圆板的应力分析

1、第三章 薄板理论及设计,工程应用 平封头： 常压容器、高压容器； 贮槽底板： 可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等,引 子,板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不同作用方式的外载，如图所示,第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载同时作用时，可通过叠加求解,板：厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径)且中面为平面的物体,什么是板,3.1 基本概念与假设,3.2 圆板轴对称弯曲基本方程,3.3 圆板与环板的计算,3.4 带有平盖圆筒的边缘分析,3.5 平

2、盖的工程设计,3.1 基本概念与假设,变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力,当中面的wmax远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；当wmax与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。 一般在工程要求的精度范围内，当 时，按小挠度问题计；当 时，按大挠度问题考虑,挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示,薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时，属于薄板；否则为厚板。对于薄板，

3、在作出一些假设后，其分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维问题来分析，其求解过程较为复杂,基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设,弹性薄板的小挠度理论建立基本假设-克希霍夫Kirchhoff,平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计,本章主要讨论圆形薄板(简称圆板)在轴对称横向载荷作用下的小挠度弯曲问题,根据中性面假设：,对于圆板，常取柱坐标 ，原点位于中面圆心,直法线假设表明 很小，相应的变形可不计，即：,互不挤压假设认为：,因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力分量 。 为弯曲

4、应力，沿板厚线性分布， 与梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示,且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩,在轴对称载荷作用下，圆板中的变形和内力也一定轴对称。因此,3.2 圆板轴对称弯曲基本方程,1.圆板的变形与内力,以上各内力的正向如图2-28(b)所示，且它们都只是r的函数，而与z无关。 另外，由于弯曲应力不引起厚度的改变，因而中面同一法线上各点的挠度相等，位移 w也就是中面的挠度,于是，可将各应力分量沿板厚合成为相应的内力。 可分别合成为弯矩 ， 可合成为横向剪力 ，它们之间的关系为,e,设圆板承受轴对称横向分布载荷 。通常薄板弯曲的平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，

5、)截取中面上的微小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭头表示，方向遵循右手螺旋法则,或,2-55,2.平衡方程,2-56,式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含有 3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系,或,直法线假设,现考察距离中面为z的微小线段AB。变形前AB=ab=dr；变形后aba1b1，ABA1B1，且位于变形后的法线上,2-57,圆板在轴对称载荷作用下，中面将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所示。设中面上任意一点a 变形后的挠度为w，转角为 。由图可知,又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则A点处的两向应变为,将(c)代入得,3.几何方程,a,

6、b,c,z,由于 ，故圆板的物理方程为,将(2-57)代入,代入(e,板的抗弯刚度,2-59,4.物理方程,2-58,d,e,比较,由材力,2-60,d,2-59,易见：正应力的最大值在板的上下表面，剪应力的最大值在中面上,2-60,5.应力计算(p50,圆板轴对称弯曲基本方程,2-55,平衡方程,2-56,物理方程,2-59,4个方程，4个未知量,将(2-59)代入(2-56)，得,2-61,两边乘r 后求导，再将(2-55)代入，可得,2-62,式(2-61,62)即为圆板轴对称弯曲问题的挠曲微分方程,圆板轴对称弯曲挠曲方程,6.挠曲微分方程,基本公式,2-59,2-61,2-60,3.3

7、 圆板与环板的计算,任意半径r处的剪力由区域平衡可得,代入(2-61,积分得,1.受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图,得,由于 应是有限量，故C2=0，于是,2-64,1a,将 和,代入得,联解得,于是,边界条件,1b,1c,代入,得,1a,2-59,2-60,代入,得,纯弯曲情况(q=0,2-83,由式(#1)可得,1,均布载荷简支圆板(M=0,显然，在板中心挠度和应力最大,同样，由式(#1)可得,均布载荷固支圆板,可由边界条件,借助于(#1)求得,将第一式代入得,再将M代回(#1)，即得固支圆板的挠度、弯矩和应力为,1,2-74,2-76,2-77,显然，最大挠度在板中心，其值为,最大弯矩为

8、径向弯矩，发生在边缘处,2-75,相应的最大应力为,2-78,比较可见，如取=0.3，周边简支时的最大挠度约为固支时的4倍，最大应力约为固支时的 1.65倍。因此，在同样的载荷作用下，无论在刚度方面还是强度方面，固支圆板都要好于简支圆板,均布载荷固支圆板,均布载荷简支圆板,板内任意半径r处的剪力Qr，由区域平衡可得,积分得,2.受均布弯矩和剪力作用的环板,于是式(2-61) 成为,a,为简化计算，上式可改写为,边界条件,代入得,将,及,a,联解得,代回(a)式，即得挠度的表达式为,2,现以受均布载荷的简支环板为例来说明叠加计算方法,由截去部分力的平衡可得,采用叠加法，图a可看成是图b和图c的叠

9、加。 图b为从均布载荷简支圆板中挖去半径R1的部分代之以内力而形成的环板。故其wb和R1处的M1，由式(2-67,70)可得,3.圆(环)板计算的叠加方法,2-67,70,图c的wc可由受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将M1和Q1代入(#2)，并注意到符号相反，即,则得,于是,p58w表达式,在R1处，挠度最大，其值为,式中,同理可求得最大弯矩和相应的应力,应用类似的过程可以求解承受不同载荷和具有不同边界条件的环板。图2-2列举了几种典型环板的最大挠度和最大应力( )，可供设计计算参考,图2-2 几种典型环板的计算系数,a,b,c,d,q,R1,R,q,R1,R,q,R1,R,P,R1,R,P

10、,R1,R,q,R1,R,e,f,集中载荷,分布载荷,图A 不同受力形式的圆板,图B 不同受力 形式的环板,3.4 带有平盖圆筒的边缘分析,圆筒 在内压p，Q0和M0作用下连接处的平行圆增量与转角由表2-1和式2-46为,平盖 可视为图示力学模型,在压力p和M0-Q0t2/2作用下连接处的转角，可由(#1a)式求得，过程如下,b,式中,因 在板下表面引起的平行圆半径增量为,其次，由 引起的平行圆半径增量可按以下推导得出,1a,D2,M0-Q0t2/2,c,d,e,1a,p,代入变形协调方程，得,联解即得Q0、M0，详见教材式(2-87,g,Q0、M0解得后，可由下式求得圆筒与平盖中的总应力,薄膜应力,均布压应力,纯弯曲,均布载荷,3.5 平盖的工程设计,根据强度条件，平盖的计算厚度为,2-107,式中 K结构特征系数； Dc封头的有效直径，mm,K和Dc与封头-筒体的具体连接结构有关，见表2-8,表2-8 平盖系数K选