实变函数期末考试题A

1、云南财经大学 2008 至 2009 学年 第二 学期 实变函数 课程期末考试试卷（试）（A）得分一二三四五六七八总分复核人阅卷人学号： 姓名： 班级： 专业： 院（系）： 答 案 不 得 超 过 装 订 线姓 名 装班级 订学号 线 一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上）1. 渐张集列必收敛，其极限集为 。2. 型集是 开集的交集。3. 上单调函数的不连续点所成之集的测度等于 。4. 若，则与的关系是 。5. 设是一可测渐张集列，则测度的下连续性用公式表示是 。6设f是上的广义实值函数，则对任意实数a，=_.7设是上的单调函数，则必在上 可导。8设是

2、可测集上的非负可测函数，则的充要条件是_. 9区间上的有界函数是Riemann可积的充要条件是 。10设F (x)是定义在a,b上的实值函数，则成立牛顿-莱布尼兹公式 的充要条件是： F(x)是a,b上的 函数。二、选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）1设 是一集合列，则下述等式中正确的是 ( )A.； B. C.； D. 。2设f (x)是E上的可测函数，则对任意实数a，有 ( )A. Ex; f (x) a是开集； B. Ex; f (x) a是闭集；C. Ex; f (x) a是可测集；

3、 D. Ex; f (x) = a是零测集。3下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集； B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集； D. 无穷个零测集的并是零测集。4设f (x)为可测集上的可测函数，若，则下列断言错误的是 ( )A. f (x)在上L-积分存在； B. f (x)在上L-可积；C. f (x)在上未必L-可积； D. f (x)在上a.e.有限。5设是上的可测函数列，存在，则 是 （ ）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。6设是上有界变差函数，则有 ( )A. 连续； B. 存在；Ca.e.存在；D. 存在。7设是可测集，是不可

4、测集，则是 （ ）可测集且测度为零； 可测集但测度未必为零；不可测集； 以上都不对。8设是上的可测函数，则 （ ）是上的连续函数； 是上的勒贝格可积函数；是上的简单函数； 可表示为一列简单函数的极限。把本题的各答案填写在下表中 1 2 3 4 5 6 7 8 三、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分。判断下列各题，正确的在题后括号内打“”，错的打“” )1设为不可数集，则A，B中至少有一个为不可数集。 ( ) 2. 若为可测集，且，一定是可数集或有限集。 ( ) 3设是上的可测函数列，则在上可测。 ( ) 4函数f (x)在E上可测的充要条件是，对于每个实数a，集合E f =a可测。

5、( ) 5任意多个零测集的并集仍是零测度集。 ( ) 6设f (x)为a, b上的绝对连续，则f (x)在a, b上一致连续。 ( ) 7零测度集上的任意函数均为可测函数。 ( ) 8设为的可测子集，则一定含有一个区间。 ( ) 9闭集减去闭集仍然是闭集 （ ）10若 可测，则也可测。 ( ) 把本题的各答案填写在下表中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 四、证明题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 证明：数集与实数集对等. 2. 设是区间内的全体有理点所成的集合，证明。3. 设在上可测，是上的广义实值函数，并且，证明也是上的可测函数。五、简答题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。简答只须答出要点即可）1可测集与Borel集之间的关系是什么？2几乎处处收敛、基本一致收敛以及依测度收敛的关系如何？（可用图示箭头表示）3简述Lebesgue单调函