02第二章导数与微分

1、第二章导数与微分教学目的：1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和 法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之 间的的关系。2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数 公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本

2、初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。 1导数概念一、引例1.直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数s f(t)求动点在时刻to的速度考虑比值s S) f(t) f(to) t to t to这个比值可认为是动点在时间间隔t to内的平均速度 如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 to的速度但这样做是不精确的更确地应当这样 令t to 0取比值f(t) f(to)的极限 如果这个极限存在设为v即t

3、tof(t) f(to)v limt tot to这时就把这个极限值 v称为动点在时刻t 0的速度2 .切线问题设有曲线C及C上的一点M 在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C 趋于点M时 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置 MT直线MT就称为曲线C有点M处 的切线设曲线C就是函数y f(x)的图形 现在要确定曲线在点M(xo, yo)(yo f(xo)处的切线 只要定出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N(x, y)于是割线MN的斜率为tan y yof(x)f(Xo)X Xo x xo其中 为割线MN的倾角 当点N沿曲线C趋于点M时x xo如果当x o时 上式的极限存 在设

4、为k即f (x) f (xo)k limX Xox xo存在 则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里k tan 其中 是切线MT的倾角 于是 通过点M(xo, f(xo)且以k为斜率的直线 MT便是曲线C在点M处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限lim f(x)畑x X0X Xo令 x x Xo 贝y f(xo x) f(xo)f(x) f(xo) X xo相当于 X 0于是 lim f(x)x xoXf (Xo)Xo成为lim y 或 lim 0X) f(Xo)x 0 XX 0X定义 设函数y

5、f(x)在点xo的某个邻域内有定义当自变量x在xo处取得增量 x(点xo x仍在该邻域内)时相应地函数y取得增量y f(xo x) f(xo)如果y与x之比当x 0时的极 限存在则称函数y f(x)在点xo处可导并称这个极限为函数 y f(x)在点xo处的导数记为y |x 即lim 乂 lim f(Xox) f(Xo)X o XX 0X也可记为y dy或常dx X Xodx X x函数f(x)在点xo处可导有时也说成f(x)在点xo具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式常见的有f(xo) lim f(xo h) f(xo)h ohf(xo) lim f (x) f (xo)X xox

6、 xo在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限limx) f(xo)不存在 就说函数y f(x)在点xo处不可导x ox如果不可导的原因是由于lim_%)f(x)x ox也往往说函数 y f(x)在点xo处的导数为无穷大如果函数y f(x)在开区间I内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I内可导 这时对于任一 x I都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f(x)的导函数记作y f(x) dy或dx dx导函数的定义式y lim f(x x) f(x)

7、lim f(x h) f(x)x oxh ohf (xo)与f (x)之间的关系函数f(x)在点xo处的导数f (x)就是导函数f(X)在点x xo处的函数值即f (Xo) f (X) x Xo导函数f (x)简称导数 而f (xo)是f(x)在xo处的导数或导数f (x)在xo处的值 左右导数所列极限存在则定义f(x)在Xo的左导数f (Xo)hlimof(Xo h) f(Xo)hf(x)在Xo的右导数f (Xo)limh of(Xo h) f(Xo)h如果极限himof(Xo hh f(Xo)存在则称此极限值为函数在Xo的左导数如果极限hlimof(Xo hh f(Xo)存在则称此极限值为

8、函数在Xo的右导数导数与左右导数的关系f (xo) A f (Xo) f (Xo) a2 求导数举例例1 求函数f（x） C （C为常数）的导数f(x h) f(x) C C 小解 f (x) limlim0h 0hh 0 h即(C )0例2求f(x)-的导数x1_hjx1 1limh 0 (x解 f (x) lim f(x h 型 limx lim-h 0 hh 0 h h 0 h(x h)x例3求f （x）. x的导数f (x)limh 0f(x h) hf(x)limlimh 0h(、x h x)him0.x h x12、x例2.求函数f（x） xn（n为正整数）在x a处的导数解 f

