积分及其应用习题

1、第三章 习题课,板块一: 不定积分的计算方法 板块二: 定积分的概念、性质及计算 板块三: 定积分应用,板块一,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法,2. 换元积分法,注意常见的换元积分类型,代换:,3. 分部积分法,使用原则,1) 由,易求出 v,2,比,好求,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u,排后者取为,多次分部积分的 规 律,快速计算表格,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便,例1. 求,解,原式,

2、例2. 求,解,原式,分析,例3. 求,解,原式,分部积分,例4. 设,解,令,求积分,即,而,例5. 求,解,例6. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分,例7. 设,证,证明递推公式,例8. 求,解,设,则,因,连续,得,得,利用,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 需要注意的问题,1) 一般方法不一定是最简便的方法,2) 初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算,因此不一,定都能积出,例如,例10.

3、 求,解: 令,则,原式,例11. 求,解: 令,比较同类项系数,故,原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分,例12,解,因为,及,例13,求不定积分,解,原式,例14,解,I,例15. 求,解,n 为自然数,令,则,板块二,一、与定积分概念有关的问题的解法,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1) 思考例1下列做法对吗 ,利用积分中值定理,原式,不对,说明,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留

4、含参数的项,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和,已知,利用夹逼准则可知,例2. 求,思考,提示:由上题,故,练习: 1,求极限,解,原式,2. 求极限,提示,原式,左边,右边,例3,估计下列积分值,解: 因为,即,例4. 证明,证: 令,则,令,得,故,例5,设,在,上是单调递减的连续函数,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立,用积分中值定理,当,时,故所给不等式成立,明对于任何,例6,提示,且由方程,确定 y 是 x 的函数 , 求,方程两端对 x 求导, 得,再令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,故,例7,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,

5、不妨设 f (x)0,则,注意 f (0) = 0, 得,例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原方程得,两边求导,可见 f (x) 应为二次多项式,设,代入 式比较同次幂系数 , 得,故,再求导,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考: 下列作法是否正确,例9. 求,解: 令,则,原式,例10. 求,解,例11. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0,例12. 设,解,

6、例13. 若,解: 令,试证,则,因为,对右端第二个积分令,综上所述,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立,例15,试证,使,分析,要证,即,故作辅助函数,至少存在一点,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立,故由罗尔定理知,存在一点,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ,如果能, 怎样设辅助函数,提示,设辅助函数,例16,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,1) 在(a, b) 内 f (x) 0,2) 在(a, b) 内存在点 , 使,3) 在(a, b) 内存在与 相异的

7、点 , 使,03考研,证: (1,由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0,所以f (x,在(a, b)内单调增,因此,2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,例17. 设,证: 设,且,试证,则,故 F(x) 单调不减,即 成立,板块三,1. 定积分的应用,几何方面,面积,体积,弧长,表面积,物理方面,质量,作功,侧压力,引力,2. 基本方法,微元分析法,微元形状,条,段,带,片,扇,环,壳 等,转动惯量,定积分的应用,例1. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积

8、最小,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,例2. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,1) 求函数,2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1,由方程得,面积为 2,体积最小 ,即,故得,又,2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值,例3. 证明曲边扇形,绕极轴,证: 先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,故所求旋转体体积为,例4. 求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积,解: 曲线与直线的交点坐标

9、为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,例5. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为H ( H 2 R,的水池底, 水的密度,多少功 ,解,建立坐标系如图,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出, 需做,微元体积,所受重力,上升高度,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,偶倍奇零,例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图,1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为,为h (0 h R ) 时水面上升的速度,2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最,少应为多少 ,解: 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h,1) 求,由