《线性代数》(第二版)讲义4章(向量空间)

1、线性代数 第4章（向量空间） 姜建国第 4 章 向量空间（一） 内容l n维向量；l 向量组线性相关性；l 向量组的秩；l 向量空间、子空间、基，维数及坐标等概念；l 基变换与坐标变换的原理；l 向量的内积、长度（范数）、夹角；l 线性无关向量组的正交化方法和规范化方法；l 正交矩阵的概念和性质；l 线性方程组的解的结构。（二） 基本要求l 理解n维向量的概念，了解两向量组线性表示及等价的概念。l 理解向量组线性相关、线性无关的定义并熟悉这一概念与齐次线性方程组的联系，了解向量组线性相关、线性无关的重要结论。l 理解向量组的最大无关组与向量组秩的概念，会用矩阵的初等行变换求向量组的最大无关组与

2、向量组的秩。l 了解n维向量空间、子空间、基、维数等概念，了解坐标的概念，掌握基变换与坐标变换的原理l 知道施密特正交化方法，会将线性无关的向量组正交规范化；l 理解齐次线性方程组的基础解系、通解等概念及非齐次线性方程组解的结构。（三） 重点和难点l 重点：线性相关、线性无关的概念，向量组的最大无关组和向量组的秩，求线性方程组基础解系的方法，向量空间的基及基变换与坐标变换。l 难点：线性相关、线性无关，向量组的最大无关组与向量组的秩。82/824.1 维向量（一） 直观用例(1) 某工厂一批产品运到6个销地的数量；(2) 平面和空间向量；(3) 导弹的空间位置；(4) 导弹的飞行状态（位置、速

3、度和质量）；(5) 其它。（二） 定义【定义4.1】 由n个数组成的有序数组称为向量（或n维向量），称为该向量的第个分量（或坐标）（1, 2, , n）。实向量：分量全为实数。复向量：分量全为复数。约定：一般只讨论实向量。列向量：，即n1矩阵。行向量：，即1n矩阵。说明：（1） 向量的表示：黑体小写字母，如a, b, ，, ,（2） 约定：在没有指明时，默认所讨论的向量为列向量（本质是有序数组，行向量与列向量的区别只是写法不同）。（3） 列向量的结论容易移植到行向量上（因为一方的转置即为另一方）（4） 矩阵的运算（加法、数乘）及其运算规律都适合于n维向量（因为向量的本质是一种特殊矩阵）零向量：

4、(0, 0, , )（分量全为0的向量），记为0负向量：的负向量，记为。和：全体n维（实）向量构成的集合，记作；全体n维（复）向量构成的集合，记作。（三） 向量的运算设向量，加法：数乘：（k为数）（补：向量的线性运算）运算规律设、为n维向量，k、l为数，则有（1） 交换律：；（2） 结合律：；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） 分配律：，。【例】设，求满足0的向量x。（解）25 （四） 与线性方程组的关系个方程n个未知量的线性方程组 (4.1)第个方程中的系数和常数项构成一个n1维行向量，1, 2, , m未知量之前的系数构成m维列向量，j1, 2, , n常数项构成列向量方程组的

5、向量表示： （4.2）称为线性方程组的向量形式。（）（方程组的表示方式）结论（1） 线性方程组与向量组, 一一对应。（2） 可用向量研究线性方程组，也可用线性方程组研究向量。（五） 与矩阵的关系mn矩阵 每一列构成一个m维列向量（j1, 2, , n）。由诸组成的向量组, ,，称为矩阵A的列向量组。每一行构成一个n维行向量，（1, 2, , m）。由诸组成的向量组称为矩阵A的行向量组。矩阵A可用向量分块表示为反之，n个m维列向量组可构成mn矩阵m个n维行向量组，也可构成mn矩阵A结论（1） 矩阵与向量组一一对应。（2） 由向量组可构成矩阵，由矩阵可构造向量组。4.2 向量组的线性相关性4. 2

