2017直角三角形与勾股定理2

1、直角三角形与勾股定理选择题1. (2017 广西百色 3 分)如图， ABC 中，/ C=90 / A=30 , AB=12，贝BC=()37A . 6 B . 6 7C . 6D . 12【考点】 含30度角的直角三角形.【分析】根据30。所对的直角边等于斜边的一半求解.【解答】解：/ C=90 / A=30 AB=12 , BC=12sin30 12厶=6, 故答选A.2. （2017贵州安顺3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A , B, C都在格点上，则/ ABC的正切值是（）_1A. 2B.- C. D.【分析】根据勾股定理，可得 AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答

2、案.【解答】解：如图:由勾股定理，得AC=二 AB=2 二 BC= , ABC为直角三角形,AC 1/ tan / B= 12 =.,故选：D.【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，先求出 AC、AB的长，再求正切函数.3. （ 2017山东省东营市 3分）在 ABC中，AB = 10, AC = 2.10, BC边上的高 AD = 6, 则另一边BC等于（）A . 10 B. 8 C. 6 或 10 D. 8 或 10【知识点】勾股定理、分类讨论思想【答案】C.【解析】在图中，由勾股定理，得BD = AB2 AD2= 102 62 = 8;CD= AC2 AD2= （2一10）2 62=

3、2; BC = BD + CD = 8+ 2= 10.在图中，由勾股定理，得BD = ,AB2 AD2= 102 $ = 8;CD= AC2 AD2= ,（2,百）2 62= 2; BC = BD CD = 82 = 6.故选择C.第9题答案图【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出 BC的长.4. （ 2017广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米,/ B=36，则中柱AD（ D为底边中点）的长是（）A. 5sin36 米 B. 5cos36 米 C. 5tan36 米 D. 10tan36

4、米【考点】解直角三角形的应用.【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt ABD中，利用/ B的正切进行计算即可得到AD的长度.【解答】解：T AB=AC , AD丄BC , BC=10米， DC=BD=5 米，在 Rt ADC 中，/ B=36 ,AD tan36 = ，即 AD=BD?tan36 =5tan36 （米）.BD故选：C.【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.5. （ 2017海南3分）如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC=45，把 ADC沿着直线 AD对 折，点C落在点E的位置.如

5、果 BC=6，那么线段BE的长度为（ ）A. 6 B. 6 C. 2 D. 3【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质判定 EDB是等腰直角三角形，然后再求BE .【解答】解：根据折叠的性质知， CD=ED，/ CDA= / ADE=45 ,/ CDE= / BDE=90 ,/ BD=CD , BC=6 , BD=ED=3 ,即厶EDB是等腰直角三角形， BE= BD= X3=3,故选D .【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对 应边和对应角相等；2、等腰直角三角

6、形的性质求解.6. （2017 陕西 3 分）如图，在 ABC 中，/ ABC=90 , AB=8 , BC=6 .若 DE 是厶 ABC 的 中位线，延长 DE交厶ABC的外角/ ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A . 7 B . 8 C. 9 D . 10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理.【分析】 根据三角形中位线定理求出DE，得到DF / BM，再证明EC=EFAC,由此即可解决问题.【解答】 解：在 RTA ABC 中，/ ABC=90 , AB=8 , BC=6 ,-AC=叮卅：；=空辻于.八=10,DE是厶ABC的中位线， DF / BM , D

7、E= BC=3 ,2/ EFC= / FCM , / FCE= / FCM ,/ EFC= / ECF, EC=EF= AC=5 ,2 DF=DE+EF=3+5=8 .故选B .7.（2017四川眉山3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45。得到正方形AB3+323 C,利用勾股BO, OD ,从而C，边BC与D交于点O,则四边形 ABOD的周长是【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形 定理的知识求出 BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求 可求四边形ABOD的周长.【解答】解：连接BC ,旋转角/ BAB =45 / BAD =45 B在对角

8、线AC上，b C =AB3,在 Rt AB C中,AC二 =3爲 B，C=3- 3,在等腰 Rt OBC 中，OB=BC=3 厂-3,在直角三角形 OBC中，OC= (3 = - 3) =6 - 3 =, OD =3- OC =3 厂-3,四边形 ABOD 的周长是：2AD +OB+OD=6+3- 3+3- 3=6.故选：A.正方形的性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度适中,注意连接BC构造等腰Rt OBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系.8.（2017四川南充） 如图，在Rt ABC中，/ A=30 BC=1，点D, E分别是直角边 BC,AC的中点，贝U DE的长为（）A. 1【分析】

