《矩阵论》习题答案

1、第一章第一章第6题实数域R上的全体n阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。解：实数域R上的全体n阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R上的线性空间Rn n,记VA/A Rn n, AT = A】WA/A Rn n,AT - -A以为，对任意的 A, BV,AT =A, BT =B,则（A + B$ = A+B,即 A+BV，所以 v 对 加法运算是封闭的；对任意的 AwV,k R,AT =A,则（kA=kA，即kAV,所以V对数 乘运算封闭；所以， V是Rn n的一个线性子空间，故 V构成实数域R上的一个线性空间。同理可证， W也是一个线性空间。P41第一章第8题（参考P10例题1.2.

2、5）证明：存在k1, k2, k3, k4使得k2 ： 2 k3： 3 匕：4 = 0k31110l1011 一=0k +k2 +k3=0& +k? +k3 =0k1 k3 k4 =0k1 k2 k = 0所以：1，： 2，： 3，： 4线性无关P42第1章第12题解：因为 A= X1 1 +2 + X 3 + x 4 即X1+X2+X3+X4=1X1+X2+X3=2X1+X3+X4=-2Xl+X2+X4=X1=-2X2=3X3=22n1n-1=5+2 Cn(X-1)+2 Cn U (x _1) + +2Cn 1 (X -)取 f(x)=3+ 2xn-1 在基 1,(x-1), (X -1)2

3、,(x-1)n4下的坐标为(5,2cj，2C：4,2C：)T教材P42习题14:求基：1 =(1,0,0,0)t, : 2=(0,1,0,0)t，: 3=(0,0,1,0)t，: 4=(0,0,0,1)t，到基1 =(2,1,-1,1)丁 , (0,3,1,0)t , (5,321)T , (6,6,1,3)T 的过度矩阵, 确定向量.=(X,X2,X3,X4)T在基-1 , -2 , 一：3 , ：4，下的坐标，并求一非零向量，使它 在这两组基下的坐标相同。所涉知识点：基，过度矩阵及其应用。参考例题-例1.3.3-P16X4=-1一T所以 A 的坐标为x1 , x2 , x3 , x4=-2

4、,3,1,-1P42第一章第13题 答案f(x)=3+ 2xn-1 (泰勒展开)n-2f (x) =2(n-1) Xn-3f (x) =2(n-1)(n-2) X (n A)(n)f (x)=2( n-1)!f (x)=0f(1)=5 f (1)=2(n-1)f ( 1 =2(n-1)(n-2)(n .1)f(1)=2( n-1)!1 1f(x)=f(1)+ f (1) (X-1)+f(1)(x-1)2 + +fZ(1)(x-1)22!(n1)!+ 2(n -1)!(x-1)=5+2(n-1)(n-2)+ 2 (n 1)(2) (x -1)2 +2!8-tnt21t12t22t13t23t14

5、t24设过渡矩阵为T =， 公式t31t32t33t34-t41t42t43t44(：1, ：2, ：3, ：4)=(： 1, ： 2, ： 3,： 4)T(U2, 3=(宀，2,3,4)2,对比以上两式，易得过渡矩阵T设=(Xi,X2,X3,X4)T 在基：1 ,t11t12t13t14 1% = 2% + 做2 + _1口3+做4t21t22t23t2402 = 0口 严 3a 2 + 他 3+ g4，又t31t32t33t34P3 =5口1 + 3(2 + &3+他441t42t43t44 _P4 = 6旳 +也2 +1a 32056【13561-112。6J013一2，f3，打，下的坐

6、标为B=(b1,b2,b3,b4)，则-1 b2 2bs 3b4 ：4，即(1, 24)b2X2baX34 一1 1一X4 一biXi,向量为任意给定的一个向量，该向量的每个分量可以看做已知量，向量b2为给定已知向量X2b3X31IX4 一匕 1_Xi A：二的解，其中矩阵在基I，：2，3，4下的坐标，其坐标可以看做是方程_21A = (Pl,P2,P3,04) =-10 5 63 3 61 2 10 1 3向量 =(X1, X2,X3,X4)T为任意给定向量,:=(b,b2,b3,b4)为要求量。方程A 二是非齐次线性方程组,该方程有解的充要条件是r(A) =r(A)解得该方程组的解即可确定

