2017-2018学年第二学期月考2018.2.26

1、试卷江苏省扬州中学20182018学年度第二学期2月份考试高三数学试卷 2017-2-26参考公式：线性回归方程的系数公式为n n_ Xiyi -nxy (Xi -x)(yi -y) _b二逻 -arybx.2 2 2为 x -nxX (Xi -x)i 4i A一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 .已知:-的终边经过点 (3a -9,a 2)，且sin. 0, cos 0 ,则a的取值范围是2.如果复数(m2+i)(1 + mi)是实数，则实数 m=3. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 V =,现在向该

2、正方形区域内6随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是_ 4. 某单位为了了解用电量 y度与气温x0C之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表:气温(C)181310 -1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程0 = bx a 中 b = -2,预测当气温为 -4C时，用电量的度数约为 _5. 给出一个算法：Read xIf x 玄0Thenf (x A 4xElsef(xA 2xEndIfPrint f x根据以上算法，可求得 f -1 f 2i= 6. 如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置F0开始沿单位圆按逆时针方向运动角JIJTa ( 0 口

3、 一)到达点P，然后继续沿单位圆逆时针方向运动一到达点F2，若点F2的横23一 4坐标为 ，则cos的值等于 57. 个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示, 则该三棱锥的外接球的表面积为OAOB 2OC则BC&已知平面上不共线的四点O,A,B,C。若9 已知函数f (x) =x3 - 3ax(a R)，若直线x y m = 0对任意的m R都不是曲线y = f (x)的切线，贝U a的取值范围为2 210已知圆(x-3) y =4和过原点的直线 y =kx的交点为P、Q则|OP| |OQ|的值为11已知实数a使得只有一个实数 x满足关于x的不等式 x2+2ax + 3a 2，则满足条件

4、的所有的实数 a的个数是.12、已知直线(1 4k)x -(2 -3k)y -(3 72k) =0(kR)所经过的定点F恰好是椭圆C的一 个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.则椭圆C的标准方程为;13 设 A=(aa2,a3), B= b?，记 A。B=max!a1 b1,a2b2,a3b，若 A=(x _1,x+1,1),B= X 2 ，且Ao B=x1，贝y x的取值范围为 。Jx j|14.若关于x的不等式X2 2 - x -1至少有一个负数解，则实数 t的取值范围是二、解答题：本大题共 6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题14分）在厶ABC中,

5、a,b,c分别为角A、B C的对边，a2-c2=b2-空,a=3,5 ABC的面积为6, DABC内任一点，点 D到三边距离之和为 d。ACD 90,/ BAC=Z CAD= 60, PAp求角A的正弦值；求边b、c;求d的取值范围16.（本小题14分）在四棱锥 P ABC中，/ ABC=/丄平面 ABC E为PD的中点，PA= 2AB= 2.（I）求四棱锥 P-ABCD勺体积V;（H）若F为PC的中点，求证 PC丄平面AEF17.（本小题15分）（本小题15分）某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m,C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m , BCD =60，已知建筑

6、支架的材料每 米的价格一定，问怎样设计 AB,CD的长，可使建造这个支架的成本最低？18.(本小题 15分)已知圆05的方程为(x -2)(y -1)=，椭圆 C2的方程为322xy22 - 1(a b 0),且(abC2的离心率为 2，如果C1、C2相交于A、B两点，且线段2AB恰好为C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。19.(本小题16分)已知函数 f(X)=X2 , ,g x =x-11(1 )已知函数xi；=iogmX-2x，如果h X 匕 f X “ X是增函数，且h X的导函数h X 存在正零点，求m的值(2) 设F (x )= f (x )tg (x )+1 t t2,

7、且F (x j在0,1】上单调递增，求实数t的取值范围(3) 试求实数p的个数，使得对于每个p，关于x的方程xf(x) = pg(x) 2p 1都有满足x Y 2009的偶数根20.(本小题16分)已知a为实数，数列aj满足aa，当n_2时,an 4- 34 - an 4(an J 3)(an ,3)(I)当a =100时，求数列昂泊勺前100项的和S00 ； (5分)(n)证明：对于数列fan，一定存在k N*，使0 ： ak空3； (5分)(出)an2n -(-1)n当2 . a : 3时，求证:20 a12.(6 分)一、选做题：本大题共 4小题, 分.每小题10分，共20分.1.（几何

