湖北省咸宁市四校2012-2013学年高三(上)12月月考数学试卷(文科)(含解析)

1、 2012-2013学年湖北省咸宁市四校高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A=4，a2，B=9，1a，2，若AB=9，则实数a的值为（）A3B3C3D以上都不正确考点：集合关系中的参数取值问题专题：计算题；分类讨论分析：根据两个集合的交集的定义，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，最后根据集合中元素的互异性经过检验得到满足题意a值即可解答：解：AB=9，a2=9a=3，当a=3时，A=4，9，B=9，4，2，AB=4，9，不合题意；当a=3时，集合B中：

2、9，2，2，由集合中元素的互异性，可得不合题意；故选D点评：本题主要考查集合中参数的取值问题，两个集合的交集的定义，集合中元素的互异性，学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值2（5分）（2006安徽）设a，bR，已知命题p：a=b；命题q：，则p是q成立的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：命题q中，不等式两侧均为和的形式，只需将不等式左边展开，出现乘积形式，再利用基本不等式即可解答：解：当且仅当a=b时等号成立命题p：a=b命题q：，反之不成立故选B点评：本题考查基本不等式及充要条件的判断，属基本

3、题3（5分）函数f（x）=sin2x2sinx+3，x0，的值域为（）ARB2，+）C2，6D2，3考点：复合三角函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：换元法：令sinx=t，由x0，可得t0，1，进而可得y=t22t+3=（t1）2+2，由二次函数区间的最值可得答案解答：解：由题意，令sinx=t，由x0，可得t0，1，故函数可化为y=t22t+3=（t1）2+2，由二次函数的性质可得，函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为t=1，故在t0，1上单调递减，故当t=0时，y取最大值3，当t=1时，y取最小值2，故原函数的值域为：2，3，故选D点评：本题考查复合三角函数的单调性和二次函数区

4、间的最值，属中档题4（5分）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A4B5C8D10考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：先由三视图确定此几何体的形状，为底面半径为，高为2的圆柱，再利用球与圆柱的对称性，可得外接球的半径，最后由球的表面积计算公式即可得所求表面积解答：解：由三视图可知该几何体时一个底面半径为，高为2的圆柱，根据球与圆柱的对称性，可得外接球的半径R=，S=4R2=5故选 B点评：本题考查了三视图的识别，利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切问题，球的表面积计算公式，空间想象能力5（5分）下列说法正确的是（）A存在）使sin+cos=By=tanx在

5、R内为增函数Cy=cos2x+sin（x）是偶函数Dy=sin|2x+|最小正周期为考点：命题的真假判断与应用专题：三角函数的图像与性质分析：选项A，可得sin（+）（1，而（1，故不可能存在）使sin+cos=；选项B，y=tanx在R内没有单调性；选项C，由诱导公式化简后可证原函数是偶函数；选项D，函数y=sin|2x+|的图象可由y=sin|2x|的图象向左平移个单位得到，没有周期性解答：解：选项A，sin+cos=sin（+），当（0，）时，+（，），故可得sin（+）（，1，所以sin（+）（1，而（1，故不可能存在）使sin+cos=，故A错误；选项B，y=tanx在（k，k+），

6、kZ内单调递增，但在R内没有单调性，故B错误；选项C，记y=f（x）=cos2x+sin（x）=cos2x+cosx，可得f（x）=cos2（x）+cos（x）=f（x）故可得原函数是偶函数，故C正确；选项D，函数y=sin|2x+|的图象可由y=sin|2x|的图象向左平移个单位得到，而函数y=sin|2x|为偶函数，其图象关于y轴对称，没有周期性，故函数y=sin|2x+|没有周期性，故D错误故选C点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及三角函数的知识，属基础题6（5分）函数f（x）=x3ax2bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4

7、，11）D不存在考点：函数在某点取得极值的条件专题：计算题分析：首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 解之即可求出a和b的值解答：解：对函数f（x）求导得 f（x）=3x22axb，又在x=1时f（x）有极值10，解得 或 ，验证知，当a=3，b=3时，在x=1无极值，故选B点评：掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题7（5分）已知向量，=（m，1），mR，则ABC面积的最小值为（）A1B2CD不存在考点：向量在几何中的应用专题：平面向量及应用分析：由已知中两个向量的坐标，可得向量，=（m，1）的模均为，且两个向量垂直，代入三角形面积公式

8、，结合两次函数的性质，可得ABC面积的最小值解答：解：向量，=（m，1）则|=|=且=mm=0，即ABC面积S=（1+m2）当m=0时，ABC面积的最小值为故选C点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中求出两个向量的模及夹角，进而代入三角形面积公式，求出ABC面积的表达式是解答的关键8（5分）若方程2a9sinx+4a3sinx+a8=0有解，则a的取值范围是（）Aa0或a8Ba0CD考点：函数的值域分析：含有参数的方程有解问题可以和函数值域建立联系，需要注意三角函数的有界性解答：解：若方程2a9sinx+4a3sinx+a8=0有解，则等价于求的值域29sinx+43sinx+1则a

