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第四节 逆矩阵,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆矩阵,一、概念的引入,在数的运算中,当数 时,有,其中 为 的倒数,或称 的逆,在矩阵的运算中,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1,那么，对于矩阵,如果存在一个矩阵,使得,二、逆矩阵的概念和性质,例1 设,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的,若设 和 是 的可逆矩阵,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,例2 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵,性质,称为矩阵 的伴随矩阵,证明过程中用到了行列式按行列展开公式,类似有,定理4.1 矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是,并且当A可逆时，有,证明 必要性,A可逆，即有A-1，使AA-1=E,所以,充分性 设,记,同理可得BA=E. 所以A可逆，并且,证明,由此可知,定义中AB=BA=E可简化为 AB=E（或BA=E,证明或求解逆阵问题时常常用到此式,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,求逆矩阵方法,例4 求方阵 的逆矩阵,解,同理可得,故,解,例5,逆矩阵的运算性质,证明,证明,例6,练习,例7,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,给方程两端左乘矩阵,得,给方程两端右乘矩阵,例8 设,解,于是,解,例9,思考题,思考题解答,答,四、小结,逆矩阵的概念

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