9、由“3（度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2 然后根据三角形中位线定理求得DE= AB .【解答】解：如图，在Rt ABC中，/ C=90 , / A=30 , AB=2BC=2 .又点D、E分别是AC、BC的中点, DE是厶ACB的中位线，1 DE= AB=1 .故选：A.【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.9.（2017四川内江）已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点，则点到三边的距离之和为（D .不能确定A .二 B.2 2答案B 考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图， ABC

10、是等边三角形，AB = 3,点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB, BC, CA作垂线，垂足依次为 D , E, F，过点A作AH丄BC于H .则BH = 3 , AH = AB =于.连接 PA, PB, PC,则 SaPab+ Sa PBC + Sa PCA = Sa ABC .1111 ABPD + BC PE + CA PF =才 BC AH . PD + PE+ PF = AH = 3 .2故选B .A答案图10 .（2017 四川宜宾）如图，在 ABC 中，/ C=90 , AC=4 , BC=3，将 ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则

11、B、D两点间的距离为（）A .!: B . 2 C . 3 D . 2【考点】旋转的性质.【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度， 利用勾股定理求出B、D两点间的距离.【解答】 解：在 ABC 中，/ C=9C , AC=4 , BC=3 ,/ AB=5 ,将 ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在 点D处， AE=4 , DE=3 , BE=1 ,在 Rt BED 中,BD=um.八=!:.11. （2017黑龙江龙东3分）若点O是等腰 ABC的外心，且/ BOC=60，底边BC=2，则 ABC的面积为（）【考点】三角形的外接圆与外心；等腰

12、三角形的性质.【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况， 求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下 ABC的面积，本题得以解决.【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当厶 ABCA!BC 时，连接 OB、OC ,点O是等腰 ABC的外心，且 / BOC=60，底边BC=2 , OB=OC , OBC为等边三角形， OB=OC=BC=2 , OAi丄BC于点D, CD=1 , OD=Y当厶 ABCA2BC 时，连接 OB、OC ,点O是等腰 ABC的外心，且 / BOC=60，底边BC=2 , OB=OC , OBC为等 边三角形，OB=OC=BC=2 , OAi丄BC

13、于点D , CD=1 , OD= -:,-A2BC由上可得， ABC的面积为:- .或2+二, 故选C.12. （2017湖北荆门3分）如图， ABC中，AB=AC , AD是/BAC的平分线.已知AB=5 ,AD=3，贝U BC的长为（）A . 5 B . 6 C. 8 D . 10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的性质得到AD丄BC, BD=CD，根据勾股定理即可得到结论.【解答】 解：T AB=AC , AD是/ BAC的平分线， AD 丄 BC , BD=CD ,/ AB=5 , AD=3 ,昕=血迁】呵空4 , BC=2BD=8 ,故选C.13. （2017

14、湖北荆州3分）如图，在4用的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点, ABC的顶点都在格点上，则图中/ ABC的余弦值是（）A. 2 B. C.D. Xl525【分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出 ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.【解答】 解：由图可知， AC2=22+42=20, BC2=12+22=5, AB2=32+42=25 , ABC是直角三角形，且/ ACB=90 , cos/ ABC=AB 5故选D .【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.填空题1. （2017浙江省湖州市 分）

15、如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , BC=6 , AC=8，分别以 点A , B为圆心，大于线段 AB长度一半的长为半径作弧，相交于点 E, F,过点E, F作直 线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5.【考点】作图一基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题.【解答】 解：由题意EF是线段AB的垂直平分线， AD=DB ,RtA ABC 中，V/ ACB=90 , BC=6 , AC=8 , AB=讥儿 ;；= i： ： =10,/ AD=DB , / ACB=90 , CD= B=5 .2.