9、Um f(x) f limlim (xn 1 axn 2x a x ax a x a x a把以上结果中的a换成x得f (x) nxn 1即(xn) nxn 1(C) 0 x 丽 * (x) x 1更一般地有(x ) x 1其中为常数例3 .求函数f(x) sin x的导数解 f(x) lim f(x h) f(x) nmsin(x h) sinxh 0hh 0han1)nanh2 cos(x )sin2 2h sin lim cos(x )2 cosxh 02 h2即 （si n x） cos x用类似的方法 可求得 （cos x ） sin x例4 .求函数f(x) a x(a0 a 1)

10、的导数解 f(x) lim f(x h) f(x)h 0lim 里h 0 haxlim0呻axtim01ologaex1axl na特别地有(ex) e5.求函数f(x) log ax (a0 a 1)的导数 f(x) lim f(x h) f(x)h 0Iim loga(x h) logaXh 01 logaexf(x) lim 血h 01xlna凯訴抑h 1him0lOga(1护h) gx1丈叫0ga(1xh) hx1 1Xae 亦1(logax)亦特殊地 (ln x)(logaX)xln a(lnx)1X3 .单侧导数极限 lim f(X h)f(x)存在的充分必要条件是h 0 hlim

11、 f(x h) f(x)h 0h及limh 0f(x h) hf(x)都存在且相等f(x)在Xo处的左导数f (X0)limh 0f(xh) hf(x)f(x)在X0处的右导数f (X0)limh 0f(xh) hf(x)导数与左右导数的关系函数f(x)在点X。处可导的充分必要条件是左导数左导数f(X0)和右导数f(X0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数f (a)和左导数f (b)都存在就说f(x)有闭区间a, b上可导例6 .求函数f(x) x|在x 0处的导数f(0) lim f(0 h) f(0) lim 回h 0hh 0 hf (0) lim f(0 h

12、) f(0)lim 也 1h 0hh 0 h因为f (0) f (0)所以函数f(x) |x|在x 0处不可导四、导数的几何意义函数y f(x)在点X0处的导数f(X0)在几何上表示曲线y f(x)在点M(x, f(x)处的切线的斜率 即f (x 0) tan其中是切线的倾角如果y f(x)在点X0处的导数为无穷大这时曲线y f(x)的割线以垂直于x轴的直线x x为极限位置 即曲线y f(x)在点M(X0, f(x。)处具有垂直于 x轴的切线x X。由直线的点斜式方程可知曲线y f(x)在点M(x0, y。)处的切线方程为y y f(X0)(x X0)过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线

13、叫做曲线y f(x)在点M处的法线如果f (X0) 0法线的斜率为从而法线方程为f (X0)y y01 (x X0)f (X0)例8求等边双曲线y丄在点(2,2)处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法X2线方程解y 2所求切线及法线的斜率分别为X23f (X0) (X2)3x22XX)ki (*24 k2丄1k1 4所求切线方程为y 24(x 2)即 4x y 4 0所求法线方程为y 2!(x 丄)42即 2x 8y 15 0例9求曲线yx x的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为X0则切线的斜率为于是所求切线的方程可设为y X0、X0 3 Xo(X Xo)根据题目要求 点(0 4)

14、在切线上因此4 Xo、X 3、Xo(O Xo)解之得Xo 4于是所求切线的方程为y 4、4 3 i4(x 4)即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数yf(x)在点X0处可导即叫一恨)存在则lim y lim x lim 丄 lim x f (x0) 0 0X 0 x 0 xx 0 x x 0这就是说 函数y f(x)在点X0处是连续的所以 如果函数y f(x)在点x处可导 则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7.函数f (x) 3 x在区间(，)内连续 但在点x 0处不可导这是因为函数在点x 0处导数为无穷大lim f(0 h) f(0) lim

15、Sh 0hh 0 h2 2函数的求导法则（除分母为、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u u(x)及v v(x)在点x具有导数那么它们的和、差、积、商零的点外)都在点x具有导数并且u(x) v(x) u (x) v(x)u(x) v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)u(x) u (x)v(x) u(x)v (x)v(x)/(x)证明u(x) v(x) lim u(x h) g h) u(x) *)h 0h” u(x h) u(x) v(x h) v(x) ,、，、 limu (x) v (x)h ohh法则(1)可简单地表示为(u v) u vu(x)v(x)啊吩 hMx