8、证明选讲）如图，在 交 AC于 D 求证：BC2 =2CD高三数学2月考附加题试卷请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记ABC中，AB= AC以AB为直径的圆AC .大2.（矩阵与变换）设 M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到 3倍的伸压变换.（I）求矩阵 M的特征值及相应的特征向量；2（n）求逆矩阵m以及椭圆x42y =1在M 的作用下的新曲线的方程.93.4.（坐标系与参数方程）求直线截的弦长.（不等式证明选讲）若 x -4x =1 t5 （t为参数）被曲线P = J2cos但一工）所y1-3t452匚2丿，证明、.仁莎23x 3.2 。、必做题：本大题共 2

9、小题，每小题10分，共20分.5.已知斜 三棱柱 ABC ABQ , NBCA=90 , AC二BC =2 , A在底面ABC上的射影恰为 AC的中 点D，又知BA丄AG。(I )求证：AC1 _平面ABC ；(II )求CG到平面AAB的距离；(III )求二面角 A-AB-C余弦值的大小。6某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是 0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(I)求 的分布列及数学期望；(n)记函数f (x) = x2 -3 x 1在区间4:：)上单调递增”为事件A,求事件A的概率.1

10、.2Yaz3高三数学月考试卷参考答案2 32017-2-27.6856.3 3 -47029二8. 210. 51112、2 2x_ y251613.1 _x _1、214.V2)15 .解:(1)2 a-c8bc 一 b2 - c2 t:5 2a2bc4cos A =53 sin A -5136 , bc =205由 b2c2 a22bc1.-bcsin Abc -224及 be =20 与 a =3 解得 b=4, c=5 或 b=5,c= 45设D到三边的距离分别为12 1d =x y z(2x y)55r r1X、y、z,则 S abc (3x 4y 5z) =643x 4y E12,

11、x亠0,又x、y满足y Mo,画出不等式表示的平面区域得:16 .解：(I)在 Rt ABC中, AB= 1,/ BAC= 60,. BC= 3 , AC= 2 .在 Rt ACD中, AC= 2，/ CAD= 60,CD= 2 3 , AD= 4.1 1- Sbc尸 AB BC AC CD2 2=1汉1沢亦+丄沃2汇2掐=总73 . 3分2 2 2贝U V= 1 汇53 x 2 =5丁3 . 7 分3 23(fl)： PA= CA F 为 PC 的中点， AF丄 PC 8 分 PAL平面 ABCD： PAI CD/ ACL CD PAA AC= A, CDL平面 PAC CDL PC / E

12、为PD中点，F为PC中点, EF/ CD 贝U EFL PC 12 分AFA EF= F,. PCL平面 AEF 14 分17 .解：设 BC 二am(a _1,4),CD 二bm 连结 BD 贝恠.CDB中，(b)F宀2昨60.2 1 2 1a a -4 4、几2.8b4. . b 2a-2a. 设 t=a1,t1=0.4,a -1a _12(t+D2-3则 b 2a42(t 1)=3t 4_7,t4t等号成立时 t =0.5 . 0.4, a =1.5, b =4.答：当AB =3m,CD =4m时，建造这个支架的成本最低18-解：设 A( %, %)、B( x2, y2)A、B在椭圆上二

13、 b2x/ a2%2 =a2b2b2x22a2y= a2b2一 2 2二 b (X2X1)(X2 xj a (y2 yj(y2 - yj = 0又线段AB的中点是圆的圆心（2，1），所以x2十為=4,y2 + % = 2所以kAB2ba2，椭圆的离心率为 直线AB的方程为y-1=-1(x-2) 即x+y-3=0.2220(1) 由(x-2)2，(y1)2 和 x+y-3=0 得3A (2+ ；， J)代入椭圆方程得：a2 =16,b2 =82 2所以椭圆方程为：1116 819.解：(1)由题意1h x =x-20在0, r上恒成立xln m即x 2 - x - - x -1 亠1在0,= 上