16、 （2017湖北随州 3分）如图，在 ABC中，点，延长BC至点D,使CD= ._BD，连接DM、 3/ ACB=90 , M、N 分别是 AB、AC 的中DN、MN .若 AB=6，贝DN= 3.【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质.【分析】连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB, MN / BC,证明四边形 DCMN是平行四边形，得到 DN=CM，根据直角三角形的性质得到 CM=AB=3，等量代换即可.厶【解答】解：连接CM ,T M、N分别是AB、AC的中点， NM=CB , MN / BC，又 CD=BD , MN=CD，又 MN / BC ,

17、四边形DCMN是平行四边形， DN=CM ,/ ACB=90 , M 是 AB 的中点, CM= AB=3 ,2 DN=3 , 故答案为：3.3. （2017湖北武汉 3分）如图，在四边形 ABCD中，/ ABC = 90 AB = 3, BC= 4, CD=10，DA = 5（5，贝U BD 的长为.【考点】相似三角形，勾股定理【答案】2 41【解析】连接AC,过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H 在Rt ABC中，AB= 3,BC = 4,. AC= 5,又 CD = 10, DA = 5 5，可知 ACD 为直角三角形，且/ ACD = 90 易证 ABC CHD，贝U CH = 6

18、, DH = 8,. BD = .(4+6)2 82 =2.41 .4. （2017江西3分）如图是一张长方形纸片 ABCD ,已知AB=8 , AD=7 , E为AB上一点,AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（ AEP ）,使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形 AEP的底边长是5sqrt2或4sqrt5或5 .【考点】 矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理.【分析】 分情况讨论：当AP=AE=5时，则 AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=-AE=5 .二即可； 当PE=AE=5时，求出BE,由勾股定理求出 PB,再由勾股定理求出等边 AP即可； 当PA=PE时，底边AE=

19、5 ;即可得出结论.【解答】解：如图所示： 当AP=AE=5时，/ BAD=90 , AEP是等腰直角三角形，底边 PE=AE=5 7； 当PE=AE=5时，/ BE=AB - AE=8 - 5=3, / B=90 , PB=FL -.：LL=4，底边 AP=二一一二=：丄,：-=4 二； 当PA=PE时，底边AE=5 ；综上所述：等腰三角形 AEP的对边长为5 .或4 或5；故答案为：5.或4 !或5.5. （2017四川内江） 如图4,在菱形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O, AC= 8,BD = 6, OE丄BC,垂足为点 E,贝U OE =图4答案12 考点菱形的性质，勾股定理

20、，三角形面积公式。解析：菱形的对角线互相垂直平分,OB = 3, OC = 4,Z BOC = 90二 BC = OB2 OC2 = 5.11-obc= OB 0C,又 Saobc = BC OE,22 OBOC = BC OE,即卩 3X4= 5OE.12 OE = 12故答案为：12 .6. （2017 青海西宁 2 分）如图，OP 平分/ AOB，/ AOP=15,PC/ OA , PD 丄 OA 于点 D ,PC=4，贝U PD= 230度角的直角三角形.【分析】作PE丄OA于E,根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得/ ACP= / AOB=30，由直角三角形中 30

21、勺角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE,即可求得PD .【解答】 解：作PE丄OA于E,/ AOP= / BOP , PD 丄 OB , PE丄 OA , PE=PD （角平分线上的点到角两边的距离相等），/ BOP= / AOP=15 ,/ AOB=30 ,/ PC / OB ,/ ACP= / AOB=30 ,在Rt PCE中，PE= . PC= X4=2 （在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一 半）, PD=PE=2,故答案是：2.7 .（2017四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P （ 1 , 1）为圆心、：为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是 （0 , 3）,（ 0,-

22、 1）.【考点】坐标与图形性质.【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个 直角边，再根据点P的坐标即可得出答案.【解答】解：以（1 , 1）为圆心，叮、为半径画圆，与y轴相交，构成直角三 角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2 ,则与y轴交点坐标为（0, 3）或（0,- 1）.故答案为：（0 , 3） , （ 0 ,- 1）.3.（2017四川内江）如图12所示，已知点C（1 , 0），直线y= x+ 7与两坐标轴分别交于A, B两点，D, E分别是AB, OA上的动点，贝U CDE周长的最小值是 .答案10考点勾股定理，对称问题。解析作点C关于y轴的对称点C1（