16、J) u(x)v(x)1lim u(x h)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x)h o hlim u(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x h) v(x)h 0 hhu(x h) u(x)v(x h) v(x)limlim v(x h) u(x) limh 0hh 0h 0hu (x)v(x) u(x)v (x)其中lim v(x h) v(x)是由于v (x)存在 故v(x)在点x连续h 0法则(2)可简单地表示为(uv) u v uvu(x h) u(x) 回 lim v(x h) v(x) lim u(x h)v(x) u(x)v(x h)

17、v(x) h 0 hh 0 v(x h)v(x)hu(x h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x)him0v(x h)v(x)hu(x h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x)limhh 0v(x h)v(x)u (x)v(x) u(x)v(x)v2法则(3)可简单地表示为,u. uv uv(v)(u v) u v (uv) u v uv (牛)u v uvv2定理1中的法则(1)、可推广到任意有限个可导函数的情形 w(x)均可导则有(u v w) u v w(uvw) (uv)w (uv) w (uv)w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw(u

18、vw) u vw uv w uvw在法则中如果v C(C为常数)则有(Cu) Cu例如 设 u u(x)、v v(x)、例1.y 2x 3 5x2 3x 7求y解y(2x 3 5x 23x 7)(2x 3)2 3x 2 5 2x 3 6x ；2 10x例2f (x) x34cosx sin 解f (x) (x3)(4 cosx)(sin2 45x 2)3x)7) 2 (x 3)5 x 2)3 x)3求 f (x)及 f()T)3x2 4sin xy ex(sin x cos x) ex) (sin x cos x) ex(sin x cos x) 2excosx求y求y ex(s in x e

19、 x (cos xcos x) sin x)y tan xy(ta n x)(Sin X)cosx，(sin x) cosx sin x(cosx)cos2 xcos2 xsin2xcos2 x(tan x) sec?x5. y sec x 求 y1y (secx)(cosxsec?x cos2x cosx 1 (cosx)sinx丄乔x secxtanxcos2 xsecx tan x用类似方法(cot x)(csc x)(sec x)还可求得余切函数及余割函数的导数公式cscFx、反函数的求导法则定理2如果函数x f(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y) 0那么它的反函数 y f 1(

20、x)在对 应区间Ix x|x f(y) y Iy内也可导并且1f1(x)帀或史dx1dxdy简要证明由于x f(y)在Iy内单调、可导(从而连续)所以x f(y)的反函数y f匕)存在且f 1(x)在Ix内也单调、连续任取x I x给x以增量x(xOx x I x)由yf *x)的单调性可知y f 1(xx) f 1(x) 0于是y 1x_xy因为y f 1(x)连续故lim y 0x 01f (y)从而f 1(x)limy 0 xy上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6 .设x sin y y ,为直接函数则y arcsin x是它的反函数函数x sin y在开区间(，)

21、内单调、可导且(sin y) cos y 0因此由反函数的求导法则(arcsin x)1(sin y)在对应区间I x (1 1cosy .1 si n2y1 1)内有1类似地有(arccosx)1.1x2例7 .设x tan y y ( g，Q)为直接函数则y arctan x是它的反函数函数x tan y在区间(2，2)内单调、可导且(tan y) sec2 y 0因此由反函数的求导法则在对应区间(arcta n x)(tan y)sec2 y 1 tan2 ylx (11 x2)内有类似地有(arccot x)11 x2a y(a 0 a例8设x)内单调、可导且(ay) ayln a 0

22、因此由反函数的求导法则1)为直接函数在对应区间则y loga x是它的反函数 函数x ay在区间ly (I x (0)内有(log a x)(ay) ayl na xlna到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、ex3、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3如果u g(x)在点x可导 函数y f(u)在点u g(x)可导则复合函数y fg(x)在点xdydx证明 当u g(x)在x的某邻域内为常数时立f (u) g (x)或 dxdydxy=f (x)也是常数此时导数为零结论自然成当u g(x)在 x的某邻域

