期末复习（二） 全等三角形

1、期末复习（二） 全等三角形【例1】如图，C，F在BE上，ABCDEF. (1)求证BF=EC； (2)AC与DF有怎样的位置关系？试说明理由. 【分析】(1)欲证BF=CE，只需要证明BC=EF，由ABCDEF即得到；(2)由ABCDEF可得到ACB=DFE，从而得到ACF=DFC，即可得ACDF.【解答】(1)ABCDEF，BC=EF. BC+CF=EF+CF.即BF=EC. (2)ACDF.理由：ABCDEF， ACB=DFE.ACF=DFC.ACDF.【方法归纳】全等三角形的“对应边相等，对应角相等”的性质，是由全等三角形获得相等线段和相等角的依据.变式练习1.如图，ACBACB，AB=

2、6，BC=5，AC=4，则AB的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 变式练习2.如图，已知ABCADE，B=20，C=40，DAC=10，则EAC的度数为_. 考点二 全等三角形的判定【例2】如图1，已知，在ABC中，AB=AC，P是ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ，CP，则“BQ=CP”.若将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，则“BQ=CP”是否仍然成立，请你就图2给出证明. 图1 图2【分析】由旋转的特征可知，AP=AQ，已知条件中有两个不变量：AB=AC，QAP=BAC，为证明ABQACP创造了条件.【解答】QAP=BA

3、C，QAP+PAB=BAC+PAB.即QAB=PAC.在ABQ和ACP中， ABQACP.BQ=CP.【方法归纳】三角形全等常与平移、旋转、翻折等相结合进行考查，解决这类动态性全等题，一要紧扣条件中的变量与不变量；二要认真分析动态前得出结论的思路和方法，一般情况下动态后得出结论的思路和方法与动态前得出结论的思路和方法是一致的.变式练习3.（2013陕西）如图，AOB=90，OA=OB，直线l经过点O，分别过A，B两点作ACl交l于点C，BDl交l于点D，求证：AC=OD. 变式练习4.（2013荆州）如图，ABC与CDE均是等腰直角三角形，ACBDCE90，D在AB上，连接BE.请找出一对全等

4、三角形，并说明理由. 考点三 全等三角形的实际应用【例3】你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA，BB有何数量关系？为什么？ 【分析】先猜想AA=BB，再转化为证明两个三角形全等.【解答】AA=BB，理由如下： O是AB，AB的中点， OA=OB，OA=OB. 又AOA=BOB， AOABOB.AA=BB.【方法归纳】本题以玩跷跷板为背景，贴近学生实际，体现人文关怀，将观察、猜想、验证、推理于一身，依据全等三角形的性质求解.充分体现了数学来源于生活，

5、又应用于生活.变式练习5.如图，一块三角形模具的阴影部分已破损.只要从残留的模具片中度量出哪些边和角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具ABC？请简要说明理由. 考点四 角平分线的性质与判定【例4】如图，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E，DFAC，垂足为F，且BDCD.求证：BECF. 【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，再根据“HL”判定两个三角形全等，再根据全等三角形的性质即可证明.【解答】证明：AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，DEDF. 在RtDBE和RtDCF中，DE=DF，BD=CD. RtDBERtDCF（HL）

6、.BECF.【方法归纳】如果题目中有角平分线上的点，且含有过该点向角的两边作的垂线段（即“垂直”的条件），就能得到线段相等.即使没有垂线段，也可以过角平分线上的点向角的两边作垂线段，从而证得线段相等.变式练习6.如图，BECF，DEAB于点E，DFAC于点F，且DBDC，求证：AD是BAC的平分线. 一、选择题（每题3分，共30分）1.下列说法中正确的个数有( ) 形状相同的两个图形是全等形；对应角相等的两个三角形是全等形；全等三角形的面积相等；若ABCDEF，DEFMNP，则ABCMNP. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.已知DEFABC，AB=AC，且ABC的周长为23 cm，B

