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文档简介

1、03.01.2021,近世代数,9 群同态、同构,03.01.2021,一、定义1,若存在群,到群,的同态满射,则称群,与群,同态,若存在群,到群,的同构映射,则称群,与群,同构,假定,是集合,到,的一个满射,称,为,在,之下的象,称,为,在,之下的逆象,为,03.01.2021,二、群同态性质,群,与,同态,是,到,的同态满射，则,1,2,3,4,5,定理1,6,是循环群，则,也是循环群,03.01.2021,定理2,两个代数系统,同态,与,若,是群,则,也是群,证明,是群，有结合律，则,也有结合律,是同态满射，有,是,的左单位元,是,的左逆元,也是群,03.01.2021,例1 证明,关于

2、,做成群,证明：取,是,到,的同态满射,而,是群,因此,是群,03.01.2021,例2,是,到,的同态满射,全体正负奇数,代数运算均为数的普通乘法,正奇数,1,负奇数,1,是群,而,不是群,03.01.2021,三、同态核,思考题1,那么,例1,与,同态,03.01.2021,定义3,设,是群,到群,的同态映射,是,的单位元. 称,在,中的所有,的核, 记作,逆象组成的集合为同态映射,例3,是,到,的同态映射,全体偶数,03.01.2021,引理1,若,是群,到群,的同态映射,是单射,则,证明,而,是单射,若,则,是单射,03.01.2021,引理2,若,是群,到群,的同态满射,则,证明,03.01.2021,四、群同态基本定理,定理3 群,同它的每个商群,定义4 称群,到商群,的同态满射,为,的自然同态,同态,到,注,03.01.2021,定理4 （群同态基本定理,群,与,同态,是,到,满射，则,的同态,证明：取,03.01.2021,说明,定理3说明任何群都同它的商群同态,同另一个群,同态,在同构意义下是,的一个商群,定理4说明一个群,则这个群,因此，在同构意义下，定理3与定理4的意,思是：每个群能而且只能同它的商群同态,03.01.2021,推论1：设,与,是有限群，且,则,推论2： 循环群的商群也是循环群,整除,03.01.2021,五、群的同构定理

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