高考数学一轮复习 第5章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法教案 理 北师大版

1、2017,高考导航,第五章,数,列,知识点,考纲下载,数列的,概念和,简单表,示法,1,了解数列的概念和几种简单的表示方法,列表、图,象、通项公式,2,了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,等差数,列,1,理解等差数列的概念,2,掌握等差数列的通项公式与前,n,项和公式,3,能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题,4,了解等差数列与一次函数的关系,第五章,数,列,知识点,考纲下载,等比数列,1,理解等比数列的概念,2,掌握等比数列的通项公式与前,n,项和公,式,3,能在具体的问题情境中识别数列的等比,关系，并能用等比数列的有关知识解决相,应的问题,4,

2、了解等比数列与指数函数的关系,数列求和,掌握可转化为等差、等比数列求和的三种,常用方法,第,1,讲,数列的概念与简单表示法,第五章,数,列,1,数列的定义、分类与通项公式,1,数列的定义,数列：按照,_,排列的一列数,数列的项：数列中的,_,一定顺序,每一个数,2,数列的分类,分类标准,类,型,满足条件,项,数,有穷数列,项数,_,无穷数列,项数,_,项与项间的,大小关系,递增数列,a,n,1,_,a,n,其中,n,N,递减数列,a,n,1,_,a,n,常数列,a,n,1,a,n,有限,无限,3,数列的通项公式,如果数列,a,n,的第,n,项与,_,之间的关系可以用一个式,子来表示，那么这个公

3、式叫做这个数列的通项公式,2,数列的递推公式,如果已知数列,a,n,的首项,或前几项,且,_,与它的,_,n,2,或前几项,间的关系可用一个公,式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式,序号,n,任一项,a,n,前一项,a,n,1,1,辨明两个易误点,1,数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构,成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关,2,易混项与项数两个不同的概念,数列的项是指数列中某一,确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号,2,数列与函数的关系,数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集,N,或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的,一列函数值

4、，就是数列,3,a,n,与,S,n,的关系,a,n,S,1,n,1,S,n,S,n,1,n,2,1,设数列,a,n,的前,n,项和,S,n,n,2,则,a,8,的值为,A,15,B,16,C,49,D,64,A,解析：当,n,8,时,a,8,S,8,S,7,8,2,7,2,15,故选,A,2,在数列,a,n,中,a,1,1,a,n,1,1,n,a,n,1,n,2,则,a,5,A,3,2,B,5,3,C,8,5,D,2,3,D,解析,a,1,1,a,2,1,1,a,1,2,a,3,1,1,a,2,1,2,a,4,1,1,a,3,3,a,5,1,1,a,4,2,3,3,必修,5,P9,习题,1,1

5、A,组,T6,改编,已知数列,a,n,的通项,公式为,a,n,n,2,8,n,15,则,3,A,不是数列,a,n,中的项,B,只是数列,a,n,中的第,2,项,C,只是数列,a,n,中的第,6,项,D,是数列,a,n,中的第,2,项或第,6,项,D,解析：令,a,n,3,即,n,2,8,n,15,3,解得,n,2,或,6,故,3,是数列,a,n,中的第,2,项或第,6,项,4,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,2,n,3,则数列,a,n,的通项,公式为,_,a,n,1,n,1,2,n,1,n,2,解析：当,n,1,时,a,1,S,1,1,当,n,2,时,a,n,S,n,S,n,1,2,

6、n,3,2,n,1,3,2,n,2,n,1,2,n,1,a,1,不适合此等式,所以,a,n,1,n,1,2,n,1,n,2,解析：法一：令,f,x,x,x,1,则,f,x,1,1,x,1,在,0,上是增函数，则数列,a,n,是递增数列,法二,因为,a,n,1,a,n,n,1,n,2,n,n,1,1,n,1,n,2,0,所以,a,n,1,a,n,所以数列,a,n,是递增数列,5,若数列,a,n,的通项公式为,a,n,n,n,1,那么这个数列是,_,数列,填“递增”或“递减”或“摆动,递增,考点一,由数列的前几项求数列的通项,写出下面各数列的一个通项公式,1)3,5,7,9,2,1,2,3,4,7