23、内不等于常数时fg(xfg(x x) fg(x)u 0此时有X)fg(x) g(x x)g(x x) g(x)g(x)xf(u u) f(u) g(xx) g(x)dxlimx 0 lim !(y_u)f(u)x u 0lim g(x x) g(x) = f (u) g (x)x 0简要证明业 lim -dx x 0 xlim -x 0 ulim u f (u)g (x)x 0 xx39 y ex3求业dx函数y ex3可看作是由eux3复合而成的因此可导且其导数为3x2ex3解函数y sin-空是由y sin u ux2吕复合而成的因此 dy dy dudx du dxcosu(1对复合函数

24、的导数比较熟练后2(1 x2) (2x)22(1 x2)2x cos (1 x2)21 x2x2)2就不必再写出中间变量11. In si n x 求业dx吐(In sinx) 1 (sinx) dxsin x1 cosx cot x sin x12. y 31 2x2 求dx篇(12x2)31(1 2x2) 3 (1 2x2)4x33(1 2x2)2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如 设y f(u) u (v) v (x)dy dy du dy du dvdx du dx du dv dx例 13. y Incos(ex)求dydxin cos(ex) cose尹0s(ex)

25、cos(ex)sin(ex) (ex)extan(ex)14.si n丄 y e x求dxsin .1sin(e x)1esinx (sin 丄)x.1 sin e xcos1x(!)x访 e xcos!x2例15设x 0证明幕函数的导数公式(x ) x 1 解因为x (e ln x)e ln x所以(x ) (e ln x)e ln x( ln x) e ln x x1四、基本求导法则与导数公式1.基本初等函数的导数(1) (C) 0(x) x 1(3) (si n x) cos x(4) (cos x)sin x(5) (tan x) sex(6) (cot x)csCx(7) (sec

26、x) sec xtan x(8) (csc x)csc x cot x(9) (ax) ax In a(10) (e) ex(11) (logax)1xln a1(12) (In x)-入(13) (arcsin x)1 1x2(14) (arccos x)1,1x2(15) (arctanx)11 x2(16) (arccot x)11 x22 函数的和、差、积、商的求导法则设u u(x) v v(x)都可导 贝y(1) (u v) u v(2) (C u) C u(3) (u v) u v u vu v uvv23 反函数的求导法则设x f(y)在区间Iy内单调、可导且f (y) 0则它的

27、反函数y f 1(x)在lx f(|y)内也可导 且f 1(x)1 dx dy4 复合函数的求导法则则复合函数y fg(x)的导数为设y f(x)而u g(x)且f(u)及g(x)都可导兴咒畔或y(x) f (u)g(x)例16求双曲正弦sh x的导数.(sh x)丄(ex e x)2汕 ex) ch x即(sh x)ch x类似地有(ch x)sh x例17求双曲正切th x的导数(th x)ch2x sh2xch2x1ch2x例18求反双曲正弦arsh x的导数因为 arsh x ln(x1 x2)所以(arsh x)1x ,1 x2(11X2)1.1 x2由 arch x In(x. x

28、2 1) 可得(arch x)1x2 1由 arth x -In 可得(arth x)21 x1 x2类似地可得(arch x)1x2 1(arth x)11 x2例 19. y sin nx sinnx (n 为常数)求 y解 y (sin nx) sinnx + sin nx (sin n x)ncos nx sin x+sin nx n sin x (sin x )nn 1n 1ncos nx sin x+n sin x cos x n sin xsin(n+1)x解因为th x穽所以2. 3高阶导数般地 函数y f(x)的导数y f (x)仍然是x的函数我们把y f (x)的导数叫做函

29、数y f(x)的二阶导数记作y、f (x)或d2ydx2y (y) f (x) f (x)d2y凸dx2 dxdx 丿相应地 把y f(x)的导数f (x)叫做函数y f(x)的一阶导数般地(n 1)类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 阶导数的导数叫做n阶导数分别记作(4)y y(n)yd3ydx3d4ydx4dnydx函数f(x)具有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导如果函数f(x)在点x处具有n阶导数 那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y称为一阶导数y y yy(n)都称为高阶导数例1 解y 例2