6、. 1 向量组的线性组合（一） 背景【例】（补）线性方程组增广矩阵即3个方程可表为3个行向量性质：方程13方程2方程3结论：方程3是多余的向量形式：，即可由和经线性运算而得到。（二） 定义向量的线性表示【定义4.2】设是n维向量，若存在一组数，使得则称向量是向量组的一个线性组合，也称可由向量组线性表示（或线性表出）。数称为该线性组合的系数。说明零向量可由任意向量组线性表示，或零向量是任意向量组的线性组合。（）【例4.2.1】n维向量组，称为n维基本单位向量组。证明中任意向量可由线性表示。（证）由知。（三） 与方程组的关系向量可否由向量组线性表示，等价于线性方程组是否有解。【定理4.1】n维向量

7、可由n维向量组线性表示线性方程组有解矩阵的秩等于矩阵 的秩。【推论】n维向量可由n维向量组唯一线性表示。【例4.2.2】设，。试问向量可否由线性表示？若可以，表示式是否唯一？并写出具体表示式。（解）设，即表为方程组 化方程组增广矩阵为梯矩阵23（未知量个数）可由线性表示，且表示式不唯一。解方程组 ，其中c为任意常数表示式 例 4. 2. 2 向量组的线性相关性（一） 定义线性相关与线性无关问题用向量组，表示零向量或表示方式不唯一用向量组，表示零向量表示方式唯一分析反映了向量组与向量组的一种重要特性。【定义4.3】设都为n维向量。若存在一组不全为零的数，使则称向量组线性相关；否则，称其线性无关。

8、【定义3】n维向量线性无关是指只有当0时（4.4）式才成立。即若（4.4）成立，则必有0。【特例】单个向量线性相关0；单个非零向量必线性无关。结论：（1）向量组线性相关零向量可由线性表示，且表示式不唯一。即齐次线性方程组有非零解。（2）向量组线性无关零向量可由线性表示，且表示式唯一。即齐次线性方程组只有零解。（注意教材中的“当且仅当”）思考：含有零向量的向量组是否线性相关。（二） （相关性的）判断【定理4.2】令A。那么向量组线性相关；线性无关。（证）（补）记A()，设有，使得，即0或 Ax0由齐次方程组有非零解的充要条件知结论成立。【推论1】m个m维向量组线性相关行列式0；线性无关行列式0。

9、【推论2】设A为mn矩阵，则（1）矩阵A的列向量组线性相关（无关）（）（2）矩阵A的行向量组线性相关（无关）（）。（3）（补）方阵的列（或行）向量组线性相关（无关）（）0（0）。（证）（1）实质为定理4.2的另一种表示方式。（2）利用矩阵的转置即知。【例4.2.3】判断向量组，的线性相关性。（解）解法一：设有，使得即 因系数矩阵 故得。从而线性相关。解法二：计算行列式0， 线性相关。【例】（补）判定向量组，的线性相关性。（解）对矩阵A施行初等行变换，化为梯矩阵AR(A)3，故向量线性无关。【例4.2.4】设向量组线性无关，证明向量组也线性无关。（证）证法一：设有数，使得即 由线性无关知系数行列

10、式 方程组只有零解，故线性无关。证法二：利用n维向量的特点，用矩阵方法解决（自学）思考（1） 若向量组线性相关，向量组，是相关还是无关？（2） 当向量组线性无关时，向量组，是否也线性无关?（三） （向量组线性相关的）性质【性质1】若向量组中部分向量线性相关，则该向量组线性相关。（证）设向量组为，并设其部分向量为线性相关。由条件知存在不全为零的一组数，使从而 不全为零也不全为零。即线性相关。【等价命题】若向量组线性无关，则其任何一部分向量组也线性无关。意义：向量组：部分相关整体相关；整体无关部分无关。【性质2】当mn时，n维向量组必线性相关。（证）设，则。即线性相关。【特例】n1个n维向量构成的

11、向量组必线性相关。【性质3】设有两个向量组：（j1, 2, , m）：（j1, 2, , m）：线性无关线性无关；反之，线性相关线性相关。（证）设矩阵，A是B的子矩阵，故R(A)R(B)已知向量组线性无关，则R(A)m。而B只有m列，故R(B)m，从而mR(A)R(B)m R(B)m 向量组线性无关意义：无关向量组的维数扩大后依然无关；相关向量组的维数缩小后依然线性相关。说明：添加的分量可以在任何位置（但要求添加的位置一致）。（四） 补充例题【题1】对向量组，若任何m个不全为0的数都使得0，问是否线性无关？（答）线性无关。因为对任何m个不全为0的数都有0，即只有当0时，才有0.由线性无关的定义