7、向量匕=(为在基、，匕，匕，：4下的坐标。2056X1 11336X2-1121X3J013X4 一A 二初等行变换丨 Err（4-r） XIf（4 丄）X（4）：44丄）Xi i=2,3,4Xi是X1, X2, X3, X4在初等和变换的过程中变换而来的。X1 ,X2, X3, X4为给定的向量的坐标。显然由上式可知：rgxxN)。设某一非零向量为=（X1,X2,X3, X4）T，向量在基：1，：3，:- 4下的坐标为(1, 2, 3, 4)=(1,2, 3,4)向量-1 = X1，-2 = X2，3 = X3, ：.4=X4所以,鼻 (x1,x2,x3,x4)t在基：4下的坐标为（X1,X

8、2,X3,X4）T ,由题意知：向量二(X1,X2,X3,X4)T 在基:1，: 2，: 3，: 4与基2，3，- 4下具有相同的坐标，即向量，在基-1，-2，-3，-4下的坐标也为(X1,X2,X3,X4)T4贝y = X1 X2 12 X3 1 3 X4 1Xi 1 i ， 即211J031053216丨X1X2X32X1 0X2 5X3 6X4 IX1 +3x2 +3x3 +6x4一伪 +x2 +2x3 +x4-Xr +0X2 +x3 +3x4 _xjX2X3化简该式可得如下其次线性方程组：Q +0x2 +5x3 +6x4 =0方程组（I ）中系数矩阵Xr +2x2 +3x3 +6x4

9、= 0-1X1 X2 X3 X4 =0X1 0X2 X3 2X4 二 010 5 612 3 6宀曰A=，向量x = (xx2, x3,x4)，写成矩阵形式即为：Ax = 0 (II),求方程-1111J 0 1 2一组(II)的解就是所求向量。对矩阵 A做出的行变换如下所示:11A =1-102105311r 2 _r1r 3r 4 _r1052 -21 60-4-40561j051-10r3201-1167007011一100110060711r4_r3561j-10r2卡30、1100021 00 10 00 00 51 00 10 0 0A- C, A与C相似。r3： 5:：；r11_

10、1 =C10由上面分析易得解为：X1 =1,X2 = 1, X3 =1,X4 - -1 ,s所以满足条件的一个非零向量为显然,r (A) = r (C) = 3 ；： n = 4，det(A)=0,方程Ax = 0有非零解,=(1,1,1, -1)丁,其在基：1，: 2，： 3，4与基-1，：2，：3，：4下具有相同的坐标。(注：所解过程如有不对地方，建议各方交流啊！)第27题V =R4,S=1,2,2,- T, 1,1,-5,3丁 3,2,8,-7丁仁：=3,1,1,-3丁 解：令十 1,2,2,-1 T，二二 1,1,-5,3 T，心二 3,2,8,一7丁 取 3 二-：1,-二 -：2

11、m , - 21 二-：2,21 M, -1 = 0_ 门1_：2,：1J =鼻：1 二 2,3,-3,2 T,飞=小”132 7,且3 V， 0 =(爲，P,1)(点3，=：、31 = - _31 1,0 = ：；3,：,22 =1為)所以飞二5-3=2 ：,：, ： 3 正交化：1, 再取-4，使=U , i 令 “ 1, 2,2 2 2 3 -(6，=：、32 二-一32 2，二 2,-1,-1,-2,2,3-1,2,33?4T 4=2 1 3 2 -3 3 2 42 1-03 一24=0=1,7 - 2231M1 10由= 3,1,1,-3-110二 07102=3，2_ 2d 2 ,

12、2 d1,-, ,1 .3 3310 4、262Z34第二章P78第2章第6题1)( X1, X2, X3)=(2X1-X2, X2 + X3, X1)；1 (1,0, 0) = (2, 0, 1) =2 ； 1+ ； 3；2= (-1,1,0)=- ； 1 + ; 2g 3=( ,1,0)=Z 2（t，L 2，3）=（ ： 1232,-1,0)0,1,1J，0,0 一所以在；12-3下的矩阵是2,-1,00,1,1J,0,0 一(2 )由( 1-1,1,011,0,1J,-1,1 J=P）的过渡矩阵为-1,1,0P= 1,0,1乙一1,1 一_1,0,11,1,0-1,2,1 一1 1,0,