30、解saxysincos2sint证明所以y 3y例4 解 一般地证明函数y因为y 22x2.2x x2i2x x2 (1 x)x2满足关系式1 x、2x x22 2x2x x2y 3y 1 02x x2 (1 x)2(2x x2)、(2x x2)11(2x x2)ly3y可得(n)1 0求函数xeex的n阶导数x e(4) x y( 4) exy e(ex)(n)例5 求正弦函数与余弦函数的解 y sin xn阶导数y cosx sin(x )ycos( ) sin(x q ) sin(x 2 空)y cos(x 2 ) sin(x 2 sin(x 3 )y cos(x 3 ) sin(x 4

31、 )般地可得y(n)sin(x 门多 即(sinx)(n)sin(x nR用类似方法 可得(cosx)(n)cos(x n )例6 .求对函数ln(1 x)的解般地y ln(1 x) y (1 x) y ( 1)(可得2)(1 x) 3阶导数y (1 x)2 y(4) ( 1)(2)( 3)(1 x) 4y(n) ( 1)(2)( n1)(1 x) n(1)n 1 (n 1)! i 丿(1 x)ny (1)x 2y (1)(2)x 3y ( 4)(1)( 2)(3)x 4一般地可得y (n)(1)( 2)(n 1)x n即(x )(n)(1)( 2)(n 1)x n当 n时得到(xn)(n)(

32、1)( 2)3 2 1 n!y而x 1(Xn)( n 1)(1)n 1 (n 1)!()(1 x)n例6 .求幕函数y x (是任意常数 解u v uvu v 2u v uvu v 3u v 3u v uvln(1 x)(n)的n阶导数公式o如果函数u u(x)及 v v(x)都在点x处具有n阶导数 那么显然函数u(x) v(x)也在点x处 具有n阶导数且(u v)(n) u(n) v(n)(uv)(uv)(uv)用数学归纳法可以证明n(uv)(n)Cnku(n k)v(k)k 0这一公式称为莱布尼茨公式例 8. y x2e2x 求 y(20)解设u e2x v x2贝U(u)(k)2ke2x

33、(k 1,2, 20)v 2x v 2 (v)(k) 0 (k 3, 4, 20)代入莱布尼茨公式得y (20) (u v)(20) u(20) v C 201u(19)v C 202u(18) v220e2x x2 20 219e2x 2x 牡 218e2x 2 2!220e2x (x2 20x 95)把方程两边的每一项对x求导数得(ey) (xy) (e) (0)ey y y xy 0从而y (x ey 0)x ey例2.求由方程y5 2yx 0处的导数y |x 0 解把方程两边分别对5y y 2y 1 21x 6由此得 y 5y4 2因为当x 0时从原方程得y 0所以,1 21x61y|

34、x0 2|x0 23求椭圆1x6普1在(2, 3 3)处的切线方程把椭圆方程的两边分别对x求导 得x 3x7 0所确定的隐函数 y f(x)在x求导数得从而2 09yy 09x16y2、3代入上式得所求切线的斜率k y |x 2. 4隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数显函数 形如y f(x)的函数称为显函数 例如y sin x y In x +ex隐函数 由方程F(x y) 0所确定的函数称为隐函数例如方程x y3 1 0确定的隐函数为 y y 31 x如果在方程F(x y) 0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(x

35、 y) 0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可能的但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1.求由方程ey xy e 0所确定的隐函数 y的导数解所求的切线方程为y 2t3(x 2)即 3x 4y 83 0解 把椭圆方程的两边分别对x求导 得将x2 y 2川代入上式得于是k y |x 2所求的切线方程为y 2 3 T(x 2)即 3x4y 8.301例4.求由方程x y -siny 0所确定的隐函数 y的二阶导数解方程两边对x求导得1 dy 丄

