几何分布的定义以及期望与方差的证明

1、几何分布的定义以及期望与方差几何分布(Geometric distribution )是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验 中,试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前 k-1次皆失败，第k次成功的概率。公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为1，2，3,;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为0，1，2，3，.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：EX = -P1 PVar (X)二E叶口概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则 X的分布列:P(X=k = ffX(i) = (l-F-

2、|p21乂3一具有这种分布列的 随机变量X，称为服从参数 p的几何分布，记为 XGeo(p)。几何分布的期望E凶冷，方差DX 二 Var(X)二高中数学教科书新版第三册(选修II )比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中1只给出了结论：(1)E 1，(2)Dp，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。pk 1(1)由 P( k) q p，知2. k 1E p 2pq 3q p kq p2(1 2q 3qk 1kq)PF面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。2Sk1 2q 3qk 1kqqSk q 2q2(kk 1k1)q kq两式相减，得(1 q)Sk 11| kkqSk I

3、kqq)2kqk1 q1，知 0 qlimk0，故skm2q)从而E也可用无穷等比数列各项和公式亠aiS （|q|1）（见教科书91页阅读材料），推导如下:i q记 S 1 2q 3q2kqk 1k 11)qqs q2q2(k相减，(1 q)S, 2k 111 q qq1 qi(1 q)2还可用导数公式(xn) n xn 1，推导如下:1 2x 3x2kxk 1x (x2) (x3)(xk)(x x2x3 xk )(x )(1 x) ( x)(1 x)(1 x)21(1 x)2上式中令x q，则得1 2q 3q2kqk 11(1 q)2(2)为简化运算，利用性质DE 2可见关键是求E 2。22

4、小22.2 k 1EP 2 qp 3 q pk q P12P(E )2来推导(该性质的证明，可见本刊6页)。2222 k 1q求导：k2qk 1 (kqk)，并用倍差法求和，有P(12 q 3 q k q )对于上式括号中的式子，利用导数，关于k 11 2 q 3 q k q23. k(q 2q 3q kq )q ,(1 q)2 2(1 q)q(1 q)2(1 q)41 q21 q 2 p433(1 q) (1 q) P则 E 2 Pd) ，因此 D E 2 (E )2(丄)2 PPPPP利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例1. 一个口袋内装有 5个白球和2个黑球，现从中每次摸

5、取一个球， 取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D 。解：每次从袋内取出白球的概率 P5-,取出黑球的概率7的取值为1, 2, 3,有无穷多个。我们用k表示前k 1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此P(k)(j)k 1(|)(k1,2,3,)。可见服从几何分布。所以5714(5)2 25例2.连续射击,某射击运动员每次射击击中目标的概率为 每次打一发子弹，直到击中目标，P( 0P1)。他有10发子弹，现对某一目标 或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1,2,，9, 10。k(k 1,2,9)，则表明他前k 1次均没击中目标，而第 k次击中目标；若k= 10,则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为P( k)(1(1P)k 1P(k 1,2,9)P)9(k 10)1(12(1P)0P 2(1 P)P8P) 9(1 p) p 109 (1 p)8 p 10 (1 p)9(1 p)9用倍差法，可求得81 2(1 p) 9(1 p)9g1(1 P) 9(1 p)1 (1 P)21 (1 P)9g1 (1 P) 9(1 p)2pp所以 E 1(12川 9(1p)9p 10(1 p)91 (1 p)10pp