高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数 苏教版必修1

1、3.3 幂函数,第3章 指数函数、对数函数和幂函数,1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数yx，yx2，yx3,学习目标,3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小,掌握它们的性质,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一幂函数的概念,答案,一般地，我们把形如的函数称为叫做幂函数，其中x是自变量，是常数,思考(1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数ymx是幂函数，m应满足什么条件,答并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数， 只有其中的yx和yx2是幂函数.若ymx是幂函数， 则必有m1,yx,2)幂函数与指数函

2、数有何区别,答案,答幂函数与指数函数不同点在于： 幂函数形式为yx(R)，其自变量x处于底数位置，常数处于指数位置；而指数函数形式为yax(a0，a1)，其自变量x处于指数位置，常数a处于底数位置，且a须满足大于0而且不等于1,答案,知识点二幂函数的图象与性质,，0,0，,0，,答案,返回,0，,奇,增,奇,增,奇,增,减,减,1,1,增,偶,减,题型探究 重点突破,解析答案,题型一幂函数的概念,解设f(x)x,故f(x)x2，f(2)224,解析答案,反思与感悟,解f(x)为幂函数， a23a31，得a1或a2. 当a1时，f(x)x，在(0，)上单调递增，不合题意. 当a2时，f(x)x1

3、，在(0，)上单调递减，符合题意. 综上，得a的值为2,1)幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数. (2)当0时，幂函数在第一象限内单调递增；当0时，幂函数在第一象限内单调递减,反思与感悟,解析答案,解根据幂函数定义得， m2m11，解得m2或m1， 当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数， 当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合题意. f(x)的解析式为f(x)x3,解析答案,题型二幂函数的图象,例2如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2,四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n值依次为_,反思与感悟,反思与感悟,解析考虑幂函数在第一象限内

4、的增减性. 注意当n0时，对于yxn，n越大，yxn递增速度越快， n0时看|n|的大小.根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n0时，n越大，yxn递增速度越快,当n0时，|n|越大，曲线越陡峭,幂函数图象的特征： (1)在第一象限内，直线x1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x1的左侧，指数也呈逆时针增大. (2)幂函数yx，若0，在第一象限内函数单调递增；若1，曲线下凹；若0，曲线下凹,反思与感悟,跟踪训练2如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是_,1n0m1； n1,0m1； 1n0，m1； n1，m1,解析答案,解析方法一在(

5、0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点,如图所示. 根据“点低指数大”，有0m1，n1,方法二根据幂函数图象增减性知m0，n0， 由x1右侧指数逆时针增大，知n1， 由图象上凸知0m1，故正确,答案,题型三比较幂的大小,例3比较下列各组数的大小,解析答案,又33.1,解34(32)292，函数yx2在(0，)上为减函数,反思与感悟,解析答案,1)比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数不同而底数相同，则构造指数函数. (2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量,反思与感悟,跟踪训练3比较下列各组数的大小

6、,解析答案,2)3.143与3,解yx3是R上的增函数，且3.14,3.1433,3.1433,例4判断下列函数的奇偶性,题型四幂函数的奇偶性,f(x)为偶函数,2)yx2,解析答案,f(x)的定义域为(0，)，不关于原点对称. f(x)为非奇非偶函数,解析答案,反思与感悟,幂函数的奇偶性.yxn,反思与感悟,是最简分数时，若p，q均为奇数，则yxn是奇函数；若p为偶数，q为奇数，则yxn是偶函数；若q为偶数，则yxn为非奇非偶函数,跟踪训练4函数y 在1,1上是_(填“增函数”或“减函数”)且是_(填“奇函数”或“偶函数”,解析由幂函数的性质知当0时，yx在第一象限内是增函数,奇函数的图象关

7、于原点对称,当x0时，y0,增函数,奇函数,解析答案,忽略幂函数定义致误,易错点,解析答案,解析答案,错解根据幂函数的定义yx，为常数,所以a的取值范围是a|a1,正解根据幂函数的定义yx，为常数， 知a211，即a0,纠错心得若给出的函数为幂函数，则此时该函数是形如yx的函数，且具有如下特征： 系数为1； 底数为自变量； 指数为常数.这是我们解题的有效切入点，应准确把握,解析答案,所以m2m11，即(m2)(m1)0， 所以m2或m1. 当m2时，m22m33，yx3是幂函数，且在(0，)上是减函数. 当m1时，m22m30，yx01(x0)不是减函数， 所以m2，此时yx3. 所以函数的定

8、义域是x|xR且x0,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,答案,1.下列给出的函数中，是幂函数的是_. y3x y2x3 yx3 yx31,1,2,3,4,5,2.若函数y(k2k5)x2是幂函数，则实数k的值为_,解析答案,解析由幂函数的概念可知k2k51， 即k2k60，得k2，或k3,3或2,1,2,3,4,5,解析答案,解析由于f(0)0，所以排除,所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称,1,2,3,4,5,解析答案,m1. 若f(x)是幂函数，则m11，m2,1,2,1,2,3,4,5,解析答案,abc,而c(2)3230，abc,课堂小结,1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