23、1, 0）,点C关于x轴的对称点C2,连接C1C2交OA 于点E,交AB于点D，则此时 CDE的周长最小，且最小值等于 C1C2的长./ OA = OB = 7,二 CB= 6，/ ABC= 45/ AB垂直平分 CC2,/ CBC2= 90 C2 的坐标为（7, 6）.在 Rt C1BC2 中，6C2= . C1B2 C2B2 = . 82 62 = 10 .即厶CDE周长的最小值是 10.8.（2017湖北黄石3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点 O,OA=AC=2 , 将正方形绕O点顺时针旋转60在旋转过程中，正方形扫过的面积是2n +2 .【分析】如图，用大扇形的面

24、积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积.【解答】解：I OA=AC=2 , AB=BC=CD=AD= ，OC=4 ,S 阴影=f ；：+ 1运：女=2 n +2故答案为：2 n +2【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积 转换为规则图形的面积是解答此题的关键.三、解答题1. （2017湖北随州10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形”如图（1）、图（2）、图(3)中，AM、BN是厶ABC的中线，AN丄BN于点卩，像厶ABC这样的三角形均为 中垂 三角形”.设 BC=a

25、, AC=b , AB=c .【特例探究】(1) 如图 1,当 tan/ PAB=1 , c=4 二时，a= 4 i_, b=_ 三_;如图 2,当 / PAB=30 , c=2 时，a= 祈 ，b=;【归纳证明】(2) 请你观察(1)中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并 利用图3证明你的结论.【拓展证明】(3) 如图4, ?ABCD中，E、F分别是 AD、BC的三等分点，且 AD=3AE , BC=3BF，连 接 AF、BE、CE,且 BE丄 CE 于 E, AF 与 BE 相交点 G, AD=3 , AB=3，求 AF 的长.【考点】四边形综合题.【分析】

26、(1)首先证明 APB , PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题.连接EF,在RTA PAB , RTA PEF中，利用30性质求出 PA、PB、PE、PF,再利用勾股 定理即可解决问题.(2)结论a2+b2=5c2 设MP=x , NP=y，则AP=2x , BP=2y，利用勾股定理分别求出 a2、b2、 c2即可解决问题.（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明 ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题.【解答】（1）解：如图1中，CE=AE , CF=BF , EF / AB , EF=AB=2 二，

27、/ tan / PAB=1 ,/ PAB= / PBA= / PEF=Z PFE=45 , PF=PE=2, PB=PA=4, AE=BF=2匚 b=AC=2AE=4 *.；，a=BC=4 “J”故答案为4匚，4 如图2中，连接EF,/ CE=AE , CF=BF , EF / AB , EF=AB=1 ,/ PAB=30 ,pb =1 , PA=二，在 RTA EFP 中，/ EFP= / PAB=30 , a=BC=2BF= :, b=AC=2AE= | 二 故答案分别为-J T ,| .(2)结论 a2+b2=5c2.证明：如图3中，连接EF./ AF、BE 是 中线, EF / AB

28、, EF=AB ,2 FPEs APB, : I.= =AP PB 2设 FP=x, EP=y，贝U AP=2x, BP=2y ,2 2 2 2 2 2 2 a =BC =4BF =4 (FP +BP ) =4x +I6y ,b2=AC 2=4AE 2=4 (PE2+AP2) =4y2+16x2 ,2 2 2 2 2 2c =AB =AP +BP =4x +4y ,.2 22 2 2 2X _ 2a +b =20x +20y =5 (4x +4y ) =5c .(3)解：如图4中，在 AGE和厶FGB中，ZAGE=ZFGB、ZAEG=ZFBG,AB=BF AGE FGB , BG=FG，取AB

29、中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于 P点,同理可证 APHBFH , AP=BF , PE=CF=2BF , 即 PE/ CF, PE=CF ,四边形CEPF是平行四边形, FP / CE,/ BE 丄 CE, FP 丄 BE，即 FH 丄 BG , ABF是中垂三角形，由(2)可知 AB2+AF2=5BF2,/ AB=3 , BF= AD= T, 9+AF2=5X ( T) 2, AF=4 .图3图丄图2. (2017四川南充)如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90，/ BAC的平分线交 BC于点O, OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆.(1) 求证：AB为O O的切线；1(2

