计算机数学基础(下)数值部分辅导(6)

1、计算机数学基础(下)数值部分辅导(6)中央电大 冯泰第14章 常微分方程的数值解法一、重点内容1. 欧拉公式： 局部截断误差是O(h2).2. 改进欧拉公式： 或表示成： 平均形式： 局部截断误差是O(h3). 3. 四阶龙格库塔法公式： 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)局部截断误差是O(h5).二、实例例1 用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2.计算过程保留6位小数.解h=0.2, f(x)=yxy2.首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)y

2、1=0.21(401)0.8当k1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4 当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有y(0.6)y3=0.20.6144(40.40.4613)0.8例2 用欧拉预报校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，小数点后至少保留5位.解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=yy2sinx欧拉预报校正公式为： 有迭代格式： 当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有 当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2

3、=1.4，有 例3 写出用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值.至少保留四位小数.解 此处f (x,y)=83y, 四阶龙格库塔法公式为 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)本例计算公式为： 其中 k1=83 yk；k2=5.62.1 yk；k3=6.322.37yk; k4=4.2081.578yk当x0=0,y0=2, 例4 对初值问题，证明用梯形公式求得的近似解为并证明当步长h0时，ynex 证明 解初值问题的梯形公式为 整理成显式 反复迭代，得到

4、若x0, 为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故x=nh，有例5 选择填空题：1. 取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题的计算公式是 答案：解答：欧拉法的公式 此处，迭代公式为2. 改进欧拉法的平均形式的公式是( )(A) (B) (C) (D)答案：(D):解答：见改进欧拉法平均形式公式.三、练习题1.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是( ); 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格库塔法的局部截断误差是( )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)2. 改进欧拉预报校正公式是 3. 设四阶龙格库塔法公式为 其中 k1=f(xk

5、,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3) 取步长h=0.3，用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式是 .4.取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题5. 试写出用欧拉预报校正公式求解初值问题的计算公式，并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值.要求迭代误差不超过105.6. 对于初值问题试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报校正公式；(3)四阶龙格库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值.7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x=0.2,0.4,0.6处的近似值.四、练习题答案1. (A), (B), (D)

6、 2. ; 3.提示：其中 k1=1yk；k2=0.85(1yk)；k3=0.8725(1yk)；k4=0.73825(1yk)4.y1=1，y2=1.005 000，y3=1.010 025，y4=1.025 175，y5=1.045 679， y6=1.078 21，y7=1.103 976，y8=1.142 615，y9=1.188 320，y10=1.241 7945. 计算公式为 6.欧拉法：y(0.2)1.000 00; y(0.4)1.080 00 欧拉预报校正公式：y(0.2)1.020 84; y(0.4)1.042 40四阶龙格库塔法：y(0.2)1.002 673 ; y

7、(0.4)1.021 7987. yp=0, yc=0.04, y1=0.02； yp=0.056, yc=0.0888, y2=0.0724； yp=0.13792, yc=0.164816, y3=0.151368 附录：教材中练习与习题答案练习14.1(A)1. 略 2.将解列入表141中. 表141tI欧拉法预报校正值四阶龙格库塔法亚当斯隐式法精确解0000（头4个值用00.0010.192 110.096 050.096 209 5龙格库塔法值)0.096 207 10.0020.553 710.371 010.372 8910.372 8860.0031.045 670.794 2

8、50.788 2270.799 2200.0041.616201.320 731.329 841329 98 1.329 830.0052.205 871.8945 381.909 241909 531.909 230.0062.753 492.458 52.477 212477 672.477 200.0073.202 042.951 582.974 752975 362.974 740.0083.504 243.323 043.349 81 3350 553.349 800.0093.627 213.533 233.562 363563 193.562 350.013.555 663.55

9、8 363.588 363589 243.588 353.本题的解列入表142的第3列 表142xI欧拉法改进欧拉法四阶龙格库塔法精确解011110.11.110 0001.110 0001.110 3420.21.241 0001.242 0501.242 8001.242 8060.31.395 1001.398 4651.399 7180.41.574 6001.581 8041.583 6361.583 6490.51.782 1001.794 8931.797 4430.62.020 3002.040 8572.044 2132.044 2384.5. 略. (B)1. 2.C 3.

10、A 4. D 5. xk+1,yp C练习14.2 (A)1. 见表142的第4列.2. xk00.20.40.6yk11.727 5482.742 9514.0941813.见表141的第4列. (B) 1.C 2.O(h4) 3.B 4. 见教材第14章公式(2.10) 5. O(h5) 练习14.3(A)1.显式y(1.0)0.632 013 隐式y(1.0)0.632 136 2.见表141的第5列. (B)1.D 2.四 四 3.见教材第14章公式(3.3) 4.见教材第14章公式(3.5)练习14.4 (A)1. 令y=z, z(0)=1，计算结果例入表143 表 143xkYkz

11、kk1l1k2l2k3l3k4l401.0001.0001.0001.0001.1001.1001.1101.1101.2221.2220.21.2211.2211.2211.2211.3441.3441.3561.3561.4931.4930.41.4921.4921.4921.4921.6411.6411.6561.6561.8231.8230.62.8221.8821.8821.8822.0042.0042.0232.0232.2272.2270.82.2262.2262.2262.2262.4482.4482.4702.4702.7202.7201.02.7182. 解列表144 表1

12、44 tk 改 进 欧拉 法 精 确解 ykxk ykxk0 0 1 0 1 0.1 0.240 000 1.145 000 0.247 961 1.152 7990.2 0.607 200 1.426 225 0.633 184 1.451 9140.3 1.183 266 1.934 484 1.246 957 1.987 7750.4 2.100 699 2.771 205 2.239 579 2.909 8990.5 3.574 629 4.181 705 3.858 654 4.465 1850.6 5.954 470 6.503 784 6.512 242 7.061 0550.7

13、 9.807 87110.305 08110.872 93511.369 5410.816.057 12118.507 09618.049 66718.498 9360.926.200 81626.608 04329.870 18730.276 7571.042.674 06043.042 60149.348 42749.716 3061.0习题14 1.xk0.10.20.30.40.5yk0.10.199 40.299 1396 40.490 12. 1; 1.1; 1.18; 1.25; 1.31 3. 用预报校正值 xk0.10.20.30.40.5 yk0.050.1830.362

14、740.547 550.705 91精确解y0.048 770.181 270.362 370.550 670.71350 4.见练习14.2的第2题解答.5.欧拉法xk0.10.20.30.40.5yk-2-1.96-1.883 17-1.776 78-1.650 50四阶龙格库塔法x1=0.1, k1=0,k2=0.2, k3=0.198 01, k4=0.00004, y1=-1.986 73 x2=0.2, k1=0.394 71, k2=0.480 28, k3=0.577 84, k4=744 17, y2= -1.93248x3=0.3, k1=0.746 90, k2=0.89

15、7 88, k3=0.890 75, k4=1.019 44, y3=-1.843 42 y1=-1.986 73 y2= -1.93248 y3=-1.843 42 6. 1； 0.975； 0.949; 0.921; 0.888; 0.842; 0.802; 0.744; 0.675; 0.593; 0.495 7. 略 8. 0.02 9.计算见表. tk01 23 xk11.541 67 3.737 863 yk01.166 67 3.597 229.959 29 k1 01.166 67 3.597 229.906 55 l111.541 67 3.737 86 k2 0.51.937 51 5.466 15 L212.124 97 5.536 47 k3 0.52.229 16 6.365 46 l31.252.510 43