? ?0,4530,20CA, 0,50,Bz?x?0.9y，平移直线. 易求得点?30,20Byxz?0.9 ，经过点可知当直线48?z20?x?30,yB. 故选时 z即取得最大值，且（万元）. max 点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为： 仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？审题(1); 设元写出约束条件和目标函数转化(2) 关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；求解(3) 就应用题提出的问题作出回答作答(4) YX桶，乙种产品6、答案C 【解析】 设公司每天生产甲种产品

15、， Z=300X+400Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得12Y?X?2?12Y?2X? 且，画可行域如图所示，?0?X?0?Y? z3?x Y=目标函数Z=300X+400Y可变形为40044x?x2?y?12? 4,4，）变化的一族平行直线，解方程组 ，即A（ 这是随Z?4y?2y?12x?2800?Z?1200?1600 max3(1,1)C(0,3),B(0,),A3,0?ABC?，画出可其中内的区域7、答案(含边界【解析】约束条件对应； )，23,0?t?x?y t的几何意义易得行域，结合图形和1ll)3(,)2,3x?y?0(0处：，将直线平移至点处有最大值，点【解析】

16、、选8A； 作出可行域和直线23?z?6. 有最小值，即 应选A. 2O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)OABC其中【；解析】约束条件对应区域为四边形内及边界，3、9答案，3，z?x?2y?3,3 则 2 . “距离”型考题 10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形 间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。 ?|AB中的点到直【解析】由题意知，的最小值，所求的即为区域10?9?3x?4y），1可看出点的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，线如图所示，（1|9?|3?1?4?142?|AB0y?9?

17、x3?|4 。的最小值为，所以选的距离最小，故到直线B5评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点y)为求其中一点(x，. 是求距离最值的关键点20?x? 表示的区域为正方形，如图所示，而动点M11、选D；【解析】题目中 可? 2?0?y? 以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，12?2?2?2?44?P?D. 因此 ，故选4?22 ”型考题3. “斜率y),y(x与原点12【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示平面区域内的动点、选C；xy?y?1,

18、(0,0)O ，选C之间连线的斜率，由图易知，.xby?),(评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的?azb?Ra?x1)b,y)(a(x结合图形. 之间连线斜率的取值、取值问题，通常转化为求点xO-1要合理运用可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点易知，. 在本题中， 3图y. 极限思想，判定的最小值无限趋近于1x?ba5?3?cc?ba4?，clnb?a3c5a4lncc?ba?c?，e 7【解析】条件、答案可化为：；13. cc?ab?ce?c?bay，x=y=x，满足，则题目转化为：已知 设cc 5y?x3?4?yx?y?，求的取值范围. ?xxy?e?x0，y0?xyxP，yx

19、，ey=的切线为）所在平面区域（如图）作出（，求出，设过切点的切线的斜率e00?0m?m?y=ex， yex?mm00m=0=e?. 则，要使它最小，须 xxx000y?xyPP，x，yxx，ye=yBA,C时，在 的最小值在之间. 上当（处，为. 此时，点）对应点e0000 xy=4?x5y=20?5x?yyy?y=7x?=7C处，最大值为7. ，的最大值在的取值范围为? 4y=20?3x12xy=5xxx?b?e 7e， 7的取值范围是， 即 a 4. “平面区域的面积”型考题 122?1?1)?(x,y?y,(x?1)y?D围成的面积与14、选【解析】由对称性：； x122AIB1?,(

20、x?1)1)?(yy?x,y?所表示的平面图形的面积为围成的面积相等，得： x?1222?1?1)x?1)?(yxy?,(?R? 围成的面积既 22 11(a?b),y?(a?x?b)y?y,b?x?axb，【解析】令，则15、选B； 22 a?b?0,a?b?0,a?1，代入集合A，易得其所对应的平面区域如图阴影部A1211，选B.分，则平面区域的面积为 1 2aO评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平BB所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域. 面区域 5图 7A，【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域16、答案 ； y4 A21?y?2,l:x?al

21、:x?y?,l:x?y. 其中： 21D1Cllla之扫过的平面区域即为当连续变化到从21时，动直线与B21xO1-2lA中的那部分平面区域的面积即为四边间的平面区域，则动直线扫过l72?S?S?SBOCD 的面积，由图易知，其面积为：.形 ADCVABOV4l-2la?yx?1在与动直线A评注：本题所求平面区域即为题设平面区域6图a .时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键1连续变化到2从17、选A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC y 44y?x?3?4 y=kx+ C（0，），1），又B（0，4），A由得（1?3 4?x?y33D ?414A

22、C ?(4?)?14y?kx3x?y?S=，设， 与的交点为DABC 332x O 5211?yS?S?ABC?x?由则，知 ， DBCDD?2322y7451?,k?k ，选A. 3232A 1要使得恒【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 18、答案1；x+y=1B,1A,O?axby?的坐标都满足不等式成立，只须平面区域顶点有BxO110?a?1,0?b?1,P?ax?by(a,b)所形成的平面区域的，易得所以图7 面积等于1.评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等

23、于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单. 5. “求约束条件中的参数”型考题 x?y?1?0?x?1?0所围成的平面区域. 作出不等式组如图所示，由题19、选D；【解析】 ?40?y?1axy?1?0ax?代入1，4）|AC|=4，点C的坐标为（2B0?ax?1y这个点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程a中含有参数CAo?意可知，公共区域的面积为2； =3，故选D. 得5y?ax?1?0y?1?ax的形直线系特征，迅速与“”可变形为产生联系，就会明确2式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻4松获解. 20、选B

24、；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可y?2x）,3（0可行域如图：所解答：. 行域的图形，含参的直线要能画出大致图像(m,3?m)（3,0）3（0，-）2x?y?3?0?mx?2y?3?03?m?2)x,y(y?2xm?1。满足约束条件上存在点，即以，若直线 ，则?x?m?评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m的变化而变化，先局部后整体是突破的关键. M是三条直线相交构成的三角形（如图）,C；【解析】区域21、选x x1)?a?0，ay?a(2,10)(1,9),AB(3,8),C的图其中，使函数Cxy=aBA,1a?M不位于函，只须区域,由图易知M的顶点象过区域BA3x0?

25、(a?8)y?a(a?9)?1)数，a即不等式图象的同侧，0a(x-y+8=01yO9.a?2? 恒成立，即2x+y-14=0x+2y-19=012图其次要能结合图形对题意进行等价评注：首先要准确画出图形； 转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律. xa?y的图象，的图象，联系指数函数；22、选A【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D，图象必然经1，而显然只要a大于2，9）时，a可以取到最大值3能够看出，当图象经过区域的边界点（ . 过区域内的点y44 x?0,l:y,?mxl:y?，由，直线；【解析】 如图1023、答案 133Bl应位于直题意，要使得不等式组表示的区

26、域包含在圆的内部，则直线4ll0?m?mxx的取轴）轴之间（包括直线，即及，所以线与C 113x5O3-540, 值范围是.l 3Al1由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解评注：10图l的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置决本题的第一突破口；另外，在直线lx轴是解决本题第二、1 .突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求 y?x ，确定区域的边界24、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用的最大值为9y zx?x?yy?z?表示z，则令【规范解答】选C，(4,5)A0?1?xmy 轴上的截距当yz最大值为9时，斜率为-1的直线在0?my?1x?z?xy ，过点AA过点，因