30、) 如果 tan/CAO= ，求 cosB 的值.A【分析】（1）如图作0M丄AB于M,根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明.（2 ）设BM=x , OB=y，列方程组即可解决问题.【解答】解：（1）如图作0M丄AB于M ,/ 0A 平分/ CAB , 0C 丄 AC , 0M 丄 AB ,OC=OM , AB是O O的切线，（2 ）设 BM=x , OB=y，贝H y2 - x2=i，型BC/ cosb= m,J y+i二 x2+3x=y2+y，由可以得到：y=3x - 1 ,(3x - 1) 2 -x2=i , x= , y=, cosB=.=.【点评】本题考查切线的判定

31、、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线， 学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型.3. (2017四川内江)(10分)如图9，在Rt ABC中，/ ABC = 90 AC的垂直平分线分别与AC, BC及AB的延长线相交于点 D , E, F.O O是厶BEF的外接圆，/ EBF的平分 线交EF于点G,交O O于点H，连接BD, FH .(1) 试判断BD与O O的位置关系，并说明理由；当AB= BE= 1时，求O O的面积；在的条件下，求HG HB的值.考点切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。(1)

32、 直线BD与O O相切.理由如下:如图，连接 OBBD是Rt ABC斜边上的中线，二 DB = DC ./ OB = OE， / OBE = Z OEB = Z CED ./ C+Z CED = 90/ DBC + Z OBE = 90 BD与O O相切；3分(2)连接 AE .I AB= BE = 1 , AE =2 ./ DF 垂直平分 AC,. CE= AE= . 2 . :. BC = 1 + . 2 ./ C+Z CAB = 90 / DFA +Z CAB = 90/ CAB = Z DFA.又Z CBA =Z FBE = 90 AB= BE, CAB FEB . BF = BC=

33、1 + .、2 .5 分 EF2= BE2+ BF2= 12+ (1 +2 )2= 4 + 2 2 .6 分- Soo= 1 nEF2= 2 +Q 兀7分42(3) / AB= BE ,Z ABE = 90 AEB= 45 ./ EA = EC ,/ C= 22.5 .8 分 Z H = Z BEG = Z CED = 90 22.5 = 67.5 ./ BH 平分Z CBF ,/ EBG = Z HBF = 45 Z BGE = Z BFH = 67.5 BG = BE= 1, BH = BF = 1+ ,2 .9 分 GH = BH BG=2 . HB HG =72 *1 + 2 )= 2

34、 + 2 .10 分4. (2017黑龙江龙东6分)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(-1,3)、(- 4, 1) (- 2, 1),先将 ABC沿一确定方向平移得到 A1B1C1，点B的对应点B1 的坐标是(1 , 2),再将 A1B1C1绕原点0顺时针旋转90得到 A2B2C2，点A1的对应点 为点A2.(1) 画出 A1B1C1 ；(2) 画出 A2B2C2；(3) 求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长.【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换.【分析】（1 ）由B点坐标和Bi的坐标得到 ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位 得到 AiBiCi，

35、则根据点平移的规律写出 Ai和Ci的坐标，然后描点即可得到 AiBiCi；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点Ai的对应点为点 A2，点Bi的对应点为点 B2，点Ci的对应点为点C2,从而得到 A2B2C2；（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OAi为半径，圆心角为 90的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点Ai到达A2的路径总长.【解答】解：（i）如图， AiBiCi为所作；（2）如图， A2B2C2为所作；(3) OA=-=4,点A经过点Ai到达A2的路径总长=-二二.】+ .=+2 二 n 1805. ( 20i7 湖北黄石 i2 分)在 ABC 中，AB=A

36、C，/ BAC=2 / DAE=2a .（i）如图i,若点D关于直线 AE的对称点为F,求证： ADFABC ；(2) 如图2,在(1的条件下，若 a =45求证：DE2=BD2+CE2；则等式 de2=bd2+ce2还能成立吗？请说(3) 如图3,若a =45点E在BC的延长线上,明理由.图1C【分析】(1)根据轴对称的性质可得/ EAF= / DAE , AD=AF，再求出/ BAC= / DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明;(2)根据轴对称的性质可得 EF=DE , AF=AD，再求出/ BAD= / CAF，然后利用 边角边”证明 ABD和厶ACF全等，根据全等三