36、cosy 史 0 dx 2 dx于是 史2 一dx 2 cosy上式两边再对x求导得.2 2sin y dyd2y dx 4sinydx2(2 cosy)2(2 cosy)3对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出y的导数 设y f(x)两边取对数得In y In f(x)两边对x求导得1y In f(x)yy f(x) ln f(x)对数求导法适用于求幕指函数y u(x)v(x啲导数及多因子之积和商的导数例5 求y x sin x(x0)的导数解法一两边取对数得In y sin x上式两边对x求导In xcosx In xsin x xy(cosx Inx sinxxsin

37、x(cosx In x解法这种幕指函数的导数也可按下面的方法求sin x 亠 sin x -In xx ey esinxInx(sinxln x) xsinx(cosx Inx -sinx例6求函数y (X 1)(x 2)的导数y (x 3)(x 4)解先在两边取对数(假定x4)得1In y 2 In(x 1) In(x 2) In(x 3) In(x 4)上式两边对x求导得1 1/1 1 1 1 ) y ()y 2x1x2x3x4Y(J丄 12 x 1 x 2 x 3 x 4当 x1 时 y (1 X)(2 x)当 2x3 时 y (x 1)(x 2) (3 x)(4 x) (3 x)(4

38、x)用同样方法可得与上面相同的结果注 严格来说 本题应分x 4 x 1 2 x 3三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数y (t)设y与x的函数关系是由参数方程x 确定的 则称此函数关系所表达的函数为由参 数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x (t)具有单调连续反函数 t (x)且此反函数能与函数y (t)构成复合函数y (x)若x 和y(t)都可导则dydy dtdy 1_(t)dxdt dxdt dx (t)dt若x (t)和y(t)都可

39、导则dydx(t)例7求椭圆x asns;在相应于七刁点处的切线方程解dy(bsi nt)bcostbcottdx(a cost) asi nta所求切线的斜率为dy |tbdx山刁a切点的坐标为 xo acos a-2y bsin切线方程为y b 2b(x a)2a 2即 bx ay .2 ab 0例8.抛射体运动轨迹的参数方程为x冲y V2t *gt2求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向y V2t g t 2解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x (t) vi y (t) V2 gt所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为V .x(t)2 y(t)22 (V2 gt)2tandy

40、y (t) V2 gtdx x (t)V已知x(t), y (t)如何求【阶导数y ?由x(t)业 _Jtldx(t)d2y dx2d (dy)d ( (t) dx dx dt dx(t) (t)(t)(t)12(t)(t)再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为dydy(t)或鱼dx或dxdxdt(t) (t)(t)(t)3(t)例9 计算由摆线的参数方程的函数y f（x）的二阶导数x a(t曲)所确定y a(1 cost)解 dy j(t) dx x(t)a(1 cost) asint a(t sin t)a(1 cost)si nt1 cost吨(t 2nn为整数）d2y d dy

41、 d , +1、dt 丽 (dX) di(cot 2) dX11 12sin2 a（1 cost） a（1 cost）22（t 2n n为整数）三、相关变化率设x x（t）及y y（t）都是可导函数而变量x与y间存在某种关系从而变化率X与寻 间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10 一气球从离开观察员 500f处离地面铅直上升其速度为140m/min（分）当气球高度为500m时 观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t（秒）后其高度为h观察员视线的仰角为tanh500其中 及h都是时间t的函数

42、 上式两边对t求导 得sec2d 1 dhdt 500 dt已知d 140（米/秒）又当h 500（米）时tan1 sec2 2代入上式得所以ddt705000.14(弧度 /秒)即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度2. 5函数的微分、微分的定义其边长由X0变到X0 x问此薄片的面积改变了引例 函数增量的计算及增量的构成 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 多少？设此正方形的边长为x面积为A则A是x的函数 A x2金属薄片的面积改变量为A (xox)2 (xo)2 2xo x (x)2几何意义 2xo x表示两个长为xo宽为x的长方形面积 (x)2表示边长为x的正方形的面积数学意义当x