12、知，线性无关。【题2】若向量组线性相关，但其中任何三个向量都线性无关。证明必存在一组全不为零的数，使得0.（证）反证：已知线性相关，由定义知存在一组不全为0的数，使得0假设0，则有0而线性无关，故0，与线性相关矛盾，故0。同理可证：都不为0，所以全不为0。4. 2. 3 线性无关、线性相关与线性表示的关系【定理4.3】向量组（m2）线性相关其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示。（证）必要性：（m2）线性相关存在不全为0的数，使得（定义4.3）设，则即向量可由其余向量向量线性表示。充分性：设向量可由其余向量线性表示，即即 ，1不全为0，故线性相关。【等价命题】向量组（m2）线性无关其中任

13、何一个向量都不能由其余m1个向量线性表示。注意向量组线性相关，并不能说明其中每一个向量都可由其余m1个向量线性表示。【反例】向量与线性相关。但可由线性表示（），而不能由线性表示。思考向量组，是否线性相关？若相关，其中哪些向量可由其余3个向量线性表示，哪些不能？问题：如何确定相关向量组中哪一个向量可由其余向量线性表示？【定理4.4】若向量组线性无关，而向量组,线性相关，则可由线性表示，且表示式唯一。（证）,线性相关 存在不全为0的数，使得0 （*）必有k0（否则，可推得线性相关，矛盾） 唯一性：设有两个表达式，相减得 0线性无关 即，亦即表示式唯一。意义：可以确定相关向量组中哪些向量可由其余向量

14、线性表示（但不太实用）。【例4.2.5】已知向量组线性相关，线性无关。问：（1）是否可由线性表示，为什么？（2）能否由线性表示，为什么？（解）（1）能由线性表示。由线性无关知也线性无关。而线性相关，故能由线性表示（且表示法唯一）（2）不能由线性表示。反证：设可由线性表示，即由（1）知，代入上式即可由线性表示，由定理4.3知线性相关，与已知条件矛盾。4.3 向量组的秩4. 3. 1 等价向量组（一） 定义【定义4.4】设有两个向量组：， ：若中每个向量可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示。又若两向量组可互相线性表示，则称二者等价。说明：向量组的等价是向量组之间的一种关系。满足等价关系

15、的三条性质：（1） 反身性：任意向量组与自身等价；（2） 对称性：若向量组与等价，则也与等价；（3） 传递性：向量组与等价，与等价，则与等价。【例】（补）验证等价性。（1） 反身性：（2） 对称性：设：，：，那么，向量组可由线性表示：2，34，56反之，向量组也可由线性表示：（请给出相应的表达式）（3） 传递性：再设向量组：，那么，向量组可由线性表示：， 那么，由等价性，向量组也可由线性表示。，52说明向量组的线性表示具有以下两条性质：（1） 反身性：任何向量组都可由自身线性表示（补）；（2） 传递性：向量组可由线性表示，可由线性表示，则向量组可由线性表示。注意：（补）向量组的线性表示不一定具

16、备对称性。【例】（补）向量组：可由向量组：，线性表示，但不能由线性表示。（二） 线性表示的矩阵表示方式设向量组：可由向量组：线性表示：表为矩阵形式或 ABC其中，C（称为（线性表示的）系数矩阵）说明：设矩阵A、B、C有关系ABC，则（1） A的列向量组可由B的列向量组线性表示，且表示式的系数矩阵为C；（2） A的行向量组可由C的行向量组线性表示，且表示式的系数矩阵为B（利用和第（1）条）。【定理4.5】若向量组：可由向量组：线性表示，且mn，则向量组线性相关。（证）设和为列向量组，并设矩阵，则R(A)R(B)。因可由线性表示，故有那么 R(B)nm即 R(A)R(B)nm齐次线性方程组Ax0有

17、非零解，即向量组线性相关。意义：若向量个数较多的向量组可由向量个数较少的向量组线性表示，则个数多的向量组线性相关。【推论1】若向量组：可由向量组：线性表示，且向量组线性无关，则mn。（证）用反证法。若mn，则线性相关，矛盾。【推论2】若两个线性无关向量组等价，则二者所含向量个数相等。（证）设向量组：与：等价且都线性无关，由推论1知：nm且mn。从而mn。【定理4.6】矩阵A经初等行变换化为B，则（1）A与B任何对应的列向量构成的列向量组有相同的线性组合关系。（2）A的行向量组与B的行向量组等价。（证）设PAB（P可逆）。分块 则 PA即 （j1, 2, , n）。（1）设A的某些列（rn）的线