37、角形对应边相等可得CF=BD ,全等三角形对应角相 等可得/ ACF= / B，然后求出/ ECF=90，最后利用勾股定理证明即可；(3)作点D关于AE的对称点F,连接EF、CF,根据轴对称的性质可得 EF=DE , AF=AD ,再根据同角的余角相等求出/BAD= / CAF，然后利用 边角边”证明 ABD和厶ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得/ ACF= / B，然后求出/ ECF=90，最后利用勾股定理证明即可.【解答】 证明：(1 )点D关于直线AE的对称点为F, / EAF= / DAE , AD=AF ,又BAC=2 / DAE ,/ AB

38、=AC , AB少 ,AD AF ADF ABC ;(2) 点D关于直线AE的对称点为F, EF=DE , AF=AD , a =45；/ BAD=90 -Z CAD ,-Z CAD ,/ CAF= Z DAE+ Z EAF -Z CAD=45 +45 -Z CAD=90 Z BAD= Z CAF ,rAB=AC 在厶 ABD 和厶 ACF 中BAD 二 Z CAF,lAD=AF ABD ACF (SAS), CF=BD , Z ACF= Z B , AB=AC , Z BAC=a , a =45； ABC是等腰直角三角形， Z B= Z ACB=45 , Z ECF= Z ACB+ Z AC

39、F=45 +45 =90 ,在Rt CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2,所以，DE2=BD2+CE2；(3) DE2=BD2+CE2还能成立.理由如下：作点 D关于AE的对称点F,连接EF、CF,由轴对称的性质得，EF=DE , AF=AD , a =45； Z BAD=90 -Z CAD ,/ CAF= / DAE+ / EAF / CAD=45 +45 / CAD=90 / CAD ,/ BAD= / CAF ,rAB=AC在厶ABD和厶ACF中，彳ZBAD二ZCAF，lLAD=AF ABD ACF (SAS), CF=BD，/ ACF= / B ,/ AB=AC，/ BAC=

40、a , a =45； ABC是等腰直角三角形，/ B= / ACB=45 ,/ ECF= / ACB+ / ACF=45 +45 =90 ,在Rt CEF中，由勾股定理得， EF2=CF2+CE2,所以，DE2=BD2+CE2.主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的 关键.6. （ 2017湖北荆州8分）如图，将一张直角三角形 ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪 开，得到 ACD，再将 ACD沿DB方向平移到 A C 的位置，若平移开始后点 D未到 达点B时，A C交CD于E, D C交 CB于点F,

41、连接EF，当四边形EDD F为菱形时，试探 究厶A DE的形状，并判断 A DE-与 EFC是否全等？请说明理由.D D B【分析】当四边形EDDF为菱形时， A DE是等腰三角形， A DEA EFC.先证明CD=DA=DB，得到/ DAC= / DCA，由AC / A （即卩可得到/ DA E=L DEA由此即可判断 DAE 的形状.由 EF / AB 推出/ CEF= / EAD, / EFC= / A D QA DE 再根据A D=DE=EF即可证明.【解答】 解：当四边形 EDD F为菱形时， A DE是等腰三角形， A DEA EFC .理由： BCA是直角三角形，/ ACB=90

42、 , AD=DB , CD=DA=DB ,/ DAC= / DCA ,/ AC/ AC ,/ DA E=Z A，/ DEA =Z DCA ,/ DA E=Z DEA , DA =DE, A DE是等腰三角形.四边形DEFD是菱形， EF=DE=DA , EF / DD ,/ CEF= / DA E, / EFC= / CD A/ CD / C D；/ A DE=/ A D CQEFC ；在厶 A DED EFC 中，rZEAz D-ZCEFD-EFZAy DE=ZEFCA Ar D Dr B【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.7. ( 2017湖北荆州10分)如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形 OABC是平 行四边形，/ FAB=15，连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于 点D，延长AF交直线CD于点H .(1) 求证：CD是半圆O的切线；(2) 若DH=6 - 3 , ；,求EF和半径 OA的长.出AE= AD，根据相似三角形的性质得到 -一丄，求得EF=2 -；:,根据直角三角形的【分析】(1)连接OB，根据已知条件得到 AOB是等边三角形，得到/ AOB=60，