43、0时(x)2是比x高阶的无穷小 即(x)2。( x) 2xo x是x的线性函数是A的主要部分可以近似地代替A定义 设函数y f(x)在某区间内有定义xo及xo x在这区间内 如果函数的增量y f(xo可表示为x) f(xo)y A x o( x)其中A是不依赖于x的常数那么称函数y f(x)在点xo是可微的而A x叫做函数y f(x)在点xo相应于自变量增量x的微分 记作dy即dy A x函数可微的条件函数f(x)在点xo可微的充分必要条件是函数f(x)在点xo可导 且当函数f(x)在点xo可微时其微分-dy f (xo) x证明设函数f(x)在点xo可微则按定义有上式两边除以y A x o(

44、 x) x得o时由上式就得到因此lim yx o x如果函数f(x)在点xo可微 反之 如果f(x)在点xo可导lim x o xf (Xo)f (xo)存在根据极限与无穷小的关系则f(x)在点xo也一定可导且A 即上式可写成f (xo)f (Xo)其中 o(当x o)且A f(xo)是常数x o( x)由此又有y f (xo) x x因且f (Xo)不依赖于x故上式相当于y A x o( x)所以f(x)在点Xo也是可导的简要证明一方面y A x o( x)y A o( x)lim - f (xj) Ax 0 xxx别一方面limf (x0)-f (x0)y f(x0) x xx 0 xx以

45、微分dy近似代替函数增量y的合理性当f (x0) 0时有lim y limy1lim y 1x 0 dy x 0f (X0)xf (x0)x 0dxy dy o(dy)结论 在f (xo) 0的条件下以微分dy f (xo) x近似代替增量为o(dy)因此在| x很小时有近似等式y dy函数y f(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)dy f (x) x例女口d cos x (cos x) x sin x x dex (ex) x ex x例1求函数y x2在x 1和x 3处的微分解函数y x2在x 1处的微分为dy (x ) |x i x 2 x函数y x2在x 3处的微分

46、为dy (x2) |x 3 x 6 x例2 .求函数y x3当x 2 x 0. 02时的微分解先求函数在任意点 x的微分dy (x3) x 3x2 x再求函数当x 2 x 0. 02时的微分dy|x 2 x 0.02 3x2| x 2, x 0.02 3 22 0.02 0.24自变量的微分因为当y x时dy dx (x) x x所以通常把自变量 x的增量 dx即dx x于是函数y f(x)的微分又可记作dy f (x)dx从而有 业f (x)dxy f(x0x) f(x0)时 其误差即x称为自变量的微分记作因此导数也叫做“微这就是说函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数、微分的

47、几何意义当y是曲线y f(x)上的点的纵坐标的增量时dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当| x|很小时| y dy|比| x|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy f (x)dx因此可得如果可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分 下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式(x ) x(sin x) cos x(cos x) sin x (tan x) sec x (cot x) csc 2x(sec x) sec x tan x(csc x) csc x cot x (a

48、x ) axln ax x(e ) e微分公式d (x ) x 1d xd (sin x) cos x d xd (cos x) sin x d xd (tan x) sec xd xd (cot x) csc x d xd (sec x) sec x tan xdxd (csc x)csc x cot x d xd (ax ) axln a d xd (e) ex d x(log a x)1xln ad(logax)1xln adx(In x) x(arcsin x)(arccosx)d(ln x) -dxx(arcta n x)(arccot x)11x21-1 x211 x211 x21

49、d (arcsin x) dxv1 x2d(arccosx)1.1 x2dx1d(arcta nx)dx1 x21d (arccot x) 彳 石 dx2函数和、差、积、商的微分法则 求导法则微分法则(u v) u v(Cu) Cu(u v) u v uvd(u v) du dv d(Cu) Cdu d(u v) vdu udv(U)uv2uv (v 0)d(u)vdu 2udvdx(v 0)vv2vv2证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv) (uv) dx再根据乘积的求导法则有(uv) u v uv于是 d(uv) (u v uv )dx u vdx uv dx由于 u dx du vdx dv所以 d(uv) vdu udv3复合函数的微分法则设y f(u)及u (x)都可导 则复合函数y f (x)的微分为dy y xdx f (u) (x)dx于由(x)dx du所以复合函数y f (x)的微分公式也可以写成dy f (u)du 或 dy yudu这一由此可见 无论u是自变量还是另一个变量的可