18、性关系为0则 0说明B的列向量组与A的对应列向量组有相同的线性组合关系。反之，若，则（利用P的可逆性）。即A的列向量组与B的对应列向量组有相同的线性组合关系。（2）由BPA知，B的行向量组可由A的行向量组线性表示，再由A知A的行向量组可由B的行向量组线性表示。意义：说明矩阵的初等行变换不改变此矩阵的列向量组的线性关系，也不改变行向量组的等价关系。4. 3. 2 向量组的极大线性无关组及秩（一） 极大无关组【定义4.5】设向量组T的一个部分组满足：（1）线性无关；（2）T中任一向量都可用线性表示。则称是T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。说明：（1） 极大无关组与所在的向量组T等价（由定义和

19、可由T线性表示即知）。（2） 同一向量组中的不同极大无关组互相等价（由第（1）条和等价的传递性）。（3） 极大无关组是T中含向量最多的线性无关部分组。（4） 同一向量组中的不同极大无关组所含向量个数相同（由第（2）条和定理4.5的推论2）。（5） （补）极大无关组不一定唯一。极大无关组的二重性：（1） 极大性：极大无关组是其所在向量组的所有线性无关部分组中含向量最多的向量组；（2） 极小性：极大无关组是所有与该向量组等价的部分组中含向量最少的向量组。（二） 向量组的秩【定义4.6】向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记为 。规定只含零向量的向量组的秩为0.【例4.3.1】求

20、向量组的极大线性无关组及秩，并将其余向量用极大无关组线性表示(1,2, 0, 3)，(2,5,3, 6)，(0, 1, 3, 0)，(2,1, 4,7)，(5,8, 1, 2)（解）（利用定理4.6，矩阵行变换不改变其列向量组的线性关系）AB观察B：线性无关，2，。为的一个极大无关组。因此，为,的一个极大线性无关组，其秩为3，且，。【注】找极大无关组时，只需将矩阵A化为行阶梯形矩阵，再利用的每行首非零元所在的列给出一个极大无关组。例：由可以看出，,也可作为极大无关组，且有2，3。总结：找极大无关向量组的方法：（1） 按照定义（不实用）。（2） 利用矩阵的行变换。【定理4.7】矩阵的秩等于其列向

21、量组的秩，也等于其行向量组的秩。（证），R(A)r，则A中至少有一个r阶子式0，且A中所有r1阶子式全为0.由定理4.2，A中含的r个行（或列）向量线性无关，且任意r1个行（或列）向量线性相关。故所在的r个行（列）是A的行（列）向量组的极大无关组，即A的行（列）向量组的秩为r。启发：（1）找向量组极大无关组的方法：利用矩阵的最大非零子式。（2）方法的扩展：对列（行）向量组，都可形成矩阵A并利用A的初等变换求秩（包括行、列变换）。【定理4.8】若向量组可由向量组线性表示，则的秩的秩。（证）设与的极大无关组分别为（）； （）向量组（）可由线性表示，可由线性表示，可由（）线性表示 向量组（）可由（）

22、线性表示。由定理4.5推论1知，rs. （推论1：若向量组：可由向量组：线性表示，且向量组线性无关，则mn。）【推论】等价向量组的秩相等。【例4.3.2】设向量组可由向量组线性表示，且二者的秩相等，证明向量组与等价。（证）（重整书中思路）目标：只需证明可由线性表示。设r，的极大无关组为，的极大无关组为。思路：利用等价关系的传递性。只需证明与等价。已知可由表示，而可由表示且可由表示 可由线性表示。即存在r阶矩阵P，使得和都线性无关R(P)Rr。但显然R(P)r，从而R(P)r，即P可逆，则即向量组可由线性表示。可由线性表示和可由线性表示知 向量组可由线性表示 与等价。（三） 补充例题【例】证明。