14、恒成立In m1即1，所以0 V Inm二1，又h X存在正零点，亠0In m所以In m =1 ，即m二e22(2 )由题设得 F X i = X - tx 1 - t , 5 分对称轴方程为t222x = 2， 二 t2 - 4 1 t2 = 5t2 -4。由于F(x/在0,1上单调递增，则有（I）当=,贝U ，有2525 刍 0= F(0) =1-12 0.解得t _2 ； 11分 若：一乙5,即-5，有为：0,x2乞0；525X1X2 _0 =t 土 、51 t2 _0=t 1解得T逬:13分245由得 T _ t或t亠2。综合(I), ( n)有5-t- 0或 t- 2 14 分3对

15、任意xY2009, x为偶数，p=x 一1的取值各不同,x +120.解：(I)当a -100时，由题意知数列 q p的前34项成首项为100,公差为一3的等差反证法证明。答案是 2018数列,从第35项开始，奇数项均为3,偶数项均为1,从而S =(100+97+94 + 川 + 4+1)亠(3+1 + 111+3+1) S00=共34项共66项（3分）试卷(5分)(100 1) 34(3 1) 66 =1717132 =1849 .2 212综上所述,原不等式成立(16 分)（n）证明：若0：空3,则题意成立(6分)若31 3，此时数列faj的前若干项满足an-an.=：3,即aa -3（n

16、-1）.设 a(3k,3k 31,(k _1,k N*),则当 n = k 1 时，ak 弐二耳3k 0,31.从而此时命题成立(8分)若a1 _ 0,由题意得a? = 4 - q 3,则由的结论知此时命题也成立综上所述,原命题成立(10 分)（川）当2 0,所以只要证明当n3时不等式成立即可.卜 4_a a，22k+22k卅 +(4_2a)1 22k -(22k1)(22k -1)a -22kJ 22k 1 ：24k4 - 22kJ -12k4 丄 2k 卅，a 2+2 a +422k(13 分)当 n =2k(k N*且k _2)时,4 e b2 f ：a 4ai 1i =33-a +4

17、* a +43(222 343(a 4)241-丄414 (a 4)(1一(4)心)_3124 a 4-+31220 a12(15 分)2k4当 n -2k -1(k2k0,所以v bi试卷附加题2解：（I）由条件得矩阵M =|2S|（_0 3它的特征值为2和3，对应的特征向量为卩及一0一1ol，椭圆=1在M /的作用下的新曲线的方程为x2 y1.3.（坐标系与参数方程）求直线41- -5（t为参数）被曲线二=、2cosC一）所截的34y - _1t5弦长，将方程x =14t5y 1 _3t 、5-./cos/分别化为普通方程:3x 4y 1 =0,x2y2x y 二 0,(5分)1 1圆心

18、c（ -，- 2），半径为彳圆心到直线的距离d =金弦长二2F_7_ 5(10 分)4.(不等式证明选讲)若 -2,1 :证明 J1 _2x + J3_x + J2 +3x c 3血I 32 丿柯西不等式一步可得 二、必做题：本大题共 2小题，每小题10分，共20分.5.解：（I）如图，取 AB的中点E，贝U DE BC，因为BC _ AC , 所以DE _ AC，又AD _平面ABC ,以DE,DC, DR为x,y, z轴建立空间坐标系，则 A(0,1,0 ), C(0,1,0 ), B(2,1,0 ), A(0,0,t), G(0,2,t ),AG二 0,3,t ,BA = -2,-1,t ,CBh2,0,0 ，由AC CB =0，知 AC CB，又 BA - AC1,从而 AG _平面 ABC ；=0 ,得 t - -73。I T(II )由 AG BA, = 3 t设平面AiAB的法向量为n= x, y,z ,AA = 0,1八3, AB 二 2,2,0，所以nAAry，设z=i，则n、3,1n AB = 2x 2y =0ACi n 2V21所以点Ci到平面AiAB的距离d =4 =。二 0,-1八3 , CB 二 2,0,0 ,n 7(III )再设平面 ABC的法向量为 mpx,y,z , CA1所以m CA|y 、3z = 0，