7、,8,15,16,31,32,3,1,3,2,1,3,3,4,1,5,3,6,解,(1,各项减去,1,后为正偶数，所以,a,n,2,n,1,n,N,2,每一项的分子比分母少,1,而分母组成数列,2,1,2,2,2,3,2,4,所以,a,n,2,n,1,2,n,n,N,3,奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为,1,n,各项绝对值的分母组成数列,1,2,3,4,而各项绝对,值的分子组成的数列中，奇数项为,1,偶数项为,3,即奇数,项为,2,1,偶数项为,2,1,所以,a,n,1,n,2,1,n,n,n,N,也可写为,a,n,1,n,n,为奇数,3,n,n,为偶数,n,N,用观察法求数列的通项

8、公式的技巧,1,根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一,项的特点，观察出项与,n,之间的关系、规律，可使用添项,通分,分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求,对,于正负符号变化，可用,1,n,或,1,n,1,来调整,2,根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归,纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想,1,根据数列的前几项，写出各数列的一个通项,公式,1)4,6,8,10,2,1,1,2,1,2,3,1,3,4,1,4,5,3)9,99,999,9 999,解,1,各数都是偶数,且最小数为,4,所以通项公式,a,n,2,n,1,n,N,2,这个数列的前,4,项的绝对值都等

9、于序号与序号加,1,的积的,倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式,a,n,1,n,1,n,n,1,n,N,3,这个数列的前,4,项可以写成,10,1,100,1,1 000,1,10 000,1,所以它的一个通项公式,a,n,10,n,1,n,N,考点二,由,a,n,与,S,n,的关系求通项,a,n,高频考点,a,n,与,S,n,关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题,或填空题中,有时也出现在解答题的已知条件中,难度较小,属容易题,高考对,a,n,与,S,n,关系的考查常有以下两个命题角度,1,利用,a,n,与,S,n,的关系求通项公式,a,n,2,利用,a,n,与,S,

10、n,的关系求,S,n,1,已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,a,1,1,S,n,2,a,n,1,则,S,n,A,2,n,1,B,3,2,n,1,C,2,3,n,1,D,1,2,n,1,2,若数列,a,n,的前,n,项和,S,n,2,3,a,n,1,3,则,a,n,的通项公式,a,n,_,B,2,n,1,解析,1,由已知,S,n,2,a,n,1,得,S,n,2,S,n,1,S,n,即,2,S,n,1,3,S,n,S,n,1,S,n,3,2,而,S,1,a,1,1,所以,S,n,3,2,n,1,2,由,S,n,2,3,a,n,1,3,得当,n,2,时,S,n,1,2,3,a,n,1,1,

11、3,两式相,减，得,a,n,2,3,a,n,2,3,a,n,1,所以当,n,2,时,a,n,2,a,n,1,又,n,1,时,S,1,a,1,2,3,a,1,1,3,a,1,1,所以,a,n,2,n,1,若本例,1,中，结论改为求,a,n,如何求解,解：当,n,2,时,a,n,S,n,S,n,1,2,a,n,1,2,a,n,所以,a,n,1,a,n,3,2,又由,S,1,2,a,2,得,a,2,1,2,所以,a,n,是从第,2,项开始的等比数列,所以,a,n,1,n,1,1,2,3,2,n,2,n,2,n,N,已知,S,n,求,a,n,的三个步骤,1,先利用,a,1,S,1,求出,a,1,2,用

12、,n,1,n,2,替换,S,n,中的,n,得到一个新的关系，利用,a,n,S,n,S,n,1,n,2,便可求出当,n,2,时,a,n,的表达式,3,对,n,1,时的结果进行检验，看是否符合,n,2,时,a,n,的表,达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符,合，则应该分,n,1,与,n,2,两段来写,2.(1,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,若,a,1,1,a,n,1,3,S,n,n,1,则,a,6,A,3,4,4,B,3,4,4,1,C,4,5,D,4,5,1,2,若数列,a,n,的前,n,项和,S,n,3,n,b,则,a,n,_,A,3,b,n,1,2,3,n,1,n,