9、的取值范围为故选D点评：等价转化思想是数学重要思想之一，含有参数的方程有解问题通常可以和函数值域建立联系注意三角函数的有界性：sinx1，19（5分）已知集合A=a1，a2，a3an，记和ai+aj（1ijn）中所有不同值的个数为M（A），如当A=1，2，3，4时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5对于集合B=b1，2，b3bn，若实数b1，b2bn成等差数列，则M（B）等于（）A2n3B2n2C2n1D2n考点：进行简单的合情推理专题：新定义；等差数列与等比数列分析：把 bi+bj （1ijm，i，jN）的值列成图表，严格利用题目给出的新定义

10、，采用列举法来进行求解即可解答：解：对于集合B=b1，b2，b3，bn，若实数b1，b2，b3，bn成等差数列，则 bi+bj （1ijm，i，jN）的值列成如下各列所示图表：b1+b2，b2+b3，b3+b4，bn1+bn，b1+b2，b2+b4，b3+b5，bn2+bn， ，b1+bn2，b2+bn1，b3+bn，b1+bn1，b2+bn，b1+bn，数列bn是等差数列，b1+b4=b2+b3，b1+b5=b2+b4，b1+bn=b2+bn1第二列中只有 b2+bn 的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，第一列共有n1个不同的值，后面共有n

11、1列，所有不同的值有：n1+n2=2n3，故M（B）=2n3，故选A点评：本题考查进行简单的合情推理，属于新定义的创新题，主要考查等差数列的定义和性质，题目篇幅长，难于理解是解决这一问题的障碍，属于中档题10（5分）（2010肥城市模拟）在正三棱锥ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EFDE，且BC=1，则ABCD的体积为（）ABCD考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：综合题分析：先证明AC面ABD，然后求底面ACD的面积，即可求出体积解答：解：EFDE，EFACACDE，又ACBDAC面ABD，AB=AC=AD=，可求体积：故选B点评：本题考查椎体体积计算公式，考查空间想象能力，是基础题

12、二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11（5分）已知1，a，b，c，16成等比数列，则b=4考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：题目给出的数列是等比数列，设出其公比后利用给出的首项和第5项求出公比，则第3项b可求解答：解：因为1，a，b，c，16成等比数列，设其公比为q，则16=1q4，所以q2=4，则b=1q2=4故答案为4点评：本题考查了等比数列的通项公式，是基础题型，但该题若用等比中项来求，将会出现错误的答案，得到b=4，此时需要考虑把4舍掉，此题也是也错题12（5分）（2011虹口区三模

13、）直线xy+5=0被圆x2+y22x4y4=0所截得的弦长等于2考点：直线与圆相交的性质专题：计算题；规律型；转化思想；综合法分析：先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长解答：解：x2+y22x4y4=0可变为（x1）2+（y2）2=9，故圆心坐标为（1，2），半径为3圆心到直线xy+5=0的距离是=2故弦长的一半是=1所以弦长为2故答案为：2点评：本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离13（5分）不等式的解集是x|0x1或x2考点：其

14、他不等式的解法专题：计算题分析：把原不等式化简得 0，利用穿根法求出它的解集解答：解：由不等式可得 0，化简得 0，解得0x1或x2，故不等式的解集为x|0x1或x2，故答案为 x|0x1或x2点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题14（5分）（2011韶关模拟）在ABC中，若a=b=1，则C=考点：正弦定理；余弦定理专题：计算题分析：运用余弦定理，可以计算出角C的余弦值，再结合C（0，），可得C=解答：解：根据余弦定理得： 又因为C（0，）， 所以C=故答案为：点评：本题考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，属于简单题15（5分）观察下列式子：，根据以上式子

15、可以猜想：考点：归纳推理专题：规律型；不等式的解法及应用分析：确定不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求得结论解答：解：观察下列式子：，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得故答案为点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题，16（5分）设函数f（2x）的定义域为1，2，求f（log2x）的定义域 4，16考点：函数的定义域及其求法；指数函数的定义、解析式、定义域和值域专题：计算题分析：由函数f（2x）的

16、定义域为1，2，可知自变量的范围，进而求得2x的范围，也就知道了log2x的范围，从而求得自变量的范围解答：解：函数f（2x）的定义域为1，2，22x42log2x44x16f（log2x）的定义域为：4，16故答案为：4，16点评：本题主要考查抽象函数定义域的求法，要紧扣定义域的定义，同时，谁占了自变量的位置谁就必须满足其要求17（5分）（2013静安区一模）设P是函数y=x+（x0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是1考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：设P（x0，）（x00），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四点共圆，

