高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质新人教A版必修

1、第2课时等差数列的性质,自主学习 新知突破,1进一步了解等差数列的项与序号之间的规律 2理解等差数列的性质 3掌握等差数列的性质及其应用,等差数列中项与序号的关系,1)若an是公差为d的等差数列，则下列数列： can(c为任一常数)是公差为_的等差数列； can(c为任一常数)是公差为_的等差数列； anank(k为常数，kN*)是公差为_的等差数列 (2)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为_的等差数列,等差数列的性质,d,cd,2d,pd1qd2,对等差数列的性质的理解 (1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两项特别地，当mn2

2、r时(m，n，rN*)aman2ar. (2)从等差数列an中，等距离抽取一项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化,3)将等差数列各项都乘以同一个常数k，所得数列仍为等差数列，公差为kd. (4)形如a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，的抽取，实际上是3a2,3a5,3a8当然成等差数列对于每2项，4项，5项抽取，道理是相同的 (5)a1ana2an1a3an2,1已知an为等差数列，a2a812，则a5等于() A4B5 C6 D7 解析：a2a82a512，a56. 答案：C,2在等差数列an中，已知a12，a2a313，则a4a5a6等于() A40 B42 C43 D

3、45 解析：a2a32a13d，d3，a4a5a6a1a2a333d42. 答案：B,3已知an为等差数列，a3a822，a67，则a5_. 解析：a3a8a5a622，a522a622715. 答案：15,4在等差数列an中， (1)已知a2a3a23a2448，求a13； (2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d. 解析：方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48，4a1348，a1312,合作探究 课堂互动,等差数列性质的应用,在等差数列an中，已知a2a3a10a1136，则a5a8_. 思路点

4、拨由题目可获取以下主要信息：数列an为等差数列；a2a3a10a1136；求a5a8.解答本题可利用性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，也可引入公差d和首项a1对已知和所求进行化简求解,解析：方法一：根据等差数列的性质可得： a5a8a3a10a2a1136218. 方法二：根据题意，有 (a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，4a122d36，则2a111d18.而a5a8(a14d)(a17d)2a111d，因此，a5a818. 答案：18,法一运用了等差数列的性质，若pqmn(p，q，m，nN*)，则apaqaman；法二设出了a1

5、，d但并没有求出a1，d.事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中是一种常用方法，它体现了整体求解的思想,1在等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是() A15B30 C31 D64,解析：方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由a7a916得2a114d16，由a41，得a13d1.两式相减得a111d15，即a1215. 方法二：79412，a7a9a4a12，a12a7a9a415. 答案：A,等差数列的运算,1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数 思路点拨(1)根据三个

6、数成等差数列，可设这三个数为ad，a，ad(d为公差)； (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d,边听边记(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为ad，a，ad. 依题意，3a6且a(ad)(ad)24， 所以a2，代入a(ad)(ad)24， 化简得d216，于是d4， 故三个数为2,2,6或6,2，2,方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d， 依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24， 所以a2d，代入a(ad)(a2d)24， 得2(2d)(2d)24,4d212， 即d216，于

7、是d4，三个数为2,2,6或6,2，2,2)方法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)， 依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四个数成递增等差数列，所以d0， d1，故所求的四个数为2,0,2,4,利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量,2已知成等差数列的四个数，四个数之和

8、为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列,综合运用题,1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an1and(d为常数)，也可以用an1ananan1(n2)进行判断本题属于“生成数列问题”，关键是利用整体代换的思想方法 (2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可,3梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度 解析：用an表示题中的等差数列由已知条件得a133，a12110，n12.设公差为d，则a12a1(121)d， 即1103311d，解得d7. 因此，a233740，a3332747，a1133107103. 中间各级的宽度分别为40 cm,47 cm,54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm,89 cm,96 cm,103 cm,已知两个等差数列an和bn，且an为2,5,8，bn为1,5,9，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 【错解】由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公