13、2,解析,1,法一,a,1,1,a,2,3,S,1,3,a,3,3,S,2,12,3,4,1,a,4,3,S,3,48,3,4,2,a,5,3,S,4,3,4,3,a,6,3,S,5,3,4,4,法二：当,n,1,时,a,n,1,3,S,n,则,a,n,2,3,S,n,1,所以,a,n,2,a,n,1,3,S,n,1,3,S,n,3,a,n,1,即,a,n,2,4,a,n,1,所以该数列从第,2,项开始是以,4,为公比的等比数列,又,a,2,3,S,1,3,a,1,3,所以,a,n,1,n,1,3,4,n,2,n,2,所以当,n,6,时,a,6,3,4,6,2,3,4,4,2,a,1,S,1,

14、3,b,当,n,2,时,a,n,S,n,S,n,1,3,n,b,3,n,1,b,2,3,n,1,当,b,1,时,a,1,适合此等式,当,b,1,时,a,1,不适合此等式,所以当,b,1,时,a,n,2,3,n,1,当,b,1,时,a,n,3,b,n,1,2,3,n,1,n,2,考点三,由递推关系求数列的通项公式,分别求出满足下列条件的数列的通项公式,1,a,1,0,a,n,1,a,n,2,n,1,n,N,2,a,1,1,a,n,n,n,1,a,n,1,n,2,n,N,解,1,a,n,a,1,a,2,a,1,a,n,a,n,1,0,1,3,2,n,5,2,n,3,n,1,2,所以数列的通项公式为

15、,a,n,n,1,2,2,当,n,2,n,N,时,a,n,a,1,a,2,a,1,a,3,a,2,a,n,a,n,1,1,2,1,3,2,n,2,n,3,n,1,n,2,n,n,1,n,当,n,1,时，也符合上式,所以该数列的通项公式为,a,n,n,由数列递推式求通项公式的常用方法,1,构造法：形如,a,n,pa,n,1,m,p,m,为常数,p,1,m,0,时，构造等比数列,2,累加法：形如,a,n,a,n,1,f,n,f,n,可求和,时，用累加法,求解,3,累积法：形如,a,n,a,n,1,f,n,f,n,可求积,时，用累积法求解,3.(1,在,数,列,a,n,中,a,1,2,a,n,1,a

16、,n,1,n,n,1,求,a,n,2,在数列,a,n,中,a,1,1,a,n,1,2,n,a,n,求,a,n,解,1,a,n,a,n,a,n,1,a,n,1,a,n,2,a,2,a,1,a,1,1,n,1,1,n,1,n,2,1,n,1,1,2,1,3,1,1,2,2,3,1,n,2,由于,a,n,1,a,n,2,n,故,a,2,a,1,2,1,a,3,a,2,2,2,a,n,a,n,1,2,n,1,将这,n,1,个等式叠乘,得,a,n,a,1,2,1,2,n,1,2,n,n,1,2,故,a,n,2,n,n,1,2,已知,a,n,是递增数列，且对于任意的,n,N,a,n,n,2,n,恒成立，则

17、实数,的取值范围是,_,方法思想,数列问题中的函数思想,3,解析,法一,定义法,因为,a,n,是递增数列,所以对任意的,n,N,都有,a,n,1,a,n,即,n,1,2,n,1,n,2,n,整理,得,2,n,1,0,即,2,n,1,*,因为,n,1,所以,2,n,1,3,要使不等式,*,恒成立，只需,3,法二,函数法,设,f,n,a,n,n,2,n,其图象的对称轴为直,线,n,2,要使数列,a,n,为递增数列，只需使定义在正整,数集上的函数,f,n,为增函数,故只需满足,f,1,f,2,即,3,已知数列的单调性求解某个参数的取值范,围,一般有两种方法,1,利用数列的单调性构建不等式,然,后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离,参数将其转化为最值问题处理,2,利用数列与函数之间的特,殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函,数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中,n,的取,值范围,1,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,1,2,n,2,kn,k,N,且,S,n,的最大值为,8,则常数,k,_,4,解析：因为,S,n,1,2,n,2,kn,1,2,n,k,2,1,2,k,2,其中,k,是常,数，且,k,N,所以当,n,k,时,S,n