13、1【令 A= 1,1,0匚1,21由（e, a-1p-1p-1A p =(e, 8)-1PA p(3 )由(1-1,0,31A= 0,1,-1 得】2,1,0 一-1A 二5,0, - 50, -1, 13,6,9A- (E11)= 0,0 =3En= E11 + E12-1105(E21)43,0E 21 6,0=-E11 +6E21iE22)=fE222,2=E11- E12+2 E 21+2 E 22213,1,-1,-10,1,0,-1|0,0,6,2 .0,0,02一缺第8题第二章第九题P79页:解:令A =1-11022-21 135-2即：A I-, ；2, ；3, ；4 1 =

14、( 1. 4) A(1, 2,3, 4)=(4)P，10 0 0-2 3 0 0 由题目知；p =0 1101 1 1 2_ A在基1, 2, 3, 4下的矩阵为PAP那么,A( 1,2,3,4) = A(；1, ；2, 3 ；4)P =( ；1, ；2, ；3, ；4)AP(2)由线性映射值域和核的定义可以得到：R(A)V ；=VN(A)-二 V | A(： )=0? V第二章第10题10在n维线性空间中Rxn中，定义线性变换二(f(x) = f(x)，其中f(x) Rxn。求二的值域与核。解: N(D)=常数二 R(Dspa n1,x,xn6，取=1，；2 二 x，；n = xn_l ；0

15、10 0002 0D(% 名2,%)=(% 名2,，气)000 *0 0 0n -1001002.00D =000 n 1100 0 ；R(D) L Df (x)f RxJ , N(D)二f Df(x) = 0? , f 二T(0, .1，JR(x), Df (x) , D -】0 0州0 0讯。R(x) = R(D) = 知捲 f =i0+qx , N(D) =“ f = 5+gx= R(x)第二章13题解：（1 ）由题可得 A（： 2, ： 3）= （： 2, ： 3）A(-1, ：2, ：3 (：1,： 2,： 3)P九-1-20九1 A =0h -20=0即(k1)(九一2)(九+1)

16、 = 022k +1A) =Ci23)PAP(2)由 Aa = a = Ax = x特征值1 = 1,= 2,= -1o人=1时，把入=1代入式中得 02-201010 0122一卫011001则x1 = x3,x2 =0特征向量为X1 = | 0L-1J11-2=2时，把九2 =2代入式中得02-2010100 02123卫00则 = _x3,2x2二-x3特征向量为 X2二2*-3 = -1，把人3 = -1代入式中得02-2-3200010卫0100则x-2A-610-1-2入+ 3A - 3-25-100-2X-2 -2 (X-2)100 rl000入-2-2(A-2)0 入-2.0-

17、2 (A-2)A2-4400A - 4A + 4A 4- 32入+ 4(A + 3)(A-3) +51 0 00 A-20P 0(A-2)2同理可得0-6-6-4刎一B =-20A-32-20% 51A + 329ri o o0 A-20o 0CA-2)2A与B具有相同的不变因子，故 A与B相似AVV*第三早（1 ）求Jordan标准型参考P107例3.5.126-15A= 1,1-52T2, -6,15、广-1,-2,&+6、彳2-6 勺2,-九-6入1 A =-1A-1,5=1,扎-1,5=T,丸 T,5=0,丸 +1厂&_1.-1,-2，九+60-2,-6,15g 2,-6,15卫,一2

18、（九+1）,（九+3）（九+1）丿勺,2,-丸-61,0,0X0,人十1, _人-1兰0,九+1,0。0,(九+1)2。0,（人+1）2则A的初等因子为 1 （1），故A的Jordan标准型为f1,0,0、J= 0, -1,1l0,0-1 讥册A-#肚A谢酗旳八肘眦腌和加榕娜卜2 :、 加询珂和厂 攵w丿匕2 。巾rA嚅 bO 二（P丿o /A 00 2A乍-碍r* r 2 j电 az b =（； m ； 虹諏砂MM馭gA）Xr数洲飾酗綃h也和尸）； 歎由-X| gT 取卒|耳=0二勺第三章第14题-31-11-4-22 1(1)020（2）-57-5-111 一-67九-3-1114求下列矩