23、（目的：除了利用矩阵解决向量的问题外，也可用向量解决矩阵问题）（证）设A、B分别为ms和sn矩阵，ABC，则C是mn矩阵。先证 R(AB)R(A)：将A和C按列分块则 从而C的列向量可由A的列向量线性表示 （j1, 2, , n）由定理4.8知向量组秩的秩。即R(AB)R(C)R(A).其次，利用和前述证明思路可得，从而R(C)R(B)即R(AB)R(C)。4.4 维向量空间目的：进一步研究向量的性质。4. 4. 1 向量空间的概念【定义7】设V是n维向量构成的非空集合，且满足（1）对任意，有；（2）对任意及任意数k，有。则称集合V为向量空间。说明：向量空间满足加法和数乘的封闭性（即向量空间对

24、向量的线性运算满足封闭性）。（注意：向量组与向量空间的异同）【例4.4.1】全体实n维向量构成向量空间，称为n维向量空间，记为也是一个向量空间，称为零空间。【例4.4.2】设，则V是一个向量空间。验证：，【例4.4.3】是否为向量空间？（解）不是。因为，但。（对加法也不满足封闭性）【例4.4.4】设，则集合是一个向量空间。（证）设，则此向量空间记作或Span，称为由向量生成（或张成）的向量空间。【定义4.8】设有向量空间与 ，若, 就称是的子空间。【例】总有n维向量所组成的向量空间简单结论子空间总是存在的【例4.4.5】若向量组可由向量组线性表示，试证是的子空间。（证）设 x可由线性表示。可由

25、向量组线性表示x可由线性表示。 4. 4. 2 向量空间的基与维数（一） 基与维数【定义4.9】如果向量空间V中的m个向量满足：（1）线性无关；（2）V中任一向量都可由线性表示。则称为向量空间V的一组基，向量分别称为基向量，个数m称为V的维数，记为dimV（即dimVm），并称V是m维向量空间。规定：零空间没有基，其维数规定为0。（补：（1）向量组与向量空间的异同；（2）基与极大线性无关组的异同）思考：向量空间的维数向量的维数？【例】（补）设V，则向量的维数？向量空间V的维数dimV?【例】在中，基本单位向量组，构成的一组基（称为自然基），dimn。（因为线性无关，且都有）结论（1） 与向量组

26、的关系：将向量空间V看作向量组，则向量空间V的基就是向量组V的极大线性无关组，空间V的维数就是向量组V的秩。（2） 特例：由向量组生成的向量空间，则的一个极大无关组就是V的一个基，的秩就是V的维数。（3） 空间V的结构：若向量空间V的一组基为, 则V可表为。（4） m维向量空间V中任意m个线性无关的向量都是V的基（因为由定义4.9条件（2）知V中任意m1个向量一定线性相关）。（5） 向量空间的维数（组成该空间的）向量的维数。（证）（3）（补）对任意xV，由定义知x可由线性表示 。显然，故 V（二） 坐标【定义10】设是m维向量空间V的一组基，对，有组合系数构成的向量称为在基下的坐标。【例4.4

27、.6】设，为一向量组：（1）证明是向量空间的一个基（2）求中向量在基下的坐标。（解）思路：（1）需证明线性无关且且可表示其它向量；（2）在线性表示式中求变量的值（即解方程组）。令A，做变换A 线性无关，为的一组基（矩阵行变换不改变其列向量组的线性关系） 在下的坐标为。总结（补）求坐标的方法：利用方程组（1） 求向量在下的坐标，相当于解方程组，故可用方程组的增广矩阵的行初等变换完成求解过程。（2） 变换的目标：将化为行最简形。归纳（补）（1） 向量空间中向量在某组基下的坐标是唯一的。（2） 同一向量在不同基下的坐标一般是不同的。【例】上例中向量(1,1, 5, 4)T在基下的坐标为，而在基下的坐

28、标为(1,1, 5, 4)T。4. 4. 3 基变换与坐标变换设和是m维向量空间的两组基，则可由线性表示 （4.5）矩阵方式 （4.6）其中A为m阶方阵。称A为由基到基的过渡矩阵，称式（4.5）或（4.6）为由到的基变换公式。【（过渡矩阵A的性质）性质】（1）满足（4.6）式的矩阵A的第j列是在基下的坐标。（2）过渡矩阵A是可逆的，且是从基到的过渡矩阵。设V中向量在基与下的坐标分别为和，即（4.7）（4.8）代（4.6）入（4.8）得 （4.9）比较（4.7）和（4.9），由坐标的唯一性知 或 （4.10）式（4.10）即为向量在基与下的坐标变换公式。【例4.4.7】设的两组基为，（1） 求从

