高等代数(一)试题及参考答案

1、高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题 号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式D = aj展开式中取负号的项3ii322 833844 .814823831842 .812823831844 .823841832814 .1342行列式023中元素8的代数余子式是（ ）-2 80-20-2103设代B都是n阶矩阵，若AB=O，贝U正确的是（）、A=0.、A = 0 .A r(A) r(B)岂 n.BC、A=O或 B=O.D4下列向量组中，线性无关的是（）.

2、A 0 .B、g,：;.C、匸 1,2,川，奁，其中 r =m2.D ：2,川，：/，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合5. 设A是n阶矩阵且r（A）二r ： n，则A中（）.A、必有r个行向量线性无关.B、任意r个行向量线性无关.C、任意r个行向量构成一个极大线性无关组.D任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表出.6. n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）条件.A、充要. B、充分非必要. C、必要非充分.D 、非充分非必要、判断题（正确的打V，错误的打X，5小题，每小题2分，共10分）1若A为n阶矩阵，k为非零常数，则kA二kA.（）2. 若两个向量组等价，则它们

3、包含的向量个数相同.（）3 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.（）4. 正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵.（）5. 任何数域都包含有理数域.（）、填空题（每空4分，共24 分）00III0100HI201 .行列式D =川IIIIIIIIIIII0n 1III00n0III002 .已知 5 ( 1 ,-0 厂 1 )- 3*1,4,2)(1 ,一 3, ,1 则3.12-2J-2-1-51318-1-10-41-n-23-2,则 r(A)二11X1 +62X2 +川+ amXn4.设线性方程组环+如卷卄li +珈 迪有解，其系数矩阵A与增广矩阵A的秩分III III III III

4、III HI IIIamX1 an2X2 川 annXn =0别为s和t，则s与t的大小关系是 .5.111111231111,B =-1-24J_11 一051j则AB二设A =四、计算题（4小题，共42 分）a11111111a11；(2)165411a11362516111a121612564.（每小题6分，共12分）计算行列式（1）2.用基础解系表出线性方程组备 + 2x2 + x3 _ 3x4 + 2x5 = 12X2+X3+X4-3X5=6的全部解.(!0分)M X2 2x3 2x4 -2x5 二 22% 3x2 -5x3 -17x4 10x5 =53.求与向量组(1,1,1,1)

5、,:=（1厂1,0, 4）乙=（3,5,1厂1等价的正交单位向量组.（10分）4.求矩阵A-2010的特征根和特征向量（ 10分）3、单选题（每题4分，共24 分）、判断题（每题三、填空题（每空题号123456答案BCADAB题号12345答案XXVVV2分，共10分）4分，共24分）n（n）1. （-1） n!;23. 3 ;4-11-5222 I5.1-31.J 2弓.（1） 6 ；（2） 0.s =t ；四、计算题（共42分）1. （12分，每小题各6分）（1）解：a111a+31a11a+311a1a+3111aa+31110a 10=（a+ 3）00a 10001111111a11=

6、 （a+3）1a111a111a111a111a（3 分）0F+3）（1）3a 1（3 分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分（3 分）解：111111111654165413625161262524212161256413635343此行列式为范德蒙行列式进而1111原式1262552635344243=（6 _1）（5一1）（4 一1）（5-6）（4 一6）（4 一5） = -120（3 分）2. （10 分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形-1 21-32门-121-321-=121-321 12 111-360-3-17-7401-1-54-1TT1 122-220-115-410-3

7、-17-742 3-5-17105_1 L0-1-7-11631 10-1-7-1163 一-一21-3211121-321 101-1-54-101-1-54-1TT（3分）0-3-17-740048-5-1-0-17-1163 一.000000 一得同解方程组x-i 2x2 x3 -3x4 2x5 = 1X2 - X3 - 5x4 4x5 - _14x3 8X45x5 = -1取X4, X5为自由未知量，得方程的一般解为x1 2x2 x3 =1 3x4 - 2x5X2 - X3 =1 *5X4 -4X5（其中X4, X5为自由未知量）4x3 = -1-8x4 5X51551将X4 =0,

8、X5 =0代入得特解 0=（，-一，-一,0,0） （3分）444x-i 2x2 x32x5 = 0用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组x2 - x3 -5沧 4x5 = 04x3 8X4 -5x5 二 0X1 2X2 X3 =3X4 - 2x5仍取X4, X5为自由未知量，得一般解 X2 -X3 =5X4 - 4X54X3 - -8X4 5X5将X4 =1, X5 = 0和X4 = 0, X5 = 4分别代入得到一个基础解系:1 =（-1,3,-2,1,0）, 2 珂9,-11,5,0,4） （3 分）所以，原方程组的全部解为（1 分）0 k! ! k2 2 ,匕匕为数域P中任意数。注：

9、答案不唯一，但同一齐次方程组的基础解系必等价。3. (10 分)解：因：! =(1,1,1,1),： 2 =(1,-1,0,4), ： 3 =(3,5,1, -1)是线性无关向量组，现将1,2,3 正交化，令：1 二：1 ,c（a2,优）4：2-爲1,0,4）-4（1,1,1,1） =（0，3）（6,耳）c（5，蔦）c8-14：3 八 3：1- 2 =（3,5,1, -1）（1,1,1,1）（0, -21,3）33（，：J 1（ ：2, ：2）2414= （1,1, -2,0） （6 分）再将向量组s巳匕单位化，得11_3_214（0 , -2 , -1, 3），乜（1,1, 一2,0）6（4 分）即1, 2, 3就是与-1, = 2, -3等价的正交单位向量组。 注：答案不唯一。4. （10 分）解：A的特征多项式为+ 2-1-1f （人）=E_A =0九一20= 0+1）02）24-1丸-3所以A的特征值为-1,2 (2重).（4 分）九=-1对应的齐次线性方程组为X3 = 0- 3x2 = 04片 _ x2 _4x3 = 0它的基础解