19、阵的最小多项式:3 解：(1 )由 f (扎)=| 划一A|= 0 扎20 =(&2)-1-1 k3再由A-21 =0,（A-2l）2 =0得A的最小多项式为（）= （ -2）2( 2丸-4-f(人)=5-人 I6- U验证A-21 =0,A2 -5A 111 = 0得A的最小多项式为P142、第四章第三题（1），参考例题例 求下列矩阵A1（1）A = 0J第四章4.2.2，3 _7” 221-22的满秩分解：011010则L|A =021_110110-2-11J_1001-1 230010则l2l1a0 21_1011-0 000_10110 1023解：取L1 =取l2 -= A(1)因

20、此A = LL2，A10:1010 C1丄0010 C1丄00-1027100123001002111010000j令B= 0J01130贝U A = BC .1 -14-9 (1)f100】Unu12u131解：令 A=L U=l 2110丨.0u22u231J 31l1丿00u33Ji 二由公式：当 j J 时，u j = a ij _ X l ir u rjr +1j 4当 j )u23 7,1 31 2,1 32 1 u33 147210又令 U=D U=00120-1丿32102丄41所以LDU分解为L= 120D=0120、2:1u= 003210第四章第10题10利用系数矩阵的(

21、2x-i 3x2 4x3LU分解解下列线性方程组(1) x! + x2 + 9x3 = -7Xr +2x2 _6x3 =912x1 - 3x2 4x3 二 03x5x2 2x3 = -54x1 3x2 30x3 二 28(1)解：据题意可得：系数矩阵234 1一100_UnU12U13119；L=l2110；U=0U22U232.31l321 一100U33 -(2)A=_10l2110II31l 32由A=LU即丿1101=2 ；Un3124 19-6得：1 u110 0 0 0 =2二1 u120 u220 0 =3= u12 =3 ；1 U13 0 U23 0U33 = 4= U13 =

22、 4 ；l21U111 0 0 0 =1= |21I21U121 U22 0 0 =1= l31l21U121 u220 0 =1= u2212 ；1 .2 ；1l21U131 U230 U33 = 9 二：U23 = 7 ；l31 U12I32U221 0 =2= I32 = T;2 ；2910 0I234 111 0；U=017221-1 1100-12l31U13 l32U231 U33 = -6 =U33所以L=- 1f Ax = LUx = b I根据LU分解有 Ux = yLy =b43得:01yi二 1152 37x2Lx*! = 1 x2 = 11X3= -1(2)解：据题意可

23、得：系数矩阵234 1 0 0-3 52；L=l2110；U=.43 30 _L.31l321 _-A=3丿110U12 U13U22U230U331由 A=LU 即 |21310U121101 32U220U13 I 2 =3 J ?U23U334230得：1 u110 0 0 0 =2= u1 u120 u220 0 =3= u12 =3；1 U130 U230U33 =4二 U13 =4 ；3l21u1110 0 0 =3=T21 =;2I31U11I32 0 1 0=4= I31 =21Ji；比2 1U22 0 ； 0 = 5= U22 ：2I21 U13 1U23 0 U33 = 2

24、= U23- -4 ；l31 U12l32u221 0 =3= l32U33 = -2 ；得:13201-6yj0-5 二28Jy2y1y2y3二-220L=3 1 02；U=0 -2-2-611 10 0-210124 103所以I32 U23 1 U33 二 30=l31U13f Ax = LUx = b I 根据LU分解有 Ux = yLy =b第五章第五章第七题AH A_0=yH y _ 0, AAH _ 0（1）_x Cn，令 y=Ax Cm,则 XH AH Ax = yHy _0.同理Cm，令 y 二 Ahx Cn，贝U xHAAHx秩 （AHA ）= 秩 （AAH ）= r, 可

25、逆矩阵 P,Q,使PHAHAP=r0,QHAAHQ=r0 故AhA与AAH有r个特征值。：00品：00皿（3）列满秩=AH A非奇异且根据结论1= Ah A为Hermite正定矩阵第五章第6题f x1 ,x2, x3 = i x1 x2 x1x3 -ix1 x2 %x3;0-i其解矩阵A= i 01 011o的特征值为J2,-J2,oo|2首先对& = 2取特征向量q = -iJ12 2 、21.一112122HH1 = 2 2 w1w1=1 .3+2屈3 + 2122(2+72)2(2 +&)11 .3 + 2占2i2(2+72)2(2 +J2)72+2：-i -满足h1ah1h0.22.2