29、基到基的过渡矩阵A；（2） 求向量在基下的坐标。（解）（1）取的自然基，则（）其中 B，从而 即由基到基的过渡矩阵为（2）已知，得在下的坐标为。由式（4.10）得在下的坐标总结：求两组基过渡矩阵的方法：（1） 已知m维向量空间的两组基和，求基到基的过渡矩阵A，相当于解矩阵方程（2） 利用自然基作为过渡，求解A。即设B，C，则A。且到的过渡矩阵为。（两种方法殊途同归）总结：已知空间中基到基的过渡矩阵A和向量在其中一个基下的坐标，求在另一个基下的坐标：（1） 已知在下的坐标，求其在下的坐标：（2） 已知在下的坐标，求其在下的坐标：4.5 向量的内积与正交矩阵内容：几何空间中向量内积概念n维向量空间

30、目的：刻画并分析n维（向量）空间中向量的度量性质（一） 内积【定义4.11】设和是任意两个n维向量，称数为向量与的内积。记作，即。说明：内积的表示（1）与为列向量：（2）与为行向量：【性质】设，k, l为任意实数。那么，有（1）对称性：；（2）线性性：；（3）非负性：0，00；（4）柯西施瓦茨不等式：。（证）（1）（补）（2）（3）0（4）当0时，0，结论成立。当0时，令（tR），由性质（3）0再由性质（1）和（2）2t0左端为二次三项式，且的系数为(,)0，故判别式0即 （二） 向量的长度（范数）【定义4.12】设有n维向量，称数为向量的长度（或范数），记为。（补：长度为2范数）【性质】（1

31、）当0时，0；00.（2）。（3）三角不等式：.名词：长度为1的向量称为单位向量。若0，则是与同方向的单位向量，称为的单位化向量。（三） 向量的夹角【定义4.13】设和是n维非零向量，称，为与的夹角。【定义】如果0，则称与正交（或垂直）。【特例】：零向量与任何向量正交。【定理4.9】若n维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关（即正交向量线性无关）。（证）设0，两边与作内积00已知 0 0 线性无关。（四） 正交基【定义4.14】设向量空间V的一个基两两正交，则称其为V的正交基。若它们还是单位向量，则称其为V的标准正交基（或规范正交基）。【特例】n维基本单位向量组是的一组标准正交基。二维空间

32、的标准正交基（补）：，（终点在单位圆上）。【例4.5.1】设是的一组标准正交基，求向量在下的坐标。（解）设，两边对求内积（j1, 2, , n）：即 （j1, 2, , n）意义：给出了求向量在标准正交基下坐标的一种方法。【特例】在中，取, j, k为标准正交基，则坐标就是在, j, k 上的投影。（五） 施密特（Schmidt）正交化方法目的：把一个线性无关向量组改造为一个与其等价的正交向量组。【方法】设为线性无关的向量组，设则是与等价的正交向量组。【单位化】 则是一组单位正交向量组。【几何意义】【例4.5.2】设，试用施密特正交化方法将其标准正交化。（解）取单位化得（六） 正交矩阵【背景】

33、例2中，令A，则E。【定义4.15】如果n阶实方阵满足E，则称A为正交矩阵。【例】单位矩阵E、矩阵A是正交矩阵。结论：正交矩阵可逆，且其逆为问题（补）：若，A是否为正交阵？【性质】设A为正交矩阵，则A满足：（1）。（2）也为正交矩阵。（3）A、B为正交矩阵，则AB亦然。（4）方阵A为正交矩阵A的列（行）向量组是的一组标准正交基。（证）（1）（补）E 1（2）已知A正交，即AE A与互逆 AE，即 E 。EE（3）直接验证：E（4）A按列分块A，则E（, j1,2,n）即列向量组是的一组标准正交基。由（2）知为正交阵，则的列向量组是的一组标准正交基，从而说明A的行向量组也是的一组标准正交基。理解