7、C=4 cm，则DEF的边中必有一条边等于( ) A.4 cm B.9.5 cm C.4 cm或9.5 cm D.13.5 cm3.满足下列条件，能判定ABC与DEF全等的是( ) A.A=E，AB=EF，B=D B.AB=DE，BC=EF，C=F C.AB=DE，BC=EF，A=E D.A=D，AB=DE，B=E4.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是( ) A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 5.如图，ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC分为三

8、个三角形，则SABOSBCOSCAO等于( ) A.111 B.123 C.234 D.345 6.如图，从下列四个条件：BCBC，ACAC，ACABCB，ABAB中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为( ) A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 8.如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( ) A.50 B.62 C.65

9、 D.68 9.(2012淄博)已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是( ) A.两条边长分别为4，5，它们的夹角为 B.两个角是，它们的夹边为4 C.三条边长分别是4，5，5 D.两条边长是5，一个角是10.如图所示，ABE和ADC是ABC分别沿着AB，AC边翻折180形成的.若123=2853，则的度数为( ) A.80 B.100 C.60 D.45 二、填空题（每题3分，共18分）11.（2013柳州）如图，ABCDEF，请根据图中提供的信息，写出x_. 12.（2013昭通）如图，AF=DC，BCEF，只需补充一个条件_，就得A

10、BCDEF. 13.如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使AOC与AOB全等，则C点的坐标为_. 14.如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EB，ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分DBC，则D=_. 15.如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B.下列结论中成立的有_(填写正确的序号). PA=PB；AB垂直平分OP；OA=OB；PO平分APB. 16.如图，已知，在ABC中，A=90,AB=AC,CD平分ACB，DEBC于E.若BC=15 cm，则DEB的周长为_. 三、解答题（共52分）17.(10分)已知:

11、如图，BD为ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N.求证PM=PN. 18.(10分)(2012义乌)如图,在ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E，F,连接CE，BF.添加一个条件,使得BDFCDE,并加以证明.你添加的条件是_.(不添加辅助线) 19.（10分）（2013菏泽）如图，在ABC中，ABCB，ABC90，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BEBD，连接AE，DE，DC. （1）求证：ABECBD； （2）若CAE30，求BDC的度数. 20.(10分)如图，已知RtABCRtADE，ABC=ADE=90，BC

12、与DE相交于点F，连接CD，EB. (1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举； (2)求证CF=EF. 21. （12分）在图1和图2中，直线MN与线段AB相交于点O，1=2=45. 图1 图2 (1)如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系； (2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB.求证：AC=BD，ACBD.参考答案变式练习1 A变式练习2 110变式练习3 证明：AOB=90，AOC+BOD=90.ACl，BDl，ACO=BDO=90.A+AOC=90.A=BOD.在AOC和BOD中，AOCBOD（AAS）.AC=OD.变式练习4 ACDBCE.

13、理由如下：ACB=DCE=90，ACBDCB=DCEDCB，即ACD=BCE.又AC=BC，CD=CE，ACDBCE（SAS）.变式练习5 只要度量残留的三角形模具片的B，C的度数和边BC的长，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.按尺规作图的要求，正确作出ABC的图形.变式练习6 证明：DEAB，DFAC，E=DFC=90.在RtBED和RtCFD中，BE=CF，BD=DC，RtBEDRtCFD（HL）.DE=DF.又DEAB，DFAC，AD是BAC的平分线.复习测试1.C 2.C 3.D 4.D 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.A 11.2012.EF=BC或E=B或A=

14、D或ABDE13.(3，4） 或(3，-4） 或(0，-4） 14.3015.16.15 cm17.证明：BD为ABC的平分线，ABD=CBD, AB=BC,BD=BD，ABDCBD，ADB=CDB. 又PMAD,PNCD,PM=PN.18.添加的条件是：DE=DF(或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等） . 证明：BD=CD，EDC=FDB，DE=DF，BDFCDE.19. (1）证明：ABC90，DBEABC90.ABECBD.在ABE和CBD中，ABECBD（SAS）. (2）ABCB，ABC90，ABC是等腰直角三角形.ECA45.CAE30，BEAECAEAC，BEA453075.由 (1）知ABECBD，BDCBEA，BDC75.20. (1）ADCABE，CDFEBF，ADFA