26、.i20运.i2_(2首先对 - - . 2取特征向量矩阵42242. i 一 2丘1i22 一2的特征向量是- .2,0H 得到 H 2* = 2 - 2W2W22.运1i2一2 一令H20 1h2*Hh从而 h2h1ah1 h2 = 00 0】-2 0 =A0 022.i22 12 2.2 12 d、2 12 d12故f疋，X2,怡 二xH Ax二yH-：y 所以其标准形为:第五章19.H取 A = u u, y 二 uxf(xX2，X3 )=2卜1 2 寸2卜2 2r3A= LL T，-10()31 -2/310x A =C)2/3-2/3解：Ai =t-1/3010-2/32閃1 00

27、1r321设A=L0X求对角元为正数的下三角矩阵L使得A2 =即对A进行对A进行令L=P.198题目证明:Ai =t)o2fA0AU分解后得A=LDU分解后得0 s塔 左习题第r 1001321 2/31 (1X02/3 2/31/g-110L02A=10 (T30)12/31/3J2/31 0X02/3(X)1-1IS1 1002001，即A=LL T第六章Cmn，令A= n max aij。证明:是 Cmn 上的相容矩阵范数。_A = (aij) Cm n，B 讪）Cm n设 AB =(Cj)则 Cjn二 aik bkj k m所以Cij =8-1 1 -21 1 2=/ 2 2 一J 一

28、2 2 一1f 1AH A 二1+1-2-4+2+2-300 11+1 + 44+24 =06-6_4 +2 416 + 4+4_0-624 一241111 1 一2入-300H1人A A =0人一662=(九一3)(k 30+108) = 006k-24解得:打=3,30 + J302-4 108 30 + 468，/. 2 2 230302 -4 108 _ 30 .、4682 - 230. 468所以A宀30 ；468.15,117 A _=max114 112 12 2=6 |=J1+1+16+1+1+4+1+4+4=(33(2 )用同样的方法求，注意- J 1们_n -s10 讣 1

29、 y45 t1 1 11-2 1+1+1-1 3- L_21第六章18题的收敛性.试讨论幕级数7n 二 1设A=1厂1一3丿则存在z-1P=0，使得 PAP 二 Jn壬n-1P-10，从而幕级数T丿2n * n、:-1ncOznT-1n2n-4P收敛.第七章第七章1题对下列矩阵A，计算eA, eAt和sin At2 0 0(1) A= 0110 0 1 _xx1) f(x)二 e , f (x)二 ee20 0A门e = 0 e e：.0 0 e 2) f(x)=ex, f(x) =teM 0 0e = 0 e te.0 0厂I3) f (x)二 sin xt, f (x)二 t cosxts

30、in 2t 00sin At =0 sint tcost-00sin t-22n(2)A =-261-004(3)-2001(4)A =111的特征值扎=2 （三重）-1-13 一初等因子，_2和（，_2）2几-200 1入1 - A =_1丸1-1_11九3一-丸 一1一1 1=(扎2)1_ 1九-3=(人一 2)(人 _2)22 0 0即求逆解P使pAP=J= 0210 0 2令 P =(Pi, P2, P3)JAR =2R即 AP2 =2AP3 =2卩3由(2I _A)x =00 0 0x-11 1X20-1 1 -1片- x3 = 0n得人=2的两个解是 = 1，首=取 Pi = 1,

31、 P2 = ki 1 k2 2得 P2满足AP3 = 2F3即(21 - A)P3=-P2=-k1 1k2 2 =11取 k =0, k2=1 时得 P3= 0 , R= ：0j1001001从而 P=110,P- =-110011一.1-11 一即 A 二 PJp4e200 11) ePeJP = e20e2e2 弋2 2e2 _e2t00|2)eAPeJtP- =te2t(1_t)e2tte2tte2t-te2t(1+t)e2t245sin 2t_13) sinAt=psin Jtp = tcos2t tcos2t0sin 2t -tcos2t-t cos2t0 t cos2tt cos2t sin 2t第七章8(2) A=0 -1;4 4,求 arcsinA/42 解：特征值 =2 (二重)，初等因子( -2) 存在可逆矩阵P: P，AP二J二2,1P0,2令 P=( pp)，由 A( HP) =( pp) JAp=2P1(1