34、：若A为正交阵，则其每一行、每一列均为单位向量，且两个不同行的行向量正交，两个不同列的列向量也正交。判断正交矩阵的方法：（1） 利用定义，即验证是否有E；（2） 利用性质（4），即判断A的列（或行）向量组。【性质】（补）设列向量，A为n阶正交矩阵，则（5）（6）（7）（8）。（证）（5）显然。（6）（7）（8）arccosarccos【例4.5.3】判断下列矩阵是否为正交矩阵：A，B，C（解）（1）（利用定义）E，故A为正交矩阵。（2）（利用性质（4）B的第一列与第三列的内积为10，故B不是正交矩阵。（3）容易看出，C的列向量组为单位正交向量组，故C为正交矩阵。（或直接观察，C的列向量组是自然

35、基的排列，而改变基向量组的顺序不改变其正交性和规范性）4.6 线性方程组解的结构内容：再解线性代数方程组。目的：用向量的有关结论表示方程组的解。设有线性方程组Axb （4.11）系数矩阵，未知数，常数项，增广矩阵。A分块，原方程表为向量形式b （4.12）回顾：方程组的表示方式（有3种）结论：（1） 若，则与同解。（2） Ax0有非零解 R(A)n A的列向量组线性相关（n为未知量个数）。（3） Axb有解 R(A)R() b可由A的列向量组线性表示。（4） 若R(A)R()r，则当rn时，Axb有唯一解；当rn时，Axb有无穷组解。约定（1） 称线性方程组的解构成的向量为方程组的解向量。（2

36、） “线性方程组的解”均指“解向量”。4. 6. 1 齐次线性方程组解的结构（一） 解的性质【性质1】若是Ax0的任意两个解，则也是Ax0的解（即齐次方程组解的和也是其解）。（证）已知，故000【性质2】若为Ax0的解，k为任意数，则也是Ax0的解。（证）因 0一般情形（补）：若是齐次方程的解，则也是齐次方程的解（为任意常数）。结论：记齐次方程组Ax0的全部解为集合V，则V构成向量空间。称为齐次方程组的解空间。（二） 解的结构【定义4.16】齐次线性方程组Ax0的解空间V的基称为该方程组的基础解系。说明：齐次方程组基础解系的两个要素：（1）是线性无关的解向量；（2）方程组的任一解都可表为的线性

37、组合。结论：若是齐次方程组Ax0的一个基础解系，则方程组的通解可表为（,为任意常数），称为齐次线性方程组的结构解。【定理4.10】设A是mn矩阵，若R(A)rn，则齐次方程组Ax0有基础解系，且基础解系含有nr个解向量。（证）（构造性证明，见后）（三） 构造基础解系和通解齐次线性方程组系数矩阵A满足R(A)rn，化A为行最简形（设A的前r列线性无关）AU对应同解方程组（有nr个自由未知量）则Ax0的通解可表为 （4.13）其中为任意常数。依次取 得方程组的nr个（线性无关的）解向量（基础解系）：通解（4.13）也可表为 （4.14）注意：齐次线性代数方程组的基础解系不唯一。归纳：设R(A)r，

38、则方程组0的解空间的维数dimVnr。若rn，则V为零空间，即没有基础解系。（四） 例【例4.6.1】求线性方程组的基础解系与通解。（解）系数矩阵A作初等行变换化为行阶梯形（行最简形）A知R(A)24，方程组有无穷多个解。基础解系中含42=2个解向量。同解方程 （4.15）令及，得基础解系为，通解为 即，其中为任意常数。（求另一方式的通解）：取及得另一基础解系 ，通解可为 ，、为任意常数。【例4.6.2】已知n阶矩阵A的各行元之和都为零，且R(A)=n1，求齐次线性方程组Ax0的通解（解）由R(A)n1知基础解系含有一个解向量。又知 0（1, 2, , n）即 0故 0知是一个线性无关解向量，

39、故是一个基础解系，通解为，kR。【例4.6.3】设A是mn矩阵，证明R()R(A)。（证）由n维向量x满足Ax0 (AX)0 ()x0。其次，由()x0 ()x0 (AX)0 范数0 Ax0。方程组Ax0与()x0同解 二者解空间相同二者解空间所含基础解系的向量个数相等，即 或 【例4.6.4】设mn矩阵A与ns矩阵B满足AB0，证明R(A)R(B)n。（证）B按列分块B，则(0,0,0)A0（1, 2, , s）B的每一列都是齐次方程组Ax0的解。若R(A)n Ax0只有零解 0 B0，R(B)0 R(A)R(B)n0n。若R(A)n Ax0有非零解 B的每一列都可由Ax0的基础解系线性表示

