向量组的线性关系

1、第二节,二、线性相关与线性无关的概念,向量间的 线性关系,三、向量组线性相关性的判别,一、线性组合与线性表示,第三章,一、线性组合与线性表示,设有n维向量组,如果存在一组数,则称,是向量组,的线性组合,定义1,线性表示,称,可由,若向量,可以由向量组,的线性,即存在一组数,使得,组合来表示,设由三维向量,我们称,是,和,的线性组合,组成的向量组,也称,可由,和,线性表示,例1,例,例,任一n 维向量,都可由n维单位向量组,线性表示,而三维基本单位向量,中任何一个向量,都不能由其他两个向量线性表示,n维基本单位向量,它们之间彼此是线性无关(相互独立)的,中任何一个向量,也不能由其他向量线性表示,

2、设,即,1,定理1,设,是为 n维列向量组,可由,线性表示,有解,其中,因为,中每个向量都可由向量组本身,2)向量组,线性表示,1)零向量可由任一组向量线性表示,例2,已知,线性表示,如能线性表示,解,设有数,就写出表达式,使,有唯一解,练习,已知,解,设有数,就写出表达式,使,同解方程组为,令,得,k 为任一常数,例3. 判断,是否为向量组,的线性组合,解: 设,对矩阵,若,设由三维向量,又可以写成,组成的向量组,引例,二、线性相关与线性无关的概念,如果存在一组不全为0的数,设,为m 个n 维向量组,使,成立,则称向量组,线性相关,否则称,则对任意不全为0的数,都有,线性无关,即当且仅当,时

3、,而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式,若,定义1,根据向量的线性运算，只能得,例如,则,线性无关,线性相关,例4. 已知,即,判别,是否线性相关,解: 因为,当向量组只含一个向量时,为线性无关向量组,当,为线性相关向量组,当,特别,当向量组含两个非零向量时,设,对应分量成正比,与,证明,线性相关，则存在不全为零的数,或,与,或,例5,使得,若,例如,对应分量不成比例,线性无关,对应分量成比例,线性相关,几何上说向量,共线,例6,求证含有零向量的向量组必线性相关,则此向量组必定线性相关,证明,设向量组,中,取数,必有,线性相关,线性相关,即如果部分组线性相关,则整体组也线性相关,定理2,证

4、明,线性相关,因为,则存在一组不全为0的数,使,成立，因此有,其中,不全为零,线性相关,部分相关，整体相关,线性无关,线性无关,即：如果整体组线性无关,则部分组也线性无关,定理3,利用定理2，用反证法,定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间,的关系,整体无关，部分无关,即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关,线性相关,已知,证明,则存在一组不全为0,的数,使得,则,1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别,已知,解,设有数,使得,例7. 判别下列向量组的线性相关性,三、 向量组线性相关性的判别,下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性,和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行

5、判别,即,有,得同解方程组,得同解方程组,令,k 为任意实数,由,得,此向量组线性相关,方程组有非零解,未知数个数n,此向量组线性相关,小结,首先设有数,使得,归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题,用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法,第二步将,代入,得齐次线性方程组,方程组有非零解,有,则称向量组,线性相关,方程组只有零解,则称向量组,线性无关,下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性,的方法,这是判别向量组线性相关性的主要方法,第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关,定理4,有非零解,线性相关,秩,无关,只有零解,此定理是证明向量组线性相关性的基本方法,推论2,设n

6、维向量组中含有m个向量,当mn 时,此向量组必定线性相关,推论1,当m=n时，即向量个数=分量个数时,线性相关,线性无关,向量组构成行列式的值为零，即,判断,的线性相关性,例8,解,线性相关,例9. 判断下列向量组的线性相关性,解,线性无关,解,线性相关,2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别,利用相关性的定义和反证法判别,判别方法,方程组只有零解,试证向量组,整理得,即,证明,例10,设向量组 线性无关,也线性无关,因为向量组 线性无关，所以必有,从而,设存在数,使得,线性无关,例11,证明,已知,证明,线性无关,线性相关,设存在数,已知,只有,线性无关,使得,即,故向量组线性相关,不

7、全为零,定理5,其中至少有一个向量是其余m1个向量的线性组合,线性相关,证明,必要性,线性相关,不全为0的数,则存在一组,使,则,即,是,的线性组合,组合，即存在不全为0的数,使,线性相关,不全为0,由于,则,中至少有一个向量是其余,向量的线性组合，不妨设,是其余向量的线性,充分性：因,向量,可由,线性表示,这说明,线性相关,而向量组,中任一向量都不能被,其他向量线性表示,其线性无关,一个向量组中有没有某个向量可由其余向量,线性表示,这是向量组的一种属性,称为向量组的,线性相关性,线性无关,线性相关，则,可由A线性表示且表法唯一,证明,因为,线性相关,则存在一组不全为零的数,使,成立,定理6,故,故表示唯一,又设,是另一种表示形式,两式相减,已知,线性无关,必有,线性无关,证明,不可由,线性表示,假设,可由,线性表示,使,