17、可得APB=，由数量积定义可求解答：解：设P（x0，）（x00），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为|PA|=，|PB|=x0O、A、P、B四点共圆，所以APB=AOB=1故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（12分）（2011潍坊一模）函数的部分图象如图所示（）求f（x）的解析式；（）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值专题：计算题；数形结合分析：（）由图读出A，最高点到时左边

18、第一个零点的横坐标的差的绝对值为四分之一周期，求出周期T，进而求出，代入点的坐标求出，得f（x）的解析式；（）由（）知f（x）的解析式，把x代入求f（x），进而求出g（x），利用降幂公式得一个角一个三角函数值，由x的范围，求出3x+的范围，借助余弦函数的图象，求出cos（3x+）的范围，进一步求出最大值解答：解：（）由图知A=2，则f（x）=2sin（x+），2sin（+）=2，sin（+）=1，+=，=，f（x）的解析式为（）由（）可知：当即时，g（x）max=4点评：给出条件求y=Asin（x+）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求，最后求；求三角函数最值时，一般要把式子化为

19、y=Asin（x+）+B或y=Acos（x+）+B的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（x+）+B或Acos（x+）+B的范围，即函数f（x）的值域，数形结合，看x+为多少时，取得最值用到转化化归的思想19（12分）某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完（1）将2012年的利润

20、y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入生产成本促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）根据3x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论解答：解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150%由题意，生产x万件产品正好销

21、完，年利润=年销售收入年生产成本促销费即（2），此时t=7，ymax=42点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题20（13分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，B=90，D为棱BB1上一点，且平面DA1C平面AA1C1C（1）求证：D点为棱BB1的中点；（2）若二面角AA1DC的平面角为60，求的值考点：平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题；证明题分析：（1）利用同一性证明，先作出AC中点F，DEA1C于E点，再证明出EF=BD，EF平行且等于AA1，从而得出

22、BD=BB1即可（2）方法一作出相应的辅助线，作出二面角的平面角，利用角为60度建立方程，求出比值方法二建立空间坐标系，将两线段的长度转化为坐标，求出两个平面的法向量，利用夹角公式建立方程求出两线段长度之间的比值解答：证明：（1）过点D作DEA1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF面DA1C面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DEA1C，DE面AA1C1C（3分）又面BAC面AA1C1C且相交于AC，且ABC为等腰三角形，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1面AA1C1C，故有DBEF，从而有EFAA1，又点F是AC的中点，所以

23、，所以D点为棱BB1的中点（6分）（2）（法一）面AA1B1B面ABC，面ABC面AA1B1B=AB，BCAB，BC面AA1DB，延长A1D交AB的延长线于点M，过B作BHA1D交A1D于点H，连接CH，则CHA1D，CHB为二面角AA1DC的平面角，且CHB=60，（9分）设A1A=2b，AB=BC=a，由易知BD=b，BM=a，则，（12分）（法二）建立如图所示直角坐标系，设AA1=2b，AB=BC=a，则D（0，0，b），A1（a，0，2b），C（0，a，0），所以，（8分）设面DA1C的法向量为，则可取又可取平面AA1DB的法向量，=（10分）据题意有：，解得：所以（12分）点评：考查

24、几何证明与二面角的性质，通过第二小题的对比可以看到，用向量法解决此类问题比几何法方便快捷，思维难度大大降低21（14分）（2011甘肃一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y2=0，其中a，b，c为常数（）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；（）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：（）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=3x2+2ax+b，由题意，知m=2，b=2a3，c

25、=a+4，由此进行分类讨论能求出单调减区间（）由x=1不是函数f（x）的极值点，a=3，b=3，c=1，f（x）=x33x2+3x+1=（x1）3+2，设点P（x0，y0）是函数f（x）的图象上任一点，则y0=f（x0）=（x01）3+2，点p（x0，y0）关于点M（1，2）的对称点为Q（2x0，4y0），再由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称解答：解：（）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=3x2+2ax+b，（1分）由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f（1）=3+2a+b=0，即b=2a3，c=a+4（2分），（3分）1当a=3时，f（x）=3（x1）20，函数f（x）在区间（，+）上单调增加，不存在单调减区间；（5分）2当a3时，11，有x（）（1，1）（1，+）f（x）+f（x）当a3时，函数f（x）存在单调减区间，为1，1（7分）3当a3时，11，有x（，1）（1，1）（1，+）f（x）+f（x）当a3时，函数f（x）存在单调减区间，为1，1（9分）（）由（）知：x=1不是函数f（x）的极值点，则a=3，b=3，c=1，f（x）=x33x2+3x+1=（x1）3+2（10