放缩法的应用技巧

1、放缩法的应用技巧放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。一、常见的放缩方法证题中经常用到的放缩方法法有：1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果；3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然

2、后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。二、常见的放缩控制当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？例1求证：分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。若采取“ ”的方法向右端放大，则左边很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。那怎么办呢？【1】 调整放缩的“量”的大

3、小分析2：分析1中“放”的有点过大，因为所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在分母减少了n，我们可以把分母只减少1，即这样放的量就少了。证明1：左边1+=1+4时： =当m为奇数且m4时：为偶数，综上可知，对于任意整数m4，都有例9.求证分析：观察分母的变化规律，把若干项“捆绑”并为一项后进行放缩，然后求和就很容易实现欲证的目标。证明：左边=四利用递推关系式放缩利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系，在很多题目中可以起到很好的放缩效果。例10.已知求证：分析：根据欲证不等式的结构特点，通过递推关系式构造关于的不等式，然后实现对通项的放缩。证明： 例11.已知，证明：分析

4、：通过对的适度放缩产生关于的不等递推关系式，然后谋求对的放缩，转化为熟悉的问题。证明：， ，左边五构造和数列后进行放缩如果数列不等式没有直接的求和的形式，很多时候可以间接的构造和数列，然后进行放缩处理。例12.已知，正数列满足 证明：分析：根据已知构造关于的递推关系式，然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式。证明：， ， ， 例13. 已知函数，定义数列:,，若，证明:对任意都有:.分析：利用递推式构造关于的不等式，利用“绝对值不等式”把放缩为和数列的形式证明： 由得, ， 当时,对, 上面介绍的数列不等式主要与“求和”的形式有关。如果不等式的一边与求和没有直接的关系，也可以辨析题目的结构特征选择合适的方法进行处理，譬如“构造单调数列”放缩；构造“二项式”展开后放缩；对不等式的局部换元，然后再谋求放缩等。限于篇幅，本文就不做阐述了。总之，运用放缩法进行数列不等式的证明，要