40、。由定理4.8知（定理4.8：若向量组可由向量组线性表示，则的秩的秩）R(B)nR(A)综上，R(A)R(B)n。4. 6. 2 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性代数方程组为Axb （4.16）称 Ax0 （4.17）为（4.16）对应的齐次线性方程组或导出组。（一） 解的性质（与教材思路不一致）【性质3】设为非齐次方程组（4.16）的任意两个解，则为导出组（4.17）的解（即非齐次方程组解的差为齐次方程组的解）。（证）（补）因bb0。证明思路：代入验证。【性质4】设是非齐次方程组（4.16）的解，是导出组（4.17）的解，则为（4.16）的解（即非齐次方程组的解与齐次方程组的解之和为非齐次

41、方程组的解）。（证）因AA()AAb0b。【性质5】（补）设为方程组Ax解，为方程组Ax解,则为方程组Ax的解（称为解的叠加原理）。【推论1】设（1,2,t）是非齐次方程组（4.16）的解，则满足方程组【推论2】若1，则是方程组（4.16）的解；若0，则是导出组（4.17）的解。（二） 解的结构【定理4.11】设为非齐次方程组（4.16）的特解，为其导出组的基础解系，则（4.16）的通解为其中为任意常数。（补）方程组的特解某一个解。（证）设x为（4.16）的任一解是（4.17）的解（性质3）。存在使 （补）由x的任意性知，其为（4.16）的通解。通解的表示方式：设R(A)r，齐次方程组（4.1

42、7）的基础解系为，则非齐次方程组（4.16）的通解为（非齐次方程组的通解等于其特解加导出组的通解）。（三） 例【例4.6.5】求非齐次线性方程组的通解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示。（解）对增广矩阵做初等变换R(A)R()2 有解且基础解系含2个向量。选为自由未知量，得同解方程组（不必写4个方程）通解为 为任意常数。【例4.6.6】设三阶矩阵A的秩是2，非齐次线性方程组的三个解向量满足：，。求方程组Axb的解。（解）分析：有解且有多解，但导出组的基础解系只有1个向量。目的：求方程组的特解及其导出组的通解。思路：利用性质5推论求特解（选）；利用性质3求导出组的基础解系。已知是方程组Ax

43、b的解，则，也是其解（且任何一个可做特解）。求差 是导出组的解。又由R(A)2知，Ax0的基础解系只含一个解向量，所以是Ax0的基础解系。故Axb的通解为，其中k为任意常数。【例4.6.7】已知，问：（1）a,b为何值时，不能由线性表示？（2）a,b为何值时，可由唯一线性表示？（3）a,b为何值时，可由线性表示但不唯一？并写出表示式。（解）分析：本质上为非齐次方程组无解、有唯一解、有多解的问题。设 （4.18）问题转化为选a,b的值，使得方程组（4.18）无解、有唯一解、有无穷多解。增广矩阵初等行变换讨论：（1） 当b2时，方程组无解，即不能由线性表示。（2） 当b2且a1时，方程组有唯一解，

44、即可由唯一线性表示。（3） 当b2且a1时，方程组有无穷多解，通解（k为任意常数），即可由线性表示为其中k为任意常数（注意：）。4.7 应用举例4. 7. 1 应用一：情报检索模型检索内容：文件（包括书籍、网页、胶片、电影、电视、各种报告等）设数据库中含n个文件，搜索所用的关键词m个例：数据库中的书：线性代数，线性代数及其应用，线性代数与解析几何，矩阵代数及其应用。搜索关键词：代数，几何，矩阵，线性，应用书名和关键词的对应关系： 书名关键词 代数1111几何0010矩阵0001线性1110应用0101关键词：“代数、矩阵”搜索矩阵和关键词搜索向量A，x搜索结果：的分量表示各书与搜索向量匹配的程度。（1），说明4本都能被搜索上。（2）2，说明第四本书包含要搜索的两个关键词，故排在搜索结果的最前面。即输出的搜索结果为：，。（补）设读者输入的关键词为“几何、矩